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Teorema di Renzo D. F.

RENZO D.F., MEMBER, EP


Indice

Abstract

Extension of Millman's theorem.

Premessa

Nelle scorse settimane vedendo comparire nel forum il teorema di un "Pisano", del quale non ero proprio a conoscenza, mi sono galvanizzato; pur'io in fondo due anni di Biomedica a Pisa li avevo fatti e anche se ormai non collego più i temini "scarico" ad accumulatore e "perdite" a Joule, bensì a lavandini e guarnizioni, forse uno "straccio" di teorema potevo scriverlo; mi sono messo al lavoro e, grazie ad Isidoro che mi ha dato la possibilità di prendere visione del documento originale di Millman, mi son chiesto ...

... "che sia possibile una sua estensione multinodale ?" ...

Introduzione

Viene sviluppata una relazione risolutiva volta a determinare la differenza di potenziale fra due nodi di una rete lineare, in condizione di regime stazionario, che porta ad una estensione del teorema di Millman a reti a base trinodale; l'espressione è ovviamente più complessa ma, a mio parere, ancora ingegneristicamente utile.


Il vantaggio è rappresentato dal notevole risparmio di calcolo e soprattutto di tempo rispetto alle modalità risolutive tradizionali nonchè dalla facile memorizzazione ed applicazione.

La metodologia applicativa viene illustrata attraverso alcuni esempi applicativi relativi sia a reti in corrente continua sia in corrente alternata sia, per continuità storica, al circuito equivalente di un amplificatore a triodi.

Il Teorema

Assegnati due punti H e K di una rete lineare, collegati da un ramo della rete stessa, nei quali concorrano un arbitrario numero di impedenze Zhi e Zkj, noti i potenziali dei morsetti opposti delle stesse rispetto ad un riferimento comune O, si ricava una generica relazione per la determinazione della d.d.p. V_{HK}\, fra i suddetti punti.

Indicate con E0 e Z0 la f.e.m. e l'impedenza del ramo fra H e K, (E0 positiva se diretta da H verso K)

Fig. 1

Fig. 1

applicando il principio di Kirchhoff alle correnti, ai nodi ad H e K, e posto


Z_{h0}  = Z_{k0}  = Z_0 \,


otterremo, ricordando KCL e Norton ed usando le ammettenze Y=1/Z


\left\{ \begin{array}{l}
 \sum\limits_{i = 1}^n {(V_{hi}  - V_H )Y_{hi} }  + (V_K  - V_H )Y_0  - E_0 Y_0  = 0 \\ 
 \sum\limits_{j = 1}^m {(V_{ki}  - V_K )Y_{kj} }  + (V_H  - V_K )Y_0  + E_0 Y_0  = 0 \\ 
 \end{array} \right.


che si potrà semplificare nel seguente sistema nelle incognite VH e VK


\left\{ \begin{array}{l}
 V_H \sum\limits_{i = 0}^n {Y_{hi} }  - V_K Y_0  = \sum\limits_{i = 1}^n {V_{hi} Y_{hi}  - E_0 Y_0 }  \\ 
  - V_H Y_0  + V_K \sum\limits_{j = 0}^m {Y_{kj} }  = \sum\limits_{j = 1}^m {V_{kj} Y_{hi}  + E_0 Y_0 }  \\ 
 \end{array} \right.


riscritto in forma matriciale corrisponderà a


 \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {\sum\limits_{i = 0}^n {Y_{hi} } } & { - Y_0 }  \\
   { - Y_0 } & {\sum\limits_{j = 0}^m {Y_{kj} } }  \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {V_H }  \\
   {}  \\
   {V_K }  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {\sum\limits_{i = 1}^n {V_{hi} Y_{hi}  - E_0 Y_0 } }  \\
   {\sum\limits_{j = 1}^m {V_{kj} Y_{kj}  + E_0 Y_0 } }  \\
\end{array}} \right)


ed infine, ricordando che


V_{HK}  = V_H  - V_K \,


la relazione cercata sarà esplicitabile come


V_{HK}  = \frac{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {V_{hi} Y_{hi} }  - E_0 Y_0 } \right)\sum\limits_{j = 1}^m {Y_{kj} }  - \left( {\sum\limits_{j = 1}^m {V_{kj} Y_{kj}  + E_0 Y_0 } } \right)\sum\limits_{i = 1}^n {Y_{hi} } }}{{\sum\limits_{i = 0}^n {Y_{hi} } \sum\limits_{j = 0}^m {Y_{kj} }  - Y_0^2 }}\quad\quad (1)


Si desidera sottolinare come, mentre a numeratore le sommatorie delle sole ammettenze abbiano indici "inferiori" i=j=1, a denominatore si abbia i=j=0, ad indicare che sono comprensive dell'elemento Yh0=Yk0=Y0.

