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da **clavicordo** » 30 lug 2013, 12:38

Insieme agli autovettori ritengo sia politically correct ricordare anche il loro femminile, ossia le autovetture. Si tratta di oggetti che si sono diffusi, e in modo preoccupantemente crescente, dall'inizio del '900 in poi. Come tutte le cose hanno i loro pro e i loro contro (a volte anche il loro scontro). Tra i pro possiamo menzionare anche il ruolo nel favorire l'incontro, sia al loro esterno che al loro interno, tra esseri umani.

Scherzi a parte, mi piacerebbe che qualcuno che ha molta più competenza matematica di me illustrasse questo argomento degli autovalori e autovettori mostrandone alcuni risvolti pratici e tecnici, e non solo li elencasse, come è stato già fatto qui. E' un argomento della massima importanza che viene dato troppo per sottinteso e non ne viene quasi mai esplicitata la relazione con concetti di uso comune nella scienza e nella tecnica, quali gli spettri di frequenza e le rappresentazioni basate sull'ortogonalità.
Già il termine "auto" è un po' ambiguo; sarebbe forse meglio usare il temine "caratteristico", come in tedesco, e dire quindi "valori caratteristici" e "vettori caratteristici".

da **RenzoDF** » 30 lug 2013, 20:44

E' un discorso complesso e vastissimo e non sono certo in grado di affrontarlo io, ad ogni modo autovalori e autovettori possono essere utili nello studio di numerosi fenomeni naturali; per far prima, tanto per cominciare, posto l'opinione di Nick Trefethen, dalla quale si possono ricavare numerosi spunti di "ricerca googheliana" ...

http://www.siam.org/pdf/news/1943.pdf

... in particolare, per la gioia di

clavicordo, che di sicuro conoscerà già l'applicazione in campo musicale, linko un alto interessante "papero" di Trefethen (e Howle)
"Eigenvalues and musical instruments"
http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/ ... 001_93.pdf

....e, a proposito di "ricerche googheliane", cito anche un'applicazione importante
"THE $25,000,000,000 EIGENVECTOR THE LINEAR ALGEBRA BEHIND GOOGLE"

http://www.rose-hulman.edu/~bryan/googl ... nFixed.pdf

Non posso comunque fare a meno di postare un riferimento basilare al Grandissimo Strang iOi

è da lì che bisogna cominciare ... $\text{Ax=}\lambda \text{x}$ :!:

Si veda anche Capitolo 10 del seguente testo gratuito di Yousef Saad
http://www-users.cs.umn.edu/~saad/eig_book_2ndEd.pdf

da **DirtyDeeds** » 30 lug 2013, 22:47

è da lì che bisogna cominciare ... $\text{Ax=}\lambda \text{x}$

Quiz à la "Ah, ci sono!" per chi inizia a studiare autovalori e autovettori: prendiamo una rotazione dello spazio ordinario, quello in cui viviamo, rispetto a un certo asse: senza fare conti, qual è una famiglia di autovettori di questa trasformazione? Quanto vale l'autovalore corrispondente?

da **clavicordo** » 30 lug 2013, 23:12

qual è una famiglia di autovettori di questa trasformazione? Quanto vale l'autovalore corrispondente?

Direi a occhio e croce che l'autovettore è un vettore che ha la stessa direzione dell'asse di rotazione e che l'autovalore è 1. Sbagliato?

da **Vinus** » 30 lug 2013, 23:19

clavicordo ha scritto: mi piacerebbe che qualcuno che ha molta più competenza matematica di me illustrasse questo argomento degli autovalori e autovettori mostrandone alcuni risvolti pratici e tecnici

Purtroppo per voi (m soprattutto per me... #-o

) non posseggo tali competenze, però mi sento di dare un suggerimento, che mi è tornato utile per "assaporare" quanto meno alcune implicazioni concettuali: date una smanettata con la libreria di Matlab, "giocando" con le varie applicazioni si riesce a cogliere qualcosa che sfugge alle mere formule algebriche.

Ribadisco: non è un'attività che rende più abili nel calcolo, ma ci si fa un'idea a livello "intuitivo"... :ok:

da **DirtyDeeds** » 30 lug 2013, 23:25

clavicordo ha scritto:Direi a occhio e croce che l'autovettore è un vettore che ha la stessa direzione dell'asse di rotazione e che l'autovalore è 1.

Giusto!

Questo autovettore rimane invariato dalla trasformazione.

Adesso prendiamo un filtro (elettrico, acustico): un filtro è un dispositivo che effettua una trasformazione lineare di un segnale. Chi sono gli autovettori? E gli autovalori? ;-)

da **Ianero** » 31 lug 2013, 0:19

è da lì che bisogna cominciare ... $Ax= \lambda x$

Scusate, come mai?
Non ho capito, forse perché mi viene spiegato solo che bisogna partire da qui?
$det(A- \lambda I)=0$

PS: Non equivale a dire che A è uguale a $\lambda$ ?

da **dimaios** » 31 lug 2013, 9:19

No. Vuol dire che moltiplicando un vettore per una matrice si ottiene il medesimo vettore scalato per una costante. Attento alla natura degli elementi nella definizione del problema! Matrice vettore scalare.

da **Ianero** » 31 lug 2013, 10:36

moltiplicando un vettore per una matrice si ottiene il medesimo vettore scalato per una costante

Questo nemmeno l'avevo mai letto.. Grazie..

da **DirtyDeeds** » 31 lug 2013, 10:37

Ianero ha scritto:
è da lì che bisogna cominciare ... $Ax= \lambda x$

Scusate, come mai?

Perché quella è la definizione di autovettore: un vettore non nullo $\boldsymbol{v}\in \mathbb{K}^n$ è autovettore di una matrice $\boldsymbol{A}\in \mathbb{K}^{n\times n}$ , con, p.es., $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ o $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ , se per qualche $\lambda\in \mathbb{K}$

$\boldsymbol{A}\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}$

Perché valga l'uguaglianza sopra si deve avere

$(\boldsymbol{A} - \lambda \mathbf{I}_n)\boldsymbol{v} = \mathbf{0}$

dove $\mathbf{I}_n$ è la matrice identità $n\times n$ . Nota bene: vettori e matrici li ho denotati in grassetto (le costanti sono anche in carattere dritto), mentre gli scalari come $\lambda$ sono denotati in carattere normale. Quindi lo $\mathbf{0}$ che compare nell'equazione sopra è un vettore ed è lo zero dello spazio $\mathbb{K}^n$ .

Ora, se fosse $\det(\boldsymbol{A} - \lambda \mathbf{I}_n) \neq 0$ (qui lo zero è uno scalare), la matrice $\boldsymbol{A} - \lambda \mathbf{I}_n$ sarebbe invertibile e si avrebbe

$\boldsymbol{v} = (\boldsymbol{A} - \lambda \mathbf{I}_n)^{-1}\mathbf{0} = \mathbf{0}$

ovvero ci sarebbe un unico $\boldsymbol{v}$ per cui $\boldsymbol{A}\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}$ e sarebbe il vettore nullo. Per cui se $\det(\boldsymbol{A} - \lambda \mathbf{I}_n) \neq 0$ non ci sono autovettori con autovalore $\lambda$ . Viceversa, se per qualche $\lambda$ si ha $\det(\boldsymbol{A} - \lambda \mathbf{I}_n) = 0$ , allora l'equazione

$(\boldsymbol{A} - \lambda \mathbf{I}_n)\boldsymbol{v} = \mathbf{0}$

ha soluzioni non nulle e queste soluzioni sono gli autovettori.

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Autovalori e autovettori

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