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Sito web · da **admin** » 29 nov 2010, 13:37

Prima di rispondere, avrei potuto dare un'occhiata al mio testo di Elettrotecnica Generale di Giovanni Someda Ed- Patron 1968.
Spero che la scansione non sia interpretata come una violazione di Copyright, ma un ulteriore riconoscimento per un testo che è come le tasche di Eta Beta.

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da **DirtyDeeds** » 29 nov 2010, 15:35

Provo ad aggiungere qualcosa per wackos, usando come esempio il campo magnetico prodotto da una linea di corrente. Purtroppo non credo che si riesca a semplificare più di tanto per cui dovrò usare un (bel) po' di matematica. Fissiamo un sistema di coordinate cilindriche con l'asse

centrato sulla linea di corrente e con verso concorde al verso della corrente.

Com'è noto (v. p.es. qui, paragrafo 1.4), in questo caso, tutte le componenti del campo sono nulle tranne la componente $\theta$ che vale ( r>0

)

$H_\theta = \frac{I}{2\pi r}$

Le linee di campo, insieme a ipotetiche linee equipotenziali (tratteggiate) sono disegnate qui sotto:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Adesso, assumiamo che tale campo magnetico possa essere scritto come gradiente di un potenziale $\psi$ (se valesse tale assunzione, il campo verrebbe detto conservativo), $\mathbf{H}=\nabla\psi$ , e vediamo a quali conseguenze porta tale assunzione. Immaginiamo di prendere due punti dello spazio P_0

e

e di calcolare l'integrale di linea del campo lungo un percorso $\gamma$ che unisca P_0

a

:

$\int_\gamma \mathbf{H}\cdot\text{d}\mathbf{s} = \int_\gamma \nabla\psi\cdot\text{d}\mathbf{s} = \int_\gamma \text{d}\psi$ = $\psi(P)-\psi(P_0)$

Il risultato trovato ci dice che tale integrale è funzione solo del potenziale $\psi$ agli estremi del cammino d'integrazione; in particolare, poi, se il cammino è chiuso, cioè il punto iniziale e il punto finale coincidono, allora

$\int_\gamma \mathbf{H}\cdot\text{d}\mathbf{s} = 0$

L'integrale di linea di un campo conservativo lungo un qualunque cammino chiuso è nullo.

IMPORTANTE: quella che abbiamo trovato è una condizione necessaria (ma non sufficente) a che il campo sia conservativo: ovvero, SE troviamo un cammino chiuso per cui l'integrale sopra NON è nullo, ALLORA il campo NON è conservativo.

Bene, determiniamo l'integrale di linea lungo un arco di cerchio, con centro nella linea di corrente, che vada da $\theta_0=0$ a $\theta$ generico. Lungo l'arco di cerchio il campo ha modulo costante ed è parallelo a $\hat{\mathbf{\theta}}$ ; inoltre $\text{d}\mathbf{s}=\hat{\mathbf{\theta}}r\text{d}\theta$ . Quindi

$\int_\gamma \mathbf{H}\cdot\text{d}\mathbf{s} = \int_0^\theta \frac{I}{2\pi r}r\text{d}\theta = \frac{I\theta}{2\pi}$

Adesso, se prendiamo $\theta = 2\pi$ , percorriamo un cammino chiuso, cioè ritorniamo al punto di partenza, ma

$\int_\gamma \mathbf{H}\cdot\text{d}\mathbf{s} = I\neq 0$

Morale: il campo magnetico generato dalla linea di corrente non è conservativo e quindi NON può essere scritto, in tutto lo spazio, come gradiente di un potenziale. A cosa si riferisce quel "in tutto lo spazio"? Si riferisce al fatto che, nel fare l'integrale di linea, ho permesso al cammino di percorrere tutto lo spazio, e, in particolare, gli ho permesso di girare intorno al filo di corrente. Se io tagliassi lo spazio con un semipiano che avesse origine nella linea di corrente, e impedissi l'attraversamento del semipiano, scoprirei che per tutti i cammini chiusi contenuti in questo spazio "tagliato" (quindi non attraversanti il semipiano), l'integrale calcolato sopra sarebbe nullo (prova a fare il calcolo con qualche cammino semplice). Oibò, come faccio a tagliare lo spazio con un simile semipiano? Matematicamente posso farlo, per esempio, restringendo $\theta$ all'intervallo aperto $(0,2\pi)$ , ottenendo così la figura sotto (il taglio coincide con il semipiano polare)

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Avrei potuto scegliere anche altri tagli, p.es. avrei potuto tagliare con un semipiano ortogonale al semipiano polare, restringendo $\theta$ all'intervallo $(-3\pi/2,\pi/2)$ , e ottenendo la figura

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Riassumendo, in questo spazio tagliato capita che:

1) l'integrale di linea del campo è nullo per tutti i cammini chiusi (o, in modo equivalente, $\nabla\times \mathbf{H}=0$ in tutto lo spazio). Questa era la condizione necessaria ottenuta all'inizio.
2) Lo spazio su cui è definito il campo è semplicemente connesso (v. la definizione data nella scansione di admin). Questa è una proprietà aggiuntiva che abbiamo ottenuto tagliando lo spazio su cui definiamo il campo.

Si può dimostrare che le proprietà 1) e 2) insieme sono condizioni sufficienti perché il campo sia conservativo.

Per esempio, con la restrizione $\theta\in(0,2\pi)$ , dall'integrale di linea calcolato all'inizio, posso determinare il potenziale scalare magnetico come

$\psi(r,\theta,z)-\psi(r_0,\theta_0,z_0) = \frac{I(\theta-\theta_0)}{2\pi}$

E imponendo $\psi(r_0,\theta_0,z_0)=0$

$\psi(r,\theta,z) = \frac{I(\theta-\theta_0)}{2\pi} \qquad\qquad\theta\in(0,2\pi)$

Nota che non posso prendere $\theta_0 = 0$ perché l'ho escluso dallo spazio. E' allora immediato vedere che le superfici equipotenziali sono le superfici $\theta=\text{cost.}$ , proprio quelle tratteggiate nel disegno. E' però importante osservare che il potenziale è discontinuo attraverso una superficie di taglio, per cui disegnare le superfici equipotenziali senza specificare la superficie di taglio può essere fuorviante.

Ultima osservazione: nel caso del campo elettrostatico l'integrale di linea del campo elettrico lungo un certo cammino dà il lavoro che si compirebbe pe spostare una carica unitaria lungo quel cammino. Questo capita perché la forza elettrostatica agente su una carica è diretta come il campo elettrico. Per il campo magnetico, questo non è vero: la forza impressa dal campo magnetico su una carica è sempre ortogonale al campo, è il lavoro è sempre nullo. Le superfici equipotenziali trovate sopra, quindi, non sono legate ai concetti di lavoro ed energia. Insomma, direi che il potenziale scalare magnetico può essere un utile strumento di calcolo, ma non ha lo stesso significato fisico di quello elettrostatico.

O_/