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Distribuzioni: qualche cenno teorico (Parte II)

Indice

Abstract

Come anticipato, in questa seconda parte dell'articolo si tratterà la derivata di una distribuzione, accompagnata da qualche esempio applicativo. Seguirà una breve rassegna delle principali proprietà della distribuzione delta di Dirac e l'estensione della trasformata di Fourier alla teoria delle distribuzioni.

1. Derivata

1.1 Definizione

Prendiamo in considerazione la distribuzione \mathcal{F}_{\overline{\varphi} }(f) associata alla generica funzione \varphi (x) \in \mathcal{L}^2(\mathbb{R}):

\mathcal{F}_{\overline{\varphi} }(f):=\int_{\mathbb{R}}\varphi (x)f(x)\text{d}x


La funzione f(x), dal momento che appartiene allo spazio delle funzioni quadrato-integrabili, può non necessariamente essere continua e tantomeno derivabile, dal momento che l'unica condizione richiesta su di essa è:

\left \| f \right \|_{(2)}:=\sqrt[]{\int_{\mathbb{R}}\left | f(x) \right |^{2}\text{d}x}<\infty


Quello che ci chiediamo è se, anche per le distribuzioni (temperate o no che esse siano), è definibile un operatore di derivazione che agisca sulla \varphi (x) in modo analogo a quanto accade per le funzioni standard.

In altri termini, ha senso scrivere \frac{\text{d}}{\text{d}x}\varphi (x)? La risposta è si: vediamo perché.
Prima considerazione: quando è stato definito lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida, si è visto che la condizione necessaria per tali funzioni è l'appartenenza allo spazio C^{\infty }, cioè l'insieme delle funzioni derivabili infinite volte: segue quindi che anche f(x) è di questo tipo.
Seconda considerazione: per due funzioni derivabili f(x) e g(x), vale la formula di integrazione per parti:

\int_{\mathbb{R}}f^{'}(x)g(x)\text{d}x=\left [ f(x)g(x) \right ]_{-\infty }^{\infty }-\int_{\mathbb{R}}f(x)g^{'}(x)\text{d}x


ammesso che entrambi gli integrali esistano. Supponendo che anche la funzione g(x) appartenga allo spazio \mathcal{S}(\mathbb{R}), si ha necessariamente che \lim_{x,\pm \infty }f(x)g(x)=0, quindi la precedente relazione si riduce a:

\int_{-\infty }^{\infty }f^{'}(x)g(x)\text{d}x=-\int_{-\infty }^{\infty }f(x)g^{'}(x)\text{d}x


Da questa espressione partiamo per definire la derivata di una distribuzione: sia dunque \varphi una distribuzione temperata ed f(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R}) una generica funzione a decrescenza rapida. Si definisce derivata di \varphi , \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} x}, la nuova distribuzione introdotta tramite la:

\int_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d} \varphi (x)}{\mathrm{d} x}f(x)\text{d}x:=-\int_{\mathbb{R}}\varphi (x)\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\text{d}x


Per quanto detto sullo spazio delle funzioni a decrescenza rapida, la precedente relazione è iterabile k-volte, pervenendo così alla seguente relazione di carattere generale:

\int_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d}^k \varphi (x)}{\mathrm{d} x^k}f(x)\text{d}x:=-(1)^k\int_{\mathbb{R}}\varphi (x)\frac{\mathrm{d}^k f(x)}{\mathrm{d} x^k}\text{d}x,\,\,\,\forall k=0, 1, 2, ...


E' facilmente verificabile (come fatto nella prima parte) che \frac{\mathrm{d}^k \varphi }{\mathrm{d} x^k} è un funzionale continuo su \mathcal{S}(\mathbb{R}),\,\forall k \in \mathbb{N} quindi esso definisce ancora una distribuzione temperata; ciò dimostra come la definizione che abbiamo dato è ben posta, dal momento che \varphi è altresì una distribuzione temperata per ipotesi.

1.2 Qualche esempio applicativo

Esempio 1.2.1: si mostri che \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\text {rmp}(x)= \text {u(x)}.

