Tre è la metà di sei?

La domanda sembra superflua, ed in effetti la risposta affermativa è scontata. Tuttavia mi è capitato di pormi tale domanda nel corso dei miei liberi studi pianistici, e per arrivare a una risposta convincente ho dovuto fare alcuni ragionamenti, che forse non è bene trascurare. Supponiamo di avere una battuta (anticamente veniva chiamata anche misura) composta da due movimenti, e che dentro questa battuta ci siano sei note successive della stessa durata. Il metronomo dà un battito ad ogni movimento: Uno - Due. E così via. Il pianoforte nel frattempo percuote sei note: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Non c’è dubbio che il battito Due del metronomo indica la metà della battuta. Mi sapete dire perché, contemporaneamente a tale battito, il pianoforte percuote la nota 4 e non la 3? I numeri li usiamo sia per contare, che per misurare. Contiamo i battiti e le percussioni come accadimenti indivisibili, ma misuriamo il tempo come quantità continua, e quando diciamo “metà della battuta” ci riferiamo alla durata temporale. Per contare basta usare i numeri naturali (1, 2, 3, 4 eccetera), mentre per misurare il tempo occorre aggiungere ancora tre cose: l’uso dello zero per indicare l’istante di riferimento, una unità di misura che sia fisicamente riproducibile, e l’uso delle frazioni per tenere conto delle durate più brevi dell’unità prescelta. Misurare il tempo di un accadimento vuol dire misurare l’attesa che intercorre fra l’istante di riferimento e l’accadimento. L’istante di riferimento può essere un istante qualsiasi purché non cambi, e visto che vogliamo fare dei semplici conti sulla battuta scegliamo l’inizio della battuta. Così ho spiegato proprio tutto. Nel nostro caso l’unità di misura dovrebbe essere data dal metronomo, pertanto una battuta varrebbe 2 ed una nota varrebbe 1/3. Ma per la massima semplicità assumiamo come unità di misura la durata di una nota, e facciamo un ragionamento sulle note, sapendo peraltro che un ragionamento del tutto analogo potrebbe farsi anche sui movimenti. Dunque, le note vengono percosse ai tempi: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ma per contarle diciamo: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Insomma, contiamo nell’unico modo giusto e naturale, però rischiamo di confonderci per quanto riguarda i tempi. Il numero, che contando assegniamo a ciascuna delle note di eguale durata, non misura il tempo in cui quella nota va percossa, bensì il tempo in cui va percossa la nota successiva. Non mi soffermerei su questo se non ritenessi che ha una conseguenza musicale e psicologica. Quando noi abbiamo contato e percosso la nota, potremmo credere di avere svolto il nostro compito per quanto riguarda quella nota, e zelantemente pensare subito alla nota successiva. Sbagliato. Abbiamo appena percosso la nota giusta, contandola col numero giusto che però rappresenta il tempo della nota successiva. Dobbiamo ancora attendere la giusta durata, ed è un compito da svolgere con lo stesso zelo. I libri di matematica, quando illustrano l’ampliamento dell’edificio numerico dal campo dei numeri naturali al campo dei numeri razionali, cioè (abbastanza) continui come il tempo, fanno notare che “tre” rappresenta, come approssimazione per difetto, tutto l’intervallo compreso fra “tre esatto” e “quattro escluso” cioè la notazione si arricchisce di un significato di estensione che non è per nulla accessorio ma è essenziale. Similmente, in musica dobbiamo “eseguire” la giusta durata di ogni nota. Nel caso del pianoforte, per eseguire la durata non c’è nulla da soffiare né da tirare, pertanto possiamo attendere dimenandoci opportunamente per sentire il tempo (jazz), oppure tenere la mano appoggiata sulla nota sporgendola garbatamente verso la nota successiva (legato), o lasciare soltanto che il (ri)sentimento (s)bollisca (Beethoven), o infinite altre cose sperando che colgano nel segno di un giusto risultato emotivo. Come la mettiamo col quesito da cui eravamo partiti? Dunque, la battuta vale sei note e su questo non c’è dubbio. La metà di sei è tre, per favore. Alla metà della battuta percuotiamo la nota 4 (attenzione a non andare fuori tempo a causa dei nostri ragionamenti) ma adesso sappiamo che la percussione non è tutto: quella che conta è anche l’attesa, e l’attesa appartiene tutta alle note 1, 2 e 3. La 4 è stata soltanto percossa, il più resta ancora da fare. Caaaalmaaaa.

