ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Indice

1 Accoppiamento magnetico
2 Macchina bipolare elementare
3 Equazioni elettriche
4 Coppia e potenza
- 4.1 Esercizi
  - 4.1.1 Tracciare l'andamento della coppia
  - 4.1.2 Calcolare la coppia media
5 Bibliografia & links
6 Appendice

Accoppiamento magnetico

Una qualsiasi macchina elettrica si basa sull’accoppiamento magnetico tra almeno due circuiti elettrici o tra un circuito elettrico ed un magnete.

Nelle macchine rotanti un insieme di circuiti o di magneti è in movimento rispetto ad altri circuiti.

L’accoppiamento è dato dal flusso magnetico che si concatena con i circuiti, cioè, qualitativamente almeno, dalle linee magnetiche che attraversano la superficie delimitata dai conduttori che costituiscono gli avvolgimenti.

Il flusso può essere variabile per due ragioni:

1 - la variazione delle correnti che lo producono

2 - il movimento relativo dei circuiti.

Un flusso variabile provoca, nel circuito cui si concatena, una forza elettromotrice, regolata dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz, che si oppone alla causa che l’ ha generata.

La f.e.m. indotta può essere

di tipo trasformatorico (variazione delle correnti nei circuiti induttori);
di tipo mozionale (movimento relativo tra circuiti induttori e circuiti indotti).

E’ al secondo tipo che si deve la trasformazione di potenza elettrica in meccanica nei motori elettrici (o viceversa, nei generatori). Alle fem trasformatorica è attribuibile solo un trasferimento di potenza elettrica.

Quanto detto si traduce, per ogni circuito, in una relazione matematica, che è la scrittura del secondo principio di Kirchhoff, fra le tre grandezze elettromagnetiche:

$u (t)$ : tensione applicata
$i (t)$ : corrente nel circuito
$λ(t)$ : flusso magnetico concatenato con il circuito

$u(t