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da **filippo125** » 29 nov 2010, 15:02

Salve a tutti,
non riesco a risolvere questo problema:
Dimostrare che la tensione nel punto più basso di un pendolo semplice (posizione di equilibrio?) valga 2mg sapendo che l'angolo da cui viene rilasciato è 60°...

Avevo pensato 2mg= T+mgsen(angolo)

T=mg
però non funziona

da **DirtyDeeds** » 30 nov 2010, 1:19

La massa

del pendolo è soggetta a due forze, il proprio peso $\boldsymbol{P}$ e la tensione $\boldsymbol{K}$ (l'ho rinominata per non avere troppe T!) del filo a cui è sospesa. La seconda legge di Newton ci dice che

$m\boldsymbol{a} = \boldsymbol{K}+\boldsymbol{P}$

dove $\boldsymbol{a}$ è l'accelerazione di

. Fissiamo un sistema di coordinate polari con asse polare diretto verticalmente verso il basso, così che l'angolo $\theta=0$ coincida con il punto più basso della traiettoria del pendolo (perigeo). Al perigeo, le due forze sono parallele e dirette lungo la verticale:

ma_r = K_r+mg

Al fine di determinare a_r

, fissiamo lo zero dell'energia potenziale

nel perigeo del pendolo. Quando il pendolo raggiunge un punto di inversione la sua energia cinetica

è nulla e l'energia totale vale

$E = mgL(1-\cos\theta_\text{M})$

dove $\theta_\text{M}$ è l'angolo massimo raggiunto dal pendolo. Quando il pendolo passa per il perigeo, l'energia potenziale è nulla e l'energia cinetica è uguale a

:

$T = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 = mgL(1-\cos\theta_\text{M})$

Di qui ricaviamo la velocità angolare del pendolo nel punto più basso della sua traiettoria,

$T = \dot{\theta}^2 = \frac{2g}{L}(1-\cos\theta_\text{M})$ .

La componente a_r

dell'accelerazione al perigeo vale, allora (è l'accelerazione centripeta, comunque v. qui per le componenti dell'accelerazione in coordinate polari)

$a_r = -L\dot{\theta}^2 = -2g(1-\cos\theta_\text{M})$

Sostituendo nella seconda equazione si ha

$K_r = ma_r-mg = -2mg(1-\cos\theta_\text{M})-mg$

Per $\theta_\text{M}=60^\circ$ , si ha K_r = -2mg

.

Potrei aggiustare un po' meglio la notazione, ma è tardi

da **filippo125** » 30 nov 2010, 14:18

grazie per la risposta, non riesco a capire perché la forza centripeta è la somma della forza peso e della tensione

da **DirtyDeeds** » 30 nov 2010, 15:33

Non ho ben capito la tua domanda: sulla massa del pendolo agiscono due forze, la tensione del filo e il peso della massa. Quando il pendolo passa per il punto più basso della traiettoria, l'accelerazione tangenziale è nulla (non ci può essere forza tangenziale, dato che tutte e due le forze agenti sul pendolo in quel punto sono ortogonali alla traiettoria) e quindi rimane solo la componente radiale dell'accelerazione (accelerazione radiale o centripeta).