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A complemento di quanto descritto nell'articolo [1], voglio qui descrivere un fenomeno di instabilità che si verifica negli attuatori capacitivi: oltre a rappresentare un interessante esercizio di fisica (ehm, per due o tre lettori, diciamo), il fenomeno ha una certa rilevanza per la realizzazione degli attuatori capacitivi integrati [2]. Chi è matematicamente debole di cuore, dopo l'Introduzione, può saltare alle Conclusioni.

1 Introduzione

Un attuatore capacitivo è un condensatore che sfrutta la forza elettrostatica agente sulle armature per generare uno spostamento dipendente dalla tensione di comando applicata.

Si consideri allora un dispositivo costituito da due armature piane e parallele di area $\ A$ , poste perpendicolarmente ad un generico asse $\ z$ : un'armatura sia fissa, l'altra mobile nella direzione dell'asse $\ z$ e solidale a una molla di richiamo di costante elastica $\ k$ ; il possibile moto oscillatorio dell'armatura mobile sia frenato da uno smorzatore viscoso (fig. 1).

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Figura 1

Sia $\ a$ la distanza tra le armature quando la tensione applicata all'attuatore è nulla e la molla è in posizione di riposo; in tale condizione, si scelgano l'origine e il verso dell'asse $\ z$ in modo che le coordinate dell'armatura mobile e dell'armatura fissa siano rispettivamente $\ z = 0$ e $\ z = a$ (fig. 1).

Supponendo le due armature immerse in aria (permettività relativa $\ \epsilon_\text{r}\approx 1$ ), esse formano un condensatore di capacità (trascurando gli effetti ai bordi)

$\ C(z) \approx \frac{\epsilon_0 A}{a-z}\qquad\qquad\qquad (1)$

dove $\ \epsilon_0$ è la costante elettrica. La precedente espressione può essere scritta in funzione del rapporto $\ \zeta = z/a$ come

$\ C(\zeta) \approx \frac{C_0}{1-\zeta}\qquad\qquad\qquad (2)$

con $\ C_0 = \epsilon_0 A/a$ ; la grandezza $\ 1-\zeta$ che compare a denominatore nella (2) rappresenta la separazione tra le armature normalizzata rispetto ad $\ a$ .

Applicando all'attuatore una tensione di comando $\ v$ , l'armatura mobile è attirata verso quella fissa dalla forza elettrostatica $\ \boldsymbol{F}_\text{e}(v,z) = F_\text{e}(v,z)\boldsymbol{\hat{z}}$ con [1, eq. (9 bis)]

$F_\text{e}(v,z) \approx \frac{\epsilon_0 A}{2(a-z)^2}v^2\qquad\qquad\qquad (3)$

Anche questa espressione può essere scritta in funzione di $\ \zeta$ :

$\ F_\text{e}(v,\zeta) \approx \frac{F_0(v)}{(1-\zeta)^2}\qquad\qquad\qquad (4)$

dove

$\ F_0(v) = \frac{1}{2}v^2\frac{C_0}{a}\qquad\qquad\qquad (5)$

è la forza tra le armature quando $\ \zeta = 0$ .

La forza totale $\ \boldsymbol{F}(v,\zeta)$ agente sull'armatura mobile è la somma della forza $\ \boldsymbol{F}_\text{e}(v,\zeta)$ e della forza antagonista $\ \boldsymbol{F}_\text{m}(\zeta)$ generata dalla molla; la componente $\ z$ della forza totale è

$\ F(v,\zeta) = F_\text{e}(v,\zeta) + F_\text{m}(\zeta)\approx \frac{F_0(v)}{(1-\zeta)^2}-ka\zeta\qquad\qquad\qquad (6)$

dove $\ F_\text{m}(\zeta) = -ka\zeta$ denota la componente $\ z$ di $\ \boldsymbol{F}_\text{m}(\zeta)$ .

I punti di equilibrio del sistema sono le soluzioni (reali e con $\ \zeta$ compreso tra 0 e 1) dell'equazione $\ F(v,\zeta)=0$ . L'esistenza di eventuali punti di equilibrio e la loro stabilità verranno discusse nel prossimo paragrafo.

