Amici immaginari dal comportamento discutibile

[Ianero]

Dunque il problema è che la funzione non è la stessa nei reali e nei complessi.
Ma la potenza razionale è comunque definita nei reali.
Escludiamo i numeri negativi, se prendiamo solo i positivi, la radice e la potenza razionale con esponente sono quindi funzioni diverse che per il caso particolare dei numeri positivi producono lo stesso risultato (come ad esempio nel caso )?

[PietroBaima]

Vediamo se riesco a non farla troppo noiosa
Immaginiamo i numeri come punti di una sfera.
Scegliamo di esprimere tutti i numeri come vettori il cui punto di origine è il "polo sud" della sfera, per esempio.

Supponiamo che, a causa di una mia scelta strana, mi muova in un piccolo intorno del polo sud.
Lo spazio mi sembrerebbe un cerchio piatto, circa.
Ho quindi ridotto le dimensioni a 2.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Se poi mi muovessi in un piccolo intorno di un diametro di questo cerchio arriverei a definire una lunghezza.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ho definito quindi i numeri reali come una approssimazione dei numeri complessi, che vale finché non mi muovo troppo lontano dall'intorno che ho definito come soddisfacente.
Ma si sa, ai matematici queste cose approssimate non piacciono.
Infatti la realtà è che la sfera non solo ha infinite dimensioni, ma ha anche un raggio infinito.
Questo fa si che il segmento sul quale avevo ristretto lo spazio sulla sfera (che era il diametro del cerchio ed una corda della sfera) sia in realtà una retta, ovviamente di lunghezza infinita, che definisce tutti i numeri reali.

Ho inventato quindi un modo per creare infinite estensioni dei numeri reali, non solo quelli complessi, ma anche altri, di dimensione via via sempre più grande: gli insiemi di Cayley–Dickson che definiscono numeri ipercomplessi.

Facciamo un esempio.
Prendiamo un numero reale:

Per "uscire" dalla retta sul quale giace, devo considerarlo come un vettore (cosa che lui è già, ma è un vettore così piccolo che mi sembra un punto, in seguito al nostro ragionamento) e "dotarlo" di una dimensione in più.
Uso quindi un versore per "aumentare" la sua dimensione e sostituisco, rimpiazzo, cambio il "numero" x con il "vettore" z.

Questa operazione è indolore?
Come abbiamo visto, no.
perché devo fare attenzione a fare in modo di non uscire dalle semplificazioni che ho adottato.
Tutte le paranoie sulla radice quadrata di meno uno arrivano da qui.
A questo punto, però, posso continuare a "sostituire" x. Se aumento nuovamente di dimensione x, devo farlo anche per y, altrimenti non arriverò ad alcuna soluzione.
Le dimensioni dei numeri sono sempre a coppie (dalla dimensione 2 dei numeri complessi si passa a dimensione 4, poi 8, poi 16 ecc, a meno di considerare un numero di dimensioni non intero, oppure reale, oppure complesso, oppure ipercomplesso, ma lasciamo perdere).
Proviamo.
Devo fare attenzione a sostitituire bene.
Voglio sostuituire, in

x e y con due numeri complessi.
Pongo quindi:

e


Faccio notare che per x e y ho usato il versore j e non i perché sto abbandonando il piano definito da 1 e i (il piano dei complessi) e quindi mi serve un nuovo versore.
Sostituiamo:





Ohibò. E adesso come faccio a calcolare
beh, diciamo che potrei annoiarvi parecchio....
Una spiegazione intuitiva è quella di porre ortogonalmente due piani complessi tra loro e osservare la direzione del versore risultante dalla composizione vettoriale dei due precedenti.
Quello che si ottiene è un versore perpendicolare ad entrambi (come nel prodotto vettoriale) che chiameremo k.
Abbiamo quindi trovato il quarto versore:
1 i j k
e definito quindi il nostro spazio a quattro dimensioni.


Il grosso, immenso, infinito pain in the ass che si ha è che .
In generale, quindi, perdiamo la commutatività del prodotto.
In questo caso bisogna fare attenzione a fare il quadrato di i, j e k.

Continuando arriverei ad uno spazio ad 8 dimensioni, per i quali, purtroppo non vale nemmeno più la commutatività della somma.
Se continuo a 16 perdo anche l'associatività.

Personalmente sono spazi che odio, nonchè troppo stretti per me...

[DirtyDeeds]

Dunque il problema è che la funzione non è la stessa nei reali e nei complessi.