Regola mnemonica

La regola mnemonica che si permetterà una facile applicazione sarà;


"La d.d.p. VHK è pari al rapporto fra:

  • un numeratore costituito dalla differenza fra, prodotto delle "correnti di cortocircuito virtuali" dei rami collegati ad H per la somma delle ammettenze concorrenti in K (Y0 esclusa) ed il suo simmetrico relativo a K,
  • un denominatore pari alla differenza fra il prodotto delle somme delle ammettenze in H e in K (Y0 compresa) ed il quadrato dell'ammettenza internodale Y0".


E' facile convincersi che, nel caso di coincidenza fra K e O, venendosi ad annullare tutte le Vkj, si viene ad annullare il secondo termine della differenza a numeratore, mentre a denominatore l'uguagliarsi delle due sommatorie (m=n) porterà a semplificare la relazione nella classica formula di Millman


V_{HO}  = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {V_{hi} Y_{hi} } \sum\limits_{j = 0}^m {Y_{kj} } }}{{\left( {\sum\limits_{j = 0}^m {Y_{kj} } } \right)^2 }} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {V_{hi} Y_{hi} } }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {Y_{hi} } }}


che sarà quindi un caso particolare della (1).

Esempi applicativi

E veniamo alla parte più interessante dell'articolo, ovvero come si applica quel "formulone" ad una rete reale ?

Niente di più semplice, vediamone alcuni esempi:

  • una rete in corrente continua trinodale
Fig. 2

Fig. 2

Sostituendo nella formula i valori dei parametri circuitali della rete otteniamo


V_{HK}=\frac{\left( \frac{5}{3}-\frac{4}{2}-\frac{12}{2} \right)\times \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{1} \right)-\left( -\frac{5}{1}+\frac{12}{2} \right)\times \left( \frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right)}{\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right)\times \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2} \right)-\left( \frac{1}{2} \right)^{2}}=-\frac{105}{25}=-\,\,4,2\,\,\text{V}


I = \left( {V_{HK}  + E_0 } \right)Y_0  = \left( { - \frac{{105}}{{25}} + 12} \right) \times \frac{1}{2} = 3,9\,{\rm{A}}


  • una rete con ramo parallelo
Fig. 3

Fig. 3


In questo caso, basterà considerare l'ammettenza Y0 come somma delle due ammettenze della sottorete in verde


Y_0  = \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}\,\,\,{\rm{S}}


mentre la corrente di corto virtuale rimarra pari a 6/1= 6 A e la tensione sarà


V_{HK}  = \frac{{\left( {\frac{{15}}{2} + 6} \right) \times \left( {\frac{1}{2} + 1} \right) - \left( { - 10 - 6} \right) \times \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{2}} \right)}}{{\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{{10}}{9}} \right) \times \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{{10}}{9}} \right) - \left( {\frac{{10}}{9}} \right)^2 }} = 9\,\,{\rm{V}}


NB Si capisce come sia, in generale, possibile estendere questo caso particolare ad un superiore numero di rami in parallelo fra H e K


\begin{array}{l}
 Y_0  = \sum\limits_v {Y_{hkv} } \, \\ 
 J_0  = \sum\limits_u {E_{hku} Y_{hku} }  \\ 
 \end{array}


  • una rete trifase pentanodale
Fig. 4

Fig. 4


che porta immediatamente a


\begin{align} V_{HK}  &=  \frac{{\left( {\frac{{j100}}{{10}} + \frac{{ - 50\sqrt 3  - j50}}{{10}}} \right) \times \left( {\frac{3}{{j30}}} \right) - \left( 0 \right) \times \left( {\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}}} \right)}}{{\left( {\frac{1}{{j10}} + \frac{1}{5}} \right) \times \left( {\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{5}} \right) - \left( {\frac{1}{5}} \right)^2 }} = \\ &=\frac{{25}}{4}\left[ {(\sqrt 3  - 1) - j(\sqrt 3  + 1)} \right] \approx 4,58 - j17,1\,\,{\rm{V}} \end{align}


e la corrente


I = V_{HK} Y_0  = \frac{5}{4}\left[ {(\sqrt 3  - 1) - j(\sqrt 3  + 1)} \right] \approx 0,915 - j3,42\,{\rm{A}}


NB Si noti come, pur essendo in presenza di cinque nodi, sia ancora possibile applicare la (1) grazie alla "virtualità" dei due nodi, superiore ed inferiore destro, della rete, eliminabili con uno sdoppiamento dei generatori E1 ed E3.


.