La funzione rampa lineare è costruita a partire dalla funzione di Heaviside (ingegneristicamente nota come segnale a gradino), vale a dire rmp(x): = u(x)x, dove:

\text {u}(x):=\left\{\begin{matrix}1\,\,\,\text {se}\,x\geq 0\\ 0\,\,\,\text {se}\,x<0\end{matrix}\right.


E' subito evidente che la funzione rampa lineare non appartiene né allo spazio \mathcal{L}^1(\mathbb{R}), né allo spazio \mathcal{L}^2(\mathbb{R}) (in entrambi i casi le norme non sono finite); tuttavia, il funzionale associato a tale funzione è ben definito in \mathcal{S}^{'}(\mathbb{R}) (basta, come al solito, verificarne la linearità e la continuità), quindi possiamo procedere correttamente ricordando che vale l'inclusione \mathcal{L}^p(\mathbb{R}) \subset\mathcal{S}^{'}(\mathbb{R}),\,\forall p \geq 1. Si ha:

\int_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\text {rmp}(x)f(x)\text{d}x=-\int_{\mathbb{R}}\text{rmp}(x)\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\text{d}x=-\int_{0}^{\infty }x\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\text{d}x=
=-\left \{ \left [ xf(x) \right ]_{0}^{\infty }-\int_{0}^{\infty }f(x)\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}\text{d}x \right \}=\int_{0}^{\infty }f(x)\text{d}x=\int_{\mathbb{R}}\text{u}(x)f(x)\text{d}x,\,\,\,\forall f(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R})


dove abbiamo integrato per parti ed osservato, in forza della decrescenza rapida di f(x), che \left [ xf(x) \right ]_{0}^{\infty }=0. Evidenziando il primo e l'ultimo integrale, segue l'asserto.

Esempio 1.2.2: si mostri che \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\text{u}(x)=\delta (x)

Procedendo in maniera analoga a quanto fatto nel precedente esempio, si ha:

\int_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\text{u}(x)f(x)\text{d}x=-\int_{\mathbb{R}}\text{u}(x)\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\text{d}x=-\int_{0}^{\infty }\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)\text{d}x=
=-\left [ f(x) \right ]_{0}^{\infty }=-\left [ f(\infty )-f(0) \right ]=\int_{\mathbb{R}}\delta (x)f(x)\text{d}x


da cui la tesi. E' importante ancora una volta evidenziare che l'appartenenza della f(x) allo spazio \mathcal{S}(\mathbb{R}), è essenziale affinché risulti \lim_{x,\infty }f(x)=0.

Esempio 1.2.3: calcolare la derivata debole del segnale \varphi (t)=\text{u}(t-1/2)\text{sin}(t)

Abbiamo al solito, presa una f(t) \in \mathcal{S}(\mathbb{R}):

\int_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d} \varphi (t)}{\mathrm{d} t}f(t)\text{d}t=-\int_{\mathbb{R}}\varphi (t)f^{'}(t)=-\int_{\mathbb{R}}\text{u}(t-1/2)\text{sin}(t)f^{'}(t)=

=-\int_{1/2}^{\infty }\text{sin}(t)f^{'}(t)\text{d}t=-\left [ \text{sin}(t)f(t) \right ]_{1/2}^{\infty }+\int_{1/2}^{\infty }\text{cos}(t)f(t)\text{d}t=
=\text{sin}(1/2)f(1/2)+\int_{1/2}^{\infty }\text{cos}(t)f(t)\text{d}t=

=\int_{\mathbb{R}}\delta (t-1/2)\text{sin}(t)f(t)\text{d}t+\int_{\mathbb{R}}\text{u}(t-1/2)\text{cos}(t)f(t)\text{d}(t)


Per cui, la derivata debole cercata è propriamente:

\varphi ^{'}(t)=\delta (t-1/2)\text{sin}(t)+\text{u}(t-1/2)\text{cos}(t)

2. Alcune proprietà della delta di Dirac

In questo paragrafo analizzeremo qualche proprietà utile (di quelle più semplici se ne darà dimostrazione) in ambito applicativo.