L’aberrazione stellare è un fenomeno periodico legato alla rivoluzione della Terra attorno al Sole. Essa fu scoperta da Bradley nel 1725 e fu subito correttamente interpretata come una conseguenza della velocità della luce, di cui si aveva una cognizione ancora recente. L'affermazione galileiana che la Terra si muove attorno al Sole, grazie all'aberrazione stellare ebbe la sua conferma oggettiva nel riferimento delle stelle fisse.

Una medesima stella fissa, osservata in diverse stagioni dell’anno, richiede puntamenti del cannocchiale lievemente diversi (ovviamente, dopo aver tenuto nel debito conto gli altri effetti, come la rotazione terrestre e lo spostamento o parallasse). L’aberrazione è l’angolo di cui dobbiamo deviare il cannocchiale rispetto alla direzione vera di una stella, se vogliamo mantenere la stella esattamente al centro del campo visivo.

Abbiamo visto che la relatività ristretta è basata sulla definizione dell'invariante (1) e sulla trasformazione di Lorentz (2) nella quale la velocità v figura come uno scalare, pertanto prende in considerazione soltanto il moto rettilineo. Prendiamo da Einstein l'esempio di un disco rigido che ruota. La rotazione, diversamente dalla traslazione uniforme, produce degli effetti fisici. Conviene abituarci a pensare che un "corpo rigido", coi suoi prolungamenti ideali, costituisce uno "spazio". Ogni piccola porzione del disco appare dotata di moto (quasi) rettilineo uniforme rispetto a un osservatore fisso, pertanto si applica la trasformazione di Lorentz e si ha la contrazione delle lunghezze disposte lungo la circonferenza, mentre le lunghezze disposte lungo i raggi non subiscono contrazione.

Come gli altri principi fisici, anche il principio di relatività è rispettato dalla natura senza eccezioni, e tale situazione basta a legittimarlo, anche se non basta a chiarire la natura del principio stesso. Il principio di relatività è stato scoperto e sostenuto da un solo scienziato, Einstein, e forse non è mai stato enunciato in una forma ufficiale. Useremo i termini "osservatore", "riferimento" e "sistema di coordinate" come equivalenti fra loro. Il principio in sostanza afferma che "le stesse leggi fisiche sono valide per tutti gli osservatori" e pertanto "le leggi devono avere una forma che sia capace di adattarsi al riferimento". Si intende, inoltre, che "deve esistere una trasformazione che collega le coordinate che un medesimo evento possiede nei diversi riferimenti".

La meccanica classica fornisce delle leggi generali, cioè equazioni differenziali che consentono di prevedere l’evoluzione dei sistemi gravitanti, a partire da condizioni iniziali assegnate. Queste equazioni non sempre sono risolvibili con metodi esatti. Nei casi risolvibili, le traiettorie delle singole particelle (nel senso di punti materiali) costituenti i sistemi restano individuate sotto forma di equazioni algebriche. Un esempio è dato dall’orbita ellittica di un satellite. Un esempio non risolvibile è costituito da tre o più particelle libere, sotto l’azione della reciproca attrazione gravitazionale. In questo caso le traiettorie possono essere caotiche, simili ad una matassa aggrovigliata, e non c’è alcuna equazione in grado di rappresentarle, né tanto meno esiste un metodo per individuare una cosiffatta equazione a partire dalle equazioni differenziali che governano il moto. Queste considerazioni risalgono agli albori della meccanica classica e precisamente a Newton, tre secoli fa.

Mediante un microcontrollore opportunamente programmato, si possono svolgere le stesse funzioni di un circuito elettronico analogico. Mi riferisco alla possibilità di campionare i segnali in ingresso e simulare il circuito mediante operazioni alle differenze finite. Svolgeremo un esempio pratico descrivendo una realizzazione che comprende un paio di semplici filtri, due rivelatori a valor massimo e una logica di confronto. Il tutto fa parte di un ricevitore per radiocomando a 3 canali On-Off in tecnica AFSK, ma è chiaro che non voglio fare concorrenza alla Futaba bensì soltanto servirmi di un esempio per mostrare come si possa simulare un filtro. Non tratteremo l'argomento dei filtri in generale nè dei quadripoli nè tanto meno dei filtri digitali. Invece presupponiamo di avere un filtro già definito, nel senso che abbiamo già lo schema elettrico coi valori dei componenti o abbiamo già la funzione di trasferimento con poli e zeri, e desideriamo soltanto trovare il modo per simulare questo determinato filtro. Assunte queste premesse, l'esempio che svolgeremo ha valore generale e può costituire un metodo valido per simulare qualsiasi filtro. I filtri di ordine superiore converrà considerarli come costituiti da più celle in cascata.