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Metodi di integrazione

In questo articolo descrivo un paio di metodi di integrazione. I metodi base per chi studia Analisi I. "Non vi aspettate a un grande articolo".

Indice

Integrazione immediata (integrali elementari)

Il caso più semplice che può capitare è questo dove bisogna conoscere La tavola degli integrali e applicare le formule. Ma sopratutto bisogna sapere che l'integrale è l'inverso della derivata. F_{(x)}^{'}=f_{(x)}\, dove \,F_{(x)}=\int f_{(x)}\, \text{d}x.

Tavola degli integrali

f(x) F(x)
\,0 \,k
\,k \,kx
\,x \frac{1}{2}x^2
\,x^2 \frac{1}{3}x^3
\,x^n \,\, (n \neq-1) \frac{1}{n+1}x^{n+1}
\,kx^n \,\, (n \neq-1) \frac{k}{n+1}x^{n+1}
\frac{1}{x} \,\ln \left | x \right |=\log \left | x \right |
\,\sin(x) \,-\cos(x)
\,\cos(x) \,\sin(x)
\frac{1}{x^2+1} \,\arctan(x)
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\arcsin(x)
\,e^x \,e^x
\,a^x \frac{a^x}{\ln(x)}

Tavola degli integrali (formule generalizzate)

f(x) F(x)
\frac{f_{(x)}^{'}}{f_{(x)}} \ln\left | \,f_{(x)}\, \right |
[f_{(x)}]^nf_{(x)}^{'} \frac{[f_{(x)}]^{n+1}}{n+1}
\frac{f_{(x)}^{'}}{\sqrt{1-[f_{(x)}]^2}} \, \arcsin(f_{(x)})
\frac{f_{(x)}^{'}}{1+[f_{(x)}]^2} \, \arctan(f_{(x)})
e^{f_{(x)}}{f_{(x)}^{'}} e^{f_{(x)}}

Integrazione per scomposizione in somme

L'integrazione per scomposizione è possibile grazie alla linearità dell'integrale. E utile per scomporre l'integrale di una funzione in somma di più integrali di funzioni elementari.

f_{(x)}=f_{1(x)}+f_{2(x)}+ \cdots +f_{n(x)} \int f_{(x)} \, \text{d} x = \int f_{1(x)} \, \text{d}x \, + \int f_{2(x)} \, \text{d}x \, + \cdots + \int f_{n(x)} \, \text{d}x

Esempio

\int (3x^4 + 2x^3 + x^2 +2x -4) \, \text{d}x = \int 3x^4 \, \text{d}x\, +\int 2x^3 \, \text{d}x\, +\int x^2 \, \text{d}x\, +\int 2x \, \text{d}x\, -\int 4 \,\text{d}x = \frac{3}{5}x^5 + \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 4x \, \, +C

Integrazione per parti

Siano f e g derivabili in [a,b] allora: \, (fg)^{'}=f^{'}g+fg^{'} \, \rightarrow \, -fg^{'}=-(fg)^{'}+f^{'}g \, \rightarrow \, fg^{'}=(fg)^{'}-f^{'}g \int fg^{'}\,\text{d}x=\int (fg)^{'}-\int f^{'}g\,\text{d}x \int f_{(x)} g_{(x)}^{'}\,\text{d}x=f_{(x)} g_{(x)}-\int f_{(x)}^{'}g_{(x)}\,\text{d}x
Per integrali definiti:
\int_{a}^{b} f_{(x)}g^{'}_{(x)} \,\text{d}x=f_{(b)}g_{(b)}-f_{(a)}g_{(a)}-\int_{a}^{b} f^{'}g\,\text{d}x

Esempio

\int xe^x \, dx \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=f_{(x)} & & \\ e^x=g_{(x)}^{'} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{'}=1 & & \\ \int e^x\, \text{d}x=e^x & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \, xe^x- \int e^x \, \text{d}x = xe^x-e^x +\,C = e^x(x-1) +\,C

Per parti (ciclici)

Il metodo di integrazione e lo stesso cambia solo il passaggio finale.

