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da **dimaios** » 14 apr 2018, 7:37

elettro1 ha scritto:(Scusami ma è che vorrei veramente capire il concetto di fondo)

Questo è un bene.

DavideDaSerra ha scritto:Ripeto, un esame che ho passato ma che mi è rimasto davvero poco impresso.

Peccato perché il prof. Zanasi ( non so se hai seguito il corso con lui oppure avete impiegato solo i lucidi ed il docente era un altro ) è un gran docente con una capacità didattica notevole.

Comunque, ritornando all'argomento oggetto della discussione ....

( Te lo spiego velocemente ma poi il concetto te lo devi studiare bene su un libro di controlli o di analisi complessa )

Prendiamo in esame una funzione complessa G(s)

di variabile complessa

.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Se la variabile

percorre la curva chiusa $\Gamma_s$ la funzione G(s)

percorre la curva chiusa $\Gamma_G$ .

Quello che si può scegliere è il percorso che deve effettuare

( cioè la curva $\Gamma_s$ ) ed il suo verso di percorrenza.

L'applicazione del criterio di Nyquist prevede che la variabile

generi una curva $\Gamma_s$ del tipo rappresentato in figura.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

A questo punto è evidente perché si chiama D-contour.
Siccome deve essere "abbracciato" tutto il semipiano destro il raggio

deve tendere ad infinito.
Facendo così la curva $\Gamma_s$ comprende tutto il semipiano destro e l'asse immaginario.

Il problema che però si pone è che

non deve assumere i valori per cui G(s)

non esiste ( nel tuo caso i poli della funzione di trasferimento ) per cui bisogna in qualche modo "schivarli".

Ci sono diversi modi per farlo ma quello più comune è indicato in figura.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

I poli della funzione di trasferimento G(s)

vengono "schivati" facendo percorrere a

un "piccolo" semicerchio a destra.
Ovviamente siccome vogliamo includere tutto il semipiano destro con la curva $\Gamma_s$ il raggio

dei semicerchi deve tendere a zero.

Per capirci, se :

$G(s) = \frac{10}{s ( s^2 +4 )}$

Allora

non può assumere i valori

e

per cui bisogna aggirare questi punti con 3 semicerchi il cui raggio

tende a 0.

Come puoi vedere, per applicare il teorema la variabile

è sull'asse immaginario tranne quando deve "schivare" i poli posti sull'asse stesso e quando deve fare il "giro all'infinito".

Quindi $s=i\omega$ quasi sempre.
E' proprio quel "quasi" che crea il fenomeno di cui andremo a parlare in seguito.

Se i poli non sono sull'asse immaginario la variabile

non li incontrerà mai percorrendo la curva $\Gamma_s$ per cui non deve "schivarli".

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

RICAPITOLANDO
Data una funzione di trasferimento G(s)

per applicare il criterio di Nyquist si costruisce innanzitutto il percorso della variabile

nel piano complesso. La curva $\Gamma_s$ percorsa da

è un D-contour che evita i poli instabili della G(s)

posti sull'asse immaginario tramite dei semicerchi di raggio infinitesimo.

Fino qui hai capito

elettro1 ?

da **elettro1** » 14 apr 2018, 9:22

Si ho capito :-)

da **elettro1** » 14 apr 2018, 11:34

Però non ho capito come collegare il fatto della deviazione dei poli dall’asse immaginario con la determinazione degli asintoti obliqui e quindi la loro chiusura :roll:

da **dimaios** » 14 apr 2018, 13:57

Fra poco ci arriviamo ma ci vuole pazienza.

Inizia a disegnare il diagramma di Nyquist delle seguenti funzioni di trasferimento.

$G(s) = \frac{1}{s+1}$

poi

$G(s) = \frac{1}{s}$

ed infine

$G(s) = \frac{1}{s^2 + 4}$

Ma non con software di calcolo ..... devi farlo a mano!
Per "schivare" i poli devi costruirti una funzione complessa che tracci un semicerchio vicino al polo da evitare .... la riesci a scrivere?

( Un aiuto. Vedi come varia $s=re^{i\theta}$ in funzione dell'angolo $\theta$ )

da **elettro1** » 14 apr 2018, 15:12

Disegnando la prima, non essendoci poli su l'asse immaginario, non dovrebbero esserci le semicirconferenze infinitesime, quindi Nyquist parte dal punto 1 e termina tangente a -pi/2 formando una circonferenza.

Nel secondo invece c'è un polo all'origine quindi esiste una semicirconferenza e se vado a sostituire alla s s=re^(itheta)

essendo r infinitesima faccio il limite per r, ottengo un modulo infinito e una fase di -pi/2

Nel terzo invece ho due poli sull'asse immaginario in -2j e 2j per cui andando a sostituire s=re^(itheta)

alla funzione essendoci un quadrato ottengo r^2*e^(2*i*theta)

quindi ottengo sempre un modulo infinito e una fase di -pi

da **dimaios** » 14 apr 2018, 17:30

elettro1 ha scritto:.....ottengo un modulo infinito e una fase di -pi/2

Se non fai un disegno con FidoCADJ non rispondo. Ti ho chiesto di fare l'analisi grafica a mano per un motivo ben preciso ed infatti hai abbozzato una risposta priva di senso.
Se non sai disegnare in FidoCADJ puoi prelevare uno dei disegni che ho fatto io e modificarlo.
Il tool è stato creato per far interagire i partecipanti in quanto con le immagini allegate non si può facilmente modificare il contenuto mentre con FidoCADJ si ed è anche facile da utilizzare .... provaci.

link

Per quanto riguarda le formule in LaTex $\theta$ si scrive \theta mentre per le frazioni del tipo $\frac{\pi}{2}$ la sintassi è \frac{\pi}{2}.

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