A complemento di quanto descritto nell'articolo [1], voglio qui descrivere un fenomeno di instabilità che si verifica negli attuatori capacitivi: oltre a rappresentare un interessante esercizio di fisica (ehm, per due o tre lettori, diciamo), il fenomeno ha una certa rilevanza per la realizzazione degli attuatori capacitivi integrati [2]. Chi è matematicamente debole di cuore, dopo l'Introduzione, può saltare alle Conclusioni.
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1 Introduzione
Un attuatore capacitivo è un condensatore che sfrutta la forza elettrostatica agente sulle armature per generare uno spostamento dipendente dalla tensione di comando applicata.
Si consideri allora un dispositivo costituito da due armature piane e parallele di area , poste perpendicolarmente ad un generico asse
: un'armatura sia fissa, l'altra mobile nella direzione dell'asse
e solidale a una molla di richiamo di costante elastica
; il possibile moto oscillatorio dell'armatura mobile sia frenato da uno smorzatore viscoso (fig. 1).
Sia la distanza tra le armature quando la tensione applicata all'attuatore è nulla e la molla è in posizione di riposo; in tale condizione, si scelgano l'origine e il verso dell'asse
in modo che le coordinate dell'armatura mobile e dell'armatura fissa siano rispettivamente
e
(fig. 1).
Supponendo le due armature immerse in aria (permettività relativa ), esse formano un condensatore di capacità (trascurando gli effetti ai bordi)

dove è la costante elettrica. La precedente espressione può essere scritta in funzione del rapporto
come

con ; la grandezza
che compare a denominatore nella (2) rappresenta la separazione tra le armature normalizzata rispetto ad
.
Applicando all'attuatore una tensione di comando , l'armatura mobile è attirata verso quella fissa dalla forza elettrostatica
con [1, eq. (9 bis)]

Anche questa espressione può essere scritta in funzione di :

dove

è la forza tra le armature quando .
La forza totale agente sull'armatura mobile è la somma della forza
e della forza antagonista
generata dalla molla; la componente
della forza totale è

dove denota la componente
di
.
I punti di equilibrio del sistema sono le soluzioni (reali e con compreso tra 0 e 1) dell'equazione
. L'esistenza di eventuali punti di equilibrio e la loro stabilità verranno discusse nel prossimo paragrafo.
2 Punti di equilibrio
L'espressione (6) può essere normalizzata rispetto alla forza :

con

Poiché le equazioni e
hanno le stesse soluzioni, nel prosieguo ci si riferirà soltanto a quest'ultima. Il coefficiente
che compare nella (7) rappresenta il rapporto tra i moduli della forza elettrostatica in
e della forza antagonista in
; come si vedrà, esso è un parametro discriminante le soluzioni dell'equazione
.
Per l'equazione
è equivalente a

Per la regola dei segni di Cartesio, le radici1 reali e positive della (9) sono una o tre, e non ci sono soluzioni negative (questo esclude la possibilità di avere ). Si osservi, allora, che il polinomio
comparente nella (9) ha un massimo relativo in
e un minimo relativo in
; nel massimo tale funzione vale 4/27: in base alla precedente osservazione, se
, l'equazione (9) non può avere radici reali comprese tra 0 e 1 (ha due radici complesse e una radice reale, maggiore di 1). In questo caso, l'attuatore non ha punti di equilibrio e l'armatura mobile collassa contro quella fissa (pull-in2); la tensione per cui
è la tensione di pull-in

La forza normalizzata [eq. (7)] può, quindi, essere più semplicemente espressa in funzione della tensione normalizzata
:

con

La figura 2 mostra il grafico delle due curve e
per tre differenti valori di
e per
: in tale intervallo, le eventuali intersezioni delle due curve sono soluzioni dell'equazione
e, pertanto, punti di equilibrio dell'attuatore. Per
, in accordo con quanto visto sopra, non ci sono intersezioni. Per
, c'è una sola intersezione in
dove la (9) ha una radice doppia (la terza radice reale è, come prima, maggiore di 1). Per
ci sono, invece, ben due intersezioni (
e
nell'esempio di figura (2).
Al fine di valutare la stabilità dei punti di equilibrio per , osserviamo, innanzitutto, che i due punti sono uno minore e l'altro maggiore di 1/3 (fig. 2); assumiamo, senza perdere di generalità,
e
. La stabilità di un generico punto di equilibrio
può essere determinata analizzando il segno della derivata

Se l'equilibrio è stabile: un piccolo spostamento
dell'armatura mobile dà infatti origine a una forza
tendente a opporsi allo spostamento; viceversa, se
, un piccolo spostamento dall'equilibrio dà origine a una forza concorde con esso.
Poiché per entrambi i punti , moltiplicando la (13) per
si ottiene una grandezza avente lo stesso segno di
:

È facile verificare che quest'ultima equazione è equivalente a
In conclusione se e solo se
(ossia
): l'unico punto di equilibrio stabile è allora
(si può anche vedere dalla fig. 2: come?).
Riassumendo, se si applica una tensione all'attuatore capacitivo di figura 1 si possono avere due casi.
- Se
(
), l'armatura mobile viene attirata verso il punto di equilibrio stabile con
. La relazione tra la separazione normalizzata
e la tensione normalizzata
è illustrata nella figura 3 sotto. La distanza minima tra le armature raggiungibile prima del pull-in è
.
- Se
(
), non ci sono punti di equilibrio stabile e l'attuatore collassa (pull-in).
3 Conclusioni
In un attuatore capacitivo, una molla è utilizzata per generare una forza antagonista che si opponga alla forza elettrostatica che agisce sull'armatura mobile. Applicando una tensione all'attuatore capacitivo, l'armatura mobile dovrebbe avvicinarsi all'armatura fissa fino a che la forza di richiamo non bilancia la forza elettrostatica. La forza elettrostatica, però, non rimane costante al variare della distanza tra le armature, anzi, a parità di tensione, aumenta a mano a mano che le due armature si avvicinano: la forza di richiamo generata dalla molla (supposta lineare) potrebbe allora non essere sufficiente per equilibrare la forza elettrostatica, e l'analisi svolta al paragrafo 2 ci dice che è proprio così. Se la tensione applicata all'attuatore supera un certo valore critico, la tensione di pull-in, la forza di richiamo non è sufficiente a bilanciare la forza elettrostatica e l'attuatore collassa.
Note
- La (9) è un'equazione algebrica di grado 3 risolvibile in forma chiusa con funzioni elementari. Tale soluzione è però un po' involuta; può essere preferibile, allora, risolvere la (9) con metodi numerici, e così è stato fatto per tracciare il grafico di figura 3.
- Il verbo inglese pull-in ha diversi significati; il più vicino al fenomeno qui analizzato è probabilmente quello di arrivare a una fermata (di un bus, di un treno ecc.).
Bibliografia
[1] DirtyDeeds, Forze elettrostatiche nei condensatori.
[2] S. D. Senturia, Microsystem Design, Springer, 2000.