Esempio

\int \cos^2x\,\text{d}x \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \cos x=f & & \\ \cos x=g^'& & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} (\cos x)^{'}=-\sin x & & \\ \int \cos x \, \text{d}x = \sin x& & \end{matrix}\right. \int \cos(x) \cos(x) \, \text{d}x = \cos(x) \sin(x) - \int (-\sin(x))\sin(x)=\cos(x)\sin(x)+ \int \sin^2x \,\text{d}x =\cos(x)\sin(x)+ \int 1-\cos^2x \, \text{d}x \int \cos^2x \, \text{d}x=\cos(x)\sin(x)+ \int 1-\cos^2x \,\text{d}x = \cos(x)\sin(x)+ x- \int \cos^2x \, \text{d}x
Fin qui il metodo per parti.
2\int \cos^2x \, \text{d}x = \cos(x)\sin(x)+ x \Rightarrow \int \cos^2x \, \text{d}x = \frac{ \cos(x)\sin(x)+ x}{2} +\, C

Per sostituzione

L'integrazione per sostituzione è un metodo che ci aiuta a semplificare un integrale che ha una funzione composta in maggior parte dei casi.La formula generale è:

\int_{a}^{b}f_{(x)}\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f_{(g_{(t)})}g_{(t)}^{'}\,dx \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} g_{(\alpha)}=a & & \\ g_{(\beta)}=b & & \end{matrix}\right.


Esempio

\int \frac{\text{d}x}{1+(3x)^2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3x=t & & \\ x= \frac{1}{3}t& & \\ (x)^{'}=\frac{1}{3}& & \end{matrix}\right. \int \frac{\text{d}t}{1+(t)^2} \frac{1}{3}= \frac{1}{3}\int \frac{\text{d}t}{1+(t)^2}= \frac{1}{3} \arctan(t) +\,C= \frac{1}{3} \arctan(3x) + \,C

Integrazione di funzioni razionali

L'integrazione delle funzioni razionali è un metodo molto utile e facile come concetto anche se molto lungo e pieno di calcoli in certi casi. Il metodo consiste in semplificare una certa frazione tra due polinomi in più frazioni. I casi variano. Casi base Prima di scomporre la funzione dobbiamo vedere se i due polinomi \,A_(X) e \,B_(x) si possono dividere tra di loro.Dove \frac{A_{(x)}}{B_{(x)}} è la funzione.

I Caso grado \,di \,A_{(x)} \geq \,grado \,di\, B_{(x)}

In questo caso basta dividere i due polinomi.

Esempio

\int \frac{2x^2-x-3}{3x^2+2x-1}\,\text{d}x = \int \frac{-\frac{7}{3}x-\frac{7}{3}}{3x^2+2x-1}+\frac{2}{3}\,\text{d}x

II Caso grado \,di \,A_{(x)} < \,grado \,di\, B_{(x)}

In questo caso la divisione non serve.


Casi secondari

Considerando un integrale di tipo: \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\,\text{d}x Il polinomio di secondo grado ax2 + bx + c può avere il delta uguale a zero, maggiore o minore di zero. Da qui tre casi: I Δ = 0

Esempio

\int \frac{x+1}{x^2+2x+1}\,\text{d}x In questo caso posiamo utilizzare la formula del logaritmo: \int \frac{f_{(x)}^{'}}{f_{(x)}}\,\text{d}x= \ln\left | f_{(x)} \right |+\,C

\int \frac{x+1}{x^2+2x+1}\,\text{d}x=\frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{x^2+2x+1} \, \text{d}x = \ln\left | x^2+2x+1 \right | +\,C

Non sempre sono queste situazioni perciò in certi casi dobbiamo semplificare.

Esempio

\int \frac{k}{ax^2+bx+c}\,\text{d}x=\ \int \frac{k}{a(x-x_0)^2} \, \text{d}x = \frac{k}{a} \int (x-x_0)^{-2}\,\text{d}x= \frac{k}{a} \frac{(x-x_0)^{-1}}{-2+1} +\,C= - \frac{k}{a(x-x_0)} +\,C

O pure:

\int \frac{px+k}{ax^2+bx+c}\,\text{d}x=\ \int \frac{px+k}{a(x-x_0)^2} \, \text{d}x = \int \frac{A}{a(x-x_0)} \,\text{d}x + \int \frac{B}{a(x-x_0)^2} \,\text{d}x = \frac{A}{a}ln\left | x-x_0 \right |-\frac{B}{a(x-x_0)}+\,C