2 Punti di equilibrio

L'espressione (6) può essere normalizzata rispetto alla forza $\ ka$ :

$\ f(v,\zeta) = \frac{F(v,\zeta)}{ka} \approx \frac{f_0(v)}{(1-\zeta)^2}-\zeta\qquad\qquad\qquad (7)$

con

$\ f_0(v) = \frac{F_0(v)}{ka} = \frac{1}{2}v^2\frac{C_0}{ka^2}\geqslant 0\qquad\qquad\qquad (8)$

Poiché le equazioni $\ F(v,\zeta)=0$ e $\ f(v,\zeta)=0$ hanno le stesse soluzioni, nel prosieguo ci si riferirà soltanto a quest'ultima. Il coefficiente $\ f_0(v)$ che compare nella (7) rappresenta il rapporto tra i moduli della forza elettrostatica in $\ \zeta = 0$ e della forza antagonista in $\ \zeta = 1$ ; come si vedrà, esso è un parametro discriminante le soluzioni dell'equazione $\ f(v,\zeta)=0$ .

Per $\ \zeta\neq 1$ l'equazione $\ f(v,\zeta)=0$ è equivalente a

$f_0(v)-\zeta(1-\zeta)^2 = -\zeta^3+2\zeta^2-\zeta+f_0(v) = 0\qquad\qquad\qquad (9)$

Per la regola dei segni di Cartesio, le radici¹ reali e positive della (9) sono una o tre, e non ci sono soluzioni negative (questo esclude la possibilità di avere $\ \zeta<0$ ). Si osservi, allora, che il polinomio $\ \zeta(1-\zeta)^2$ comparente nella (9) ha un massimo relativo in $\ \zeta = 1/3$ e un minimo relativo in $\ \zeta = 1$ ; nel massimo tale funzione vale 4/27: in base alla precedente osservazione, se $\ f_0(v)>4/27$ , l'equazione (9) non può avere radici reali comprese tra 0 e 1 (ha due radici complesse e una radice reale, maggiore di 1). In questo caso, l'attuatore non ha punti di equilibrio e l'armatura mobile collassa contro quella fissa (pull-in²); la tensione per cui $\ f_0(v) = 4/27$ è la tensione di pull-in

$\ V_\text{PI} = \sqrt{\frac{8ka^2}{27C_0}}\qquad\qquad\qquad (10)$

La forza normalizzata $\ f(v,\zeta)$ [eq. (7)] può, quindi, essere più semplicemente espressa in funzione della tensione normalizzata $\ \tilde{v} = v/V_\text{PI}$ :

$\ f(\tilde{v},\zeta) \approx \frac{f_0(\tilde{v})}{(1-\zeta)^2}-\zeta\qquad\qquad\qquad (11)$

con

$\ f_0(\tilde{v}) = \frac{4}{27}\tilde{v}^2\qquad\qquad\qquad (12)$

La figura 2 mostra il grafico delle due curve $\ f_\text{m}(\zeta)=\zeta$ e $\ f_\text{e}(\tilde{v},\zeta)=f_0(\tilde{v})/(1-\zeta)^2$ per tre differenti valori di $\ \tilde{v}$ e per $\ \zeta\in(0,1)$ : in tale intervallo, le eventuali intersezioni delle due curve sono soluzioni dell'equazione $\ f(\tilde{v},\zeta)=0$ e, pertanto, punti di equilibrio dell'attuatore. Per $\ \tilde{v} > 1$ , in accordo con quanto visto sopra, non ci sono intersezioni. Per $\ \tilde{v} = 1$ , c'è una sola intersezione in $\ \zeta = 1/3$ dove la (9) ha una radice doppia (la terza radice reale è, come prima, maggiore di 1). Per $\ \tilde{v} < 1$ ci sono, invece, ben due intersezioni ( $\ \zeta_1$ e $\ \zeta_2$ nell'esempio di figura (2).

Figura 2

Al fine di valutare la stabilità dei punti di equilibrio per $\ \tilde{v} < 1$ , osserviamo, innanzitutto, che i due punti sono uno minore e l'altro maggiore di 1/3 (fig. 2); assumiamo, senza perdere di generalità, $\ \zeta_1<1/3$ e $\ \zeta_2 > 1/3$ . La stabilità di un generico punto di equilibrio $\ \zeta_i$ può essere determinata analizzando il segno della derivata

$\ f^\prime(\zeta_i) = \left.\frac{\partial f(\tilde{v},\zeta)}{\partial\zeta}\right|_{\zeta_i} = 2\frac{f_0(\tilde{v})}{(1-\zeta_i)^3}-1\qquad\qquad\qquad (13)$

Se $\ f^\prime(\zeta_i)<0$ l'equilibrio è stabile: un piccolo spostamento $\ \text{d}\zeta$ dell'armatura mobile dà infatti origine a una forza $\ f^\prime(\zeta_i)\text{d}\zeta$ tendente a opporsi allo spostamento; viceversa, se $\ f^\prime(\zeta_i)>0$ , un piccolo spostamento dall'equilibrio dà origine a una forza concorde con esso.