No, il problema è che nei complessi non c'è proprio una funzione . C'è una relazione, che puoi restringere a diverse funzioni. Ma se tutte le funzioni le denoti con lo stesso simbolo capisci che capita quello che ti ho fatto vedere in [30].

Prendiamo ciò che hai scritto in [1]:



Qui hai considerato . Invece, in



hai implicitamente considerato .

Nel campo dei numeri complessi il simbolo denota una qualunque delle due soluzioni dell'equazione : non si può trattare come una funzione a meno che non si consideri una specifica soluzione in modo coerente dappertutto.

[Ianero]

Infatti la realtà è che la sfera non solo ha infinite dimensioni, ma ha anche un raggio infinito.
Questo fa si che il segmento sul quale avevo ristretto lo spazio sulla sfera (che era il diametro del cerchio ed una corda della sfera) sia in realtà una retta, ovviamente di lunghezza infinita, che definisce tutti i numeri reali.

Ho inventato quindi un modo per creare infinite estensioni dei numeri reali

Le dimensioni dei numeri sono sempre a coppie (dalla dimensione 2 dei numeri complessi si passa a dimensione 4, poi 8, poi 16 ecc, a meno di considerare un numero di dimensioni non intero, oppure reale, oppure complesso, oppure ipercomplesso, ma lasciamo perdere).

Quello che si ottiene è un versore perpendicolare ad entrambi (come nel prodotto vettoriale) che chiameremo k.
Abbiamo quindi trovato il quarto versore

Continuando arriverei ad uno spazio ad 8 dimensioni, per i quali, purtroppo non vale nemmeno più la commutatività della somma.
Se continuo a 16 perdo anche l'associatività.

Che meraviglia..

Ti odio.

PS: non se ne parla proprio di lasciar perdere, devo solo fare prima gli esami...

[Ianero]

Nel campo dei numeri complessi il simbolo denota una qualunque delle due soluzioni dell'equazione : non si può trattare come una funzione a meno che non si consideri una specifica soluzione in modo coerente dappertutto.

Capito, grazie dell'esempio, mi ha chiarito la situazione

[EcoTan]

Secondo me i doppi segni, quando ci sono, bisogna scriverli:



Penso che nulla vieta di considerare la sola radice positiva nella posizione iniziale, ma poi nei passaggi successivi compaiono i doppi segni quindi dobbiamo scriverli.

[PietroBaima]

Ti odio.

PS: non se ne parla proprio di lasciar perdere, devo solo fare prima gli esami...

He he he...
Beh, questo modo di vedere i numeri richiede... parecchia riflessione!
Fai gli esami, poi se vuoi ti consiglio dei libri.

Ciao,
Pietro.

[PietroBaima]

mi piacerebbe saperne anche qualcosa di più sulla "cagata pazzesca"

DirtyDeeds ti ha già dato magistralmente tutte le armi per capire come affrontare questo tipo di problemi.
La mia espressione fantozziana deriva dal fatto che in quel passo di wikipedia sono contenuti degli errori molto gravi, che ti invito a trovare per esercizio. Non dovresti più avere problemi a farlo.

Talvolta l'unità immaginaria viene scritta come , ma bisogna fare molta attenzione quando si manipolano formule che contengono radicali. Questa notazione è riservata alla funzione radice quadrata principale, che è definita '''solo''' per numeri reali , o alla parte principale della funzione radice quadrata complessa. L'applicazione delle proprietà delle radici quadrate principali (reali) al ramo principale delle radici quadrate complesse produce risultati scorretti:



La regola



è valida solo per valori di a e b reali e non negativi.

Per evitare di fare errori nel manipolare i numeri complessi la strategia migliore è quella di non usare mai un numero negativo sotto un segno di radice quadrata che non è preceduto da , in modo da far intendere che vengono considerate entrambe le radici.

[DirtyDeeds]

Secondo me i doppi segni, quando ci sono, bisogna scriverli:

No, non va bene: e poi come te la caveresti con a cui corrispondono 5 determinazioni diverse?

[EcoTan]

Non capisco molto di matematica ma talvolta la adopero, e non vorrei rimanere con la sensazione che i passaggi che ho imparato a scuola non sempre funzionino.
Quando eleviamo qualcosa a potenza n accomuniamo e quindi ci portiamo appresso altre n-1 radici indesiderate che darebbero la stessa potenza, questo bisogna ricordarselo.
Nel caso delle radici quadrate, usando i doppi segni in modo certosino, io incongruenze non ne ho trovate. Ma non insisto.