II Δ > 0

\int \frac{px+k}{ax^2+bx+c}\,\text{d}x=\ \int \frac{px+k}{(x-x_1)(x-x_2)} \, \text{d}x = \int \frac{A}{(x-x_1)} + \frac{B}{(x-x_2)} \,\text{d}x

Esempio

\int \frac{4x+1}{x^2-x-6}\,\text{d}x=\ \int \frac{4x+1}{(x+2)(x-3)} \, \text{d}x = \int \frac{A}{(x+2)} + \frac{B}{(x-3)} \,\text{d}x

\frac{4x+1}{x^2-x-6}=\frac{A}{(x+2)} + \frac{B}{(x-3)} = \frac{A(x-3)+B(x+2)}{x^2-x-6} = \frac{Ax-3A+Bx+2B}{x^2-x-6}

\frac{4x+1}{x^2-x-6} = \frac{Ax-3A+Bx+2B}{x^2-x-6}

\,4x+1 = Ax-3A+Bx+2B

\,4x+1 = (A+B)x+(2B-3A)

4x= (A+B)x\, \, \, ; \, \,(2B-3A)=1

4= (A+B)\, \, \, ; \, \,(2B-3A)=1\,\,\,;\,\,\,B=4-A\,\Rightarrow 1=8-2A -3A \Rightarrow 5A=7 \Rightarrow A=\frac{7}{5}\,\,\,;\,\,\,B=\frac{13}{5}

Ora l'integrale diventa:

\int \frac{4x+1}{x^2-x-6}\,\text{d}x=\ \int \frac{4x+1}{(x+2)(x-3)} \, \text{d}x = \int \frac{\frac{7}{5}}{(x+2)} + \frac{\frac{13}{5}}{(x-3)} \,\text{d}x= \frac{7}{5} \int \frac{\text{d}x}{(x+2)} + \frac{13}{5} \int \frac{\text{d}x}{(x-3)}=

\frac{7}{5} \int \frac{1}{(x+2)} \text{d}x + \frac{13}{5} \int \frac{1}{(x-3)}\text{d}x =\frac{7}{5}\ln\left | x+2 \right |+\frac{13}{5}\ln\left | x-3 \right | +\,C

III Δ < 0 In questo caso non ci basta il logaritmo ma dobbiamo utilizzare l'arcotangente.


Esempio

\int \frac{1}{x^2+4x+5}\,\text{d}x

x^2+4x+5=(x+2)^2+1 \Rightarrow \int \frac{1}{(x+2)^2+1}\,\text{d}x

Utilizzando la sostituzione avremo:

x + 2 = t

x = t − 2 x' = 1

Ora l'integrale diventa: \int \frac{\text{d}x}{t^2+1}=arctg(t)+\,C

\arctan(t)+\,C=\arctan(x+2)+\,C

\int \frac{1}{x^2+4x+5}\ = \arctan(x+2)+\,C

Metodi per integrali definiti

Per le funzioni pari o dispari Pari Avendo l'integrale di una funzione pari tra due x uguali ma di segno opposto.

\int_{-a}^{a}funzione\,\, pari\,\,dx=2\int_{0}^{a}funzione\,\,pari\,\,dx

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad


Dispari Avendo l'integrale di una funzione dispari tra due x uguali ma di segno opposto.

\int_{-a}^{a}funzione\,\, disparipari\,\,\text{d}x=0

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Altro metodo

\int_{0}^{a} f_{[u_{(x)}]}\,\text{d}x=\int_{0}^{a} f_{[u_{(a-x)}]}\,\text{d}x


Esempio

I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^mx}{\sin^mx+\cos^mx}\,\text{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^m(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^m(\frac{\pi}{2}-x)+\cos^m(\frac{\pi}{2}-x)}\,\text{d}x
= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^mx}{\cos^mx+\sin^mx}\,\text{d}x

I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^mx}{\sin^mx+\cos^mx}\,\text{d}x= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^mx}{\cos^mx+\sin^mx}\,\text{d}x

2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^mx}{\sin^mx+\cos^mx}\,\text{d}x+ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^mx}{\cos^mx+\sin^mx}\,\text{d}x

2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^mx}{\sin^mx+\cos^mx}+\frac{\cos^mx}{\cos^mx+\sin^mx}\,\text{d}x

2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^mx+\cos^mx}{\sin^mx+\cos^mx}\,\text{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \text{d}x

2I= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \text{d}x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow I=\frac{\pi}{4}

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