Un ultimo Esempio Simbolico

Come ultimo esempio, prendendo in prestito il quarto esempio applicativo (g) del documento di Millman [1], consistente in un amplificatore a doppio triodo per audio-frequenza; mettiamo alla prova la relazione (1) per ricavare il guadagno del primo stadio


Fig. 5

Fig. 5


la rete viene rappresentata con il seguente circuito equivalente


Fig. 6

Fig. 6


Millman deve ovviamente applicare per due volte in successione il suo teorema [2], e ipotizzare delle semplificazioni per non appesantire il calcolo, mentre ora con la relazione (1) potremo scrivere direttamente il guadagno K ricordando che sarà pari a


K = \frac{{V_{G2O} }}{E} = \frac{{V_{PG2} }}{E} \cdot \frac{{Y_C }}{{Y_{Rg}  + Y_{Cg} }}


e quindi


K = \frac{{\left( {EY_3  - \mu EY_P } \right)(Y_{Rg}  + Y_{Cg} )}}{{(Y_3  + Y_P  + Y_2  + Y_L  + Y_C )(Y_{Rg}  + Y_{Cg}  + Y_C ) - Y_C^2 }} \cdot \frac{{Y_C }}{{E\left( {Y_{Rg}  + Y_{Cg} } \right)}}


semplificabile in


K = \frac{{Y_C \left( {Y_3  - \mu Y_P } \right)}}{{Y_C (Y_3  + Y_P  + Y_2  + Y_L ) + (Y_3  + Y_P  + Y_2  + Y_L  + Y_C )(Y_{Rg}  + Y_{Cg} )}}


sviluppando e fatte vere le ipotesi semplificative assunte da Millman


Y_3  \ll \mu Y_P  = G_{m\,\,\,,\,\,\,\,\,\,} Y_3  \ll Y_C \,\,\,,\,\,\,\,Y_2  \ll Y_C


otterremo la stessa relazione finale !


K = \frac{{ - Y_C G_m }}{{Y_C (Y_P  + Y_L  + Y_{Rg}  + Y_{Cg} ) + (Y_P  + Y_L )(Y_{Rg}  + Y_{Cg} )}}


.

Bibliografia

[1] Jacob Millman, A Useful Network Theorem, 1940.

Purtroppo il documento linkato non è scaricabile gratuitamente, è comunque disponibile un breve estratto nella sezione Elettrotecnica del forum

[2] Renzo D. F. , Cos'è il teorema di Millman, 2010.

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Commenti e note

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di ,

Sono senza parole. Grazie

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di ,

e' nata una nuova categoria di idraulici. tanto di cappello! non c'è che dire.

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di ,

Comunque anche guarnizioni e lavandini sono interessanti ;) Le caldaie poi :)

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di ,

Durante lo studio dell'Elettrotecnica ho avuto modo di ricevere spesso il tuo aiuto. Un intervento dietro l'altro sempre molto tempestivo e puntuale sull'argomento. Questa è solo l'ennesima manifestazione della tua conoscenza e della passione incondizionata che metti a disposizione della sua maturazione. Un sincero grazie per volerla condividere spesso con noi. — Antonio

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di ,

Grande Renzo, non so più neanche cosa dire per descrivere l'ammirazione che ho nei tuoi confornti, un lavoro eccelente, i miei complimenti (anche se i complimenti sono alquanto riduttivi di fronte a queste perle)

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di ,

Quando penso al fatto che ho avuto la fortuna di incontrarti di persona, mi salgono ancora i brividi. Una passione e una dedizione così totali non si trovano facilmente. I complimenti sono scontati, direi che oltre ad un luminare, qui ci troviamo di fronte ad un autentico esempio di vita. Grazie Renzo, il mio augurio è che l'energia che trasmetti possa "contagiare" ed accendere quante più menti possibili.

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di ,

Gli EP members non saranno in grado di costruire macchine che ricavano energia dal nulla, e nemmeno di mettere in discussione Maxwell, però qualche bella formula elettrotecnica nel solco della tradizione consolidata riescono a trovarla.
E' quello che scrive Renzo sulla moleskine, l'agenda che estrae dalla borsa di idraulico, tra la riparazione di un rubinetto e la sostituzione di un sifone.

Grazie, Renzo : EP è onorato di pubblicare su EY il frutto delle tue elucubrazioni elettriche nei momenti di pausa idraulica ;-)

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di ,

Eccezionale: ha superato il maestro...E che maestro!

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di ,

Io credo che il tuo acume e la tua intelligenza siano paragonabili a quella dei Grandi Fisici. Dovresti scrivere dei libri, se ne avessi la possibilità, sborserei fior fior di quattrini pur di pubblicartelo. Senza troppi complimenti, ma sono sicuro che supereresti il Conte o l'Oliviero-Ravelli. Come dicono a Roma, sei Er Mejo. Fai paura. Complimenti da un maturando.

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di ,

Molto interessante e valido, complimenti. Proverò a testarlo in un po' di casi pratici nonappena mi capiterà l'occasione.

Rispondi

di ,

Una major revolution nella circuit theory! Millman ha un degno erede e successore. L'elettrotecnica senza confini, come diceva Admin!

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