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La funzione sinc

Premessa

Anche questo articolo vuol fare da appendice alla terza parte della serie di articoli sulla compatibilità elettromagnetica, dove si farà riferimento alla funzione sinc di seguito brevemente descritta.

La funzione sinc

la funzione sinc

la funzione sinc


La funzione sinc svolge un ruolo molto importante nell'analisi dei segnali e nel rapporto esistente fra il dominio del tempo e della frequenza.
La sua espressione analitica assume la forma

y=\frac{\sin x}{x}=sinc(x)

Il suo andamento è riportato nella figura che segue

andamento della funzione sinc

andamento della funzione sinc


Si tratta di un andamento ondulatorio con ampiezza decrescente all'aumentare del valore della variabile indipendente x.
Alcune delle principali proprietà della funzione sinc di interesse per l'analisi spettrale possono essere le seguenti:

  • la funzione sinc è pari, cioè sinc(x) = sinc( − x)
  • il suo valore nell'origine risulta: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1
  • la funzione sinc si annulla per x = kπ

dove k è un qualsiasi numero intero diverso da zero.

In un intorno sufficientemente piccolo dell'origine la funzione sinc assume valori molto prossimi a 1.
Si può dimostrare che nel dominio della frequenza la funzione sinc è la trasformata della funzione temporale rappresentata da un rettangolo centrato nell'origine, di durata complessiva τ e di area unitaria.
In questo caso è più usuale rappresentare la trasformata del rettangolo temporale nella forma:

\frac{\sin \pi \tau f}{\pi \tau f}

essendo τ la durata temporale della funzione rettangolare, f rappresenta la frequenza.
In questo caso la funzione nel dominio della frequenza si annulla per πτf = kπ cioè per f=\frac{k}{\tau }
con k intero e non nullo.
Nel caso di una funzione temporale periodica formata da un treno di onde rettangolari, l'ampiezza delle componenti spettrali risulta

\frac{2A\tau }{T}\frac{\sin \frac{n\pi \tau }{T}}{\frac{n\pi \tau }{T}}

L'andamento temporale della funzione e delle componenti spettrali può essere così rappresentato

andamento temporale funzione rettangolare

andamento temporale funzione rettangolare


La distanza frequenziale fra due componenti è pari a 1/T, cioè pari al periodo dell'onda rettangolare, mentre le ampiezze delle componenti spettrali presentano un inviluppo dato dalla funzione sinc, che si annulla per valori multipli di k/τ.

Bibliografia

Appunti dispense prof. C.Offelli

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