Poiché per entrambi i punti $\ \zeta_i<1$ , moltiplicando la (13) per $\ 1-\zeta_i<1$ si ottiene una grandezza avente lo stesso segno di $\ f^\prime(\zeta_i)$ :

$\ (1-\zeta_i)f^\prime(\zeta_i) = 2\frac{f_0(\tilde{v})}{(1-\zeta_i)^2}-(1-\zeta_i)\qquad\qquad\qquad (14)$

È facile verificare che quest'ultima equazione è equivalente a

$\begin{align} (1-\zeta_i)f^\prime(\zeta_i) &= 2\left[\frac{f_0(\tilde{v})}{(1-\zeta_i)^2}-\zeta_i\right]+3\zeta_i-1 && \\ &= 2f(\tilde{v},\zeta_i)+3\zeta_i-1 &&\text{dalla (11)} \\ &= 3\zeta_i-1 &&\text{visto che}\ f(\tilde{v},\zeta_i)=0 \end{align}$

In conclusione $\ f^\prime(\zeta_i)<0$ se e solo se $\ 3\zeta_i-1<0$ (ossia $\ \zeta_i < 1/3$ ): l'unico punto di equilibrio stabile è allora $\ \zeta_1$ (si può anche vedere dalla fig. 2: come?).

Riassumendo, se si applica una tensione $\ v$ all'attuatore capacitivo di figura 1 si possono avere due casi.

Se $\ v<V_\text{PI}$ ( $\tilde{v}<1$ ), l'armatura mobile viene attirata verso il punto di equilibrio stabile con $\ \zeta<1/3$ . La relazione tra la separazione normalizzata $\ 1-\zeta$ e la tensione normalizzata $\ \tilde{v}$ è illustrata nella figura 3 sotto. La distanza minima tra le armature raggiungibile prima del pull-in è $\ 2a/3$ .
Se $\ v>V_\text{PI}$ ( $\tilde{v}>1$ ), non ci sono punti di equilibrio stabile e l'attuatore collassa (pull-in).

Figura 3

3 Conclusioni

In un attuatore capacitivo, una molla è utilizzata per generare una forza antagonista che si opponga alla forza elettrostatica che agisce sull'armatura mobile. Applicando una tensione all'attuatore capacitivo, l'armatura mobile dovrebbe avvicinarsi all'armatura fissa fino a che la forza di richiamo non bilancia la forza elettrostatica. La forza elettrostatica, però, non rimane costante al variare della distanza tra le armature, anzi, a parità di tensione, aumenta a mano a mano che le due armature si avvicinano: la forza di richiamo generata dalla molla (supposta lineare) potrebbe allora non essere sufficiente per equilibrare la forza elettrostatica, e l'analisi svolta al paragrafo 2 ci dice che è proprio così. Se la tensione applicata all'attuatore supera un certo valore critico, la tensione di pull-in, la forza di richiamo non è sufficiente a bilanciare la forza elettrostatica e l'attuatore collassa.

Note

La (9) è un'equazione algebrica di grado 3 risolvibile in forma chiusa con funzioni elementari. Tale soluzione è però un po' involuta; può essere preferibile, allora, risolvere la (9) con metodi numerici, e così è stato fatto per tracciare il grafico di figura 3.
Il verbo inglese pull-in ha diversi significati; il più vicino al fenomeno qui analizzato è probabilmente quello di arrivare a una fermata (di un bus, di un treno ecc.).

Bibliografia

[1] DirtyDeeds, Forze elettrostatiche nei condensatori.

[2] S. D. Senturia, Microsystem Design, Springer, 2000.

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Il pull-in negli attuatori capacitivi

Indice

1 Introduzione

2 Punti di equilibrio

3 Conclusioni

Note

Bibliografia

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