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Un esercizio con alternatore monofase

Indice

Abstract

In questo esercizio è richiesto il calcolo dei parametri più importanti di una rete: tensione di rete, fattore di potenza, caduta di tensione e corrente erogata dal generatore. E' presente anche un semplice script matlab per la risoluzione automatica del problema.

Testo dell'esercizio

Un alternatore monofase fornisce la potenza P = 25 kW con la frequenza f = 50 Hz ad un circuito di resistenza Rc = 7,7 Ω e di induttanza Lc = 15,5 mH.

Nell'ipotesi che l'azione del campo di reazione dell'indotto sia trascurabile e che la resistenza e l'induttanza dello stesso indotto siano R = 0,28 Ω e L = 6 mH, si determini:

  • 1) la tensione e il fattore di potenza della rete;
  • 2) la f.e.m. e l'angolo da essa formato con la corrente;
  • 3) la caduta di tensione interna dell'alternatore.

Lo schema a cui fare riferimento è il seguente:


Schema.png

Schema.png


Soluzione

Affrontiamo il punto 1.

La corrente erogata dall'alternatore vale:


I_{L}=\sqrt{\dfrac{P}{R_{c}}}=\sqrt{\dfrac{25\cdot 10^{3}}{7,7}}= 56,98\, A


La pulsazione ω vale:


\omega = 2\pi f=2\pi \cdot 50= 314\, \dfrac{rad}{s}


Le reattanze del carico e dell'indotto valgono rispettivamente:


X_{c}=\omega L_{c}=314\times 18,5\cdot 10^{-3}=5,809\, \Omega


X=\omega L=314\times 6\cdot 10^{-3}=1,884\, \Omega


A questo punto calcoliamo, rispettivamente, le impedenze di carico e di indotto:


\dot{Z}_{c}=R_{c}\, +\, jX_{c}=7,7\,+\, 5,809\, \Omega


\dot{Z}=R\, +\, jX=0,28\,+\, 1,884\, \Omega


Il fattore di potenza della rete vale:


cos\varphi = cos\, arctg\dfrac{X_{c}}{R_{c}}=cos\, arctg\dfrac{5,809}{7,7}=0,798


La tensione della rete vale:


V=\dfrac{P}{I_{L} cos\varphi}=\dfrac{25\cdot 10^{3}}{56,98\times 0,798}=549,8\, V


Ponendo la tensione V sull'asse reale, l'angolo di ritardo della corrente (di ritardo data la natura induttiva degli elementi presenti in rete) vale:


\varphi = arccos 0,798 = 37,06^{\circ}


quindi possiamo scrivere:


\overline{I_{L}}=I_{L}\, e^{-j\varphi}=56,98\, e^{-j37,06^{\circ}}\, A


Abbiamo risposto alla prima domanda. Prendiamo fiato e passiamo al punto 2.

La f.e.m. vale:


\overline{E}= V + \dot{Z} \overline{I_{L}}=549,8 +\left( 0,28 +  j1,884\right) \times 56,98 e^{-j37,06}= 631,78 e^{j6,91}\, V


Indicando con δ la fase della f.e.m., l'angolo fra la stessa e la corrente vale:


\psi= \delta \, +\, \varphi = 6,91^{\circ}\, + \, 37,06^{\circ} = 43,97^{\circ}


Provate a disegnare i fasori e capirete perchè scriviamo +37,06° e non -37,06°.


Trenta secondi di pausa e passiamo al punto 3.

Punto 3.

La caduta di tensione vale:


 \Delta V = E\, -\, V=631,78\, -\,549,8=81,98\, V


Abbiamo terminato il nostro esercizio.

Possiamo confrontare i risultati ottenuti con lo script seguente.

Script matlab

In questo paragrafo riporto un semplice script in matlab per la risoluzione del problema precedente. Può tornare utile per confrontare i risultati ottenuti manualmente.

% Chiudiamo tutte le finestre aperte e cancelliamo 
%le variabile presenti in memoria.

%--------------------------
clc; clear all; close all;
%--------------------------

% Dati del problema:

% Potenza erogata dalla macchina monofase in kW
P=25;

% Frequenza di alimentazione in Hz:
f=50;

% Resistenza e induttanza del circuito, rispettivamente in ohm e mH:
Rc=7.7;
Lc=18.5;

% Resistenza e induttanza dell'indotto, rispettivamente in ohm e mH:
R=0.28;
L=6;

%----------------------------------------------------------------------
%**********************************************************************
%----------------------------------------------------------------------

% SEZIONE CALCOLO

% Pulsazione:
omega=2*pi*f

% Corrente erogata dalla macchina in ampere:
Il=(sqrt((P*10^3)/Rc))

% Fattore di potenza:
fdp=cos(atan((omega*Lc*10^-3)/Rc))

% Angolo fi
fi=acos(fdp)

% Tensione di rete:
V=(P*10^3)/(Il*fdp)

% f.e.m.
E=V+(R+omega*L*10^-3*sqrt(-1))*(Il*cos(fi)-Il*sin(fi)*sqrt(-1))
moduloE=abs(E)

% Angolo fra f.e.m. e corrente:
angoloE=angle(E);
angolo= angoloE+fi;
angolo=(angolo*180)/pi

% Caduta di tensione
DeltaV=moduloE-V
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