I) La delta di Dirac è una distribuzione pari δ(x) = δ( − x).
Abbiamo visto nella prima parte dell'articolo, tra le operazioni effettuabili tra distribuzioni, che date due distribuzioni temperate, esse saranno uguali se agiscono allo stesso modo su una funzione dello spazio \mathcal{S}(\mathbb{R}). Si ha pertanto:


\int_{\mathbb{R}}\delta (x)f(x)\text{d}x=f(0)


e


\int_{\mathbb{R}}\delta (-x)f(x)\text{d}x=\int_{\mathbb{R}}\delta (y)f(-y)\text{d}y=f(0)


dove è stata introdotta la nuova variabile di integrazione y = − x. Ne segue quindi la tesi. Va da sé che la derivata prima della delta di Dirac sarà una distribuzione dispari, ossia che δ'( − x) = − δ'(x), ma questa è una naturale estensione delle note proprietà delle funzioni standard con parità definita che conosciamo dall'Analisi Matematica di base. La dimostrazione è perfettamente analoga a quella appena vista.
II) Per ogni a \in \mathbb{R},\,a\neq 0, risulta \delta (ax)=\frac{1}{\left | a \right |}\delta (x).
Dimostriamo solo il caso con coefficiente positivo. Eseguendo la posizione y = ax, abbiamo:


\int_{\mathbb{R}}\delta (ax)f(x)\text{d}x=\int_{\mathbb{R}}\delta (y)f\left (\frac{y}{a} \right )\frac{1}{a}\text{d}y=\frac{1}{a}f(0)=\frac{1}{a}\int_{\mathbb{R}}\delta (x)f(x)\text{d}x


per qualsiasi f(x) a rapida decrescenza; ne segue quindi l'asserto.
III) Se g(x) è continua nell'origine, allora vale l'uguaglianza g(x)δ(x) = g(0)δ(x).
Infatti, per ogni f(x) a rapida decrescenza, possiamo scrivere:


\int_{\mathbb{R}}(g(x)\delta (x))f(x)\text{d}x=\int_{\mathbb{R}}\delta (x)(g(x)f(x))\text{d}x=g(0)f(0)=g(0)\int_{\mathbb{R}}\delta (x)f(x)\text{d}x


da cui la tesi. Una naturale estensione di quanto detto è il seguente fatto:


g(x)δ(x − x0) = g(x0)δ(x − x0)


assodata la continuità della funzione g(x) nel punto considerato.
IV) Per ogni a \in \mathbb{R},\,a\neq 0, risulta \delta (x^{2}-a^{2})=\frac{1}{2\left | a \right |}(\delta (x-a)+\delta (x+a))
V) Sia g(x) una funzione con derivata continua dotata di zeri semplici in x=x_{j},\,\forall j=1, 2, ..., n
Ne consegue che in un opportuno intorno di ciascun xj la funzione g(x) sia altresì invertibile. Dunque:


\delta (g(x))=\sum_{j=1}^{n}\frac{\delta (x-x_{j})}{\left | g^{'}(x_{j}) \right |}

3. Estensione della trasformata di Fourier

Dalla teoria della trasformata di Fourier, sappiamo che la sua definizione in forma integrale, è ben posta se la funzione integranda appartiene a \mathcal{L}^{1}(\mathbb{R}), a \mathcal{L}^{2}(\mathbb{R}), o ancora a \mathcal{S}(\mathbb{R}). In altri termini, indicando con F[.](.) l'operatore trasformata, si dimostra che:

  • se f \in \mathcal{L}^2(\mathbb{R})\Rightarrow F[f](p)\in \mathcal{L}^2(\mathbb{R});
  • se f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})\Rightarrow F[f](p)\in \mathcal{S}(\mathbb{R});
  • se f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})\Rightarrow F[f](p)\in \mathcal{L}^\infty(\mathbb{R}), continua nel punto p e divergente quando p diverge assolutamente.

Estendere la trasformata di Fourier a quelle funzioni che non appartengono a nessuno degli spazi sopra elencati, significa quindi ammettere l'esistenza della trasformata non più nel senso classico, ma nel senso delle distribuzioni; per capire meglio, considerando la funzione U(x)=1 q.o., risulta (per le proprietà della delta di Dirac già discusse):

F[U](p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}U(x)e^{-ipx}\text{d}x=\sqrt{2\pi}\delta(-p)=\sqrt{2\pi}\delta(p)


E' evidente allora che la trasformata di Fourier di una funzione che è integrabile localmente ma non integrabile o a quadrato-integrabile certamente esiste: essa però non è più, con certezza, una funzione, ma è, più in generale, una distribuzione (temperata o no che sia). Se calcoliamo adesso la trasformata di Fourier di una distribuzione (la delta di Dirac ad esempio):

F[\delta](p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)e^{-ipx}\text{d}x=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}


osserviamo ancora una volta come la trasformata non sia una funzione di \mathcal{L}^2(\mathbb{R}) o \mathcal{L}^1(\mathbb{R}) ma, in questo caso, appartenente allo spazio \mathcal{L}^{p}_{loc}(\mathbb{R}) (delle funzioni localmente integrabili). Questi risultati sono formalizzabili estendendo la trasformata di Fourier agli elementi di \mathcal{S}^{'}(\mathbb{R}) (spazio delle distribuzioni temperate già discusso nella prima parte); per fare questo, è necessario introdurre il seguente:

Teorema 3.1: Se \varphi (x)\in\mathcal{S}(\mathbb{R}), la sua trasformata di Fourier \widehat{\varphi} (p) appartiene anch'essa a \mathcal{S}(\mathbb{R}). Inoltre, se \lim_{n,\infty}\varphi _{n}(x)=\varphi (x) nella topologia τs, allora anche \lim_{n,\infty}\widehat{\varphi} _{n}(p)=\widehat{\varphi} (p) converge nella stessa topologia.

Prendiamo adesso in considerazione due funzioni f e g appartenenti allo spazio \mathcal{S}(\mathbb{R}); dalla teoria della trasformata di Fourier sappiamo che, per il noto teorema di Plancherel, si deve avere:

<f,g>=<\widehat{f},\widehat{g}>=<F[f],F[g]>


Ponendo Ψ: = F[g] e ricordandoci della proprietà di invertibilità della trasformata (operazione del tutto lecita per la regolarità delle funzioni scelte), la relazione appena scritta può essere così riformulata:

<F[f],\Psi >=<f,F^{-1}[\Psi ]>\,\,\,\forall f,\Psi \in\mathcal{S}(\mathbb{R})


Possiamo adesso dare la seguente:

Definizione 3.2: Sia \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}) e T \in \mathcal{S}^{'}(\mathbb{R}); si definisce trasformata di Fourier di una distribuzione temperata T il funzionale \widehat{T}:\mathcal{S}(\mathbb{R}) \to \mathbb{C} siffatto <\widehat{T},\varphi >=<T,F^{-1}[\varphi]>.

Per convincerci di questo, occorre dimostrare la linearità e la continuità del funzionale \widehat{T}; la linearità è abbastanza immediata da mostrare (si vedano gli esempi in merito esposti nella prima parte). Poniamo l'attenzione sulla continuità: in forza del teorema 3.1, è evidente che nella topologia τs se \varphi _{j} \to \varphi anche F[\varphi _{j}] \to F[\varphi] e conseguentemente F^{-1}[\varphi _{j}] \to F^{-1}[\varphi]. Possiamo allora scrivere:

<\widehat{T},\varphi _{j}>=<T,F^{-1}[\varphi _{j}]> \to <T,F^{-1}[\varphi ]>=<\widehat{T},\varphi >


proprio per la continuità del funzionale T e per quanto esposto nella Definizione 3.2. Segue quindi l'asserto: se T \in \mathcal{S^{'}}(\mathbb{R}) allora anche \widehat{T} \in \mathcal{S^{'}}(\mathbb{R}) che mostra proprio come la trasformata di Fourier sia proprio una distribuzione temperata (quindi anche una distribuzione, essendo \mathcal{S^{'}}(\mathbb{R}) un sottoinsieme di \mathcal{D^{'}}(\mathbb{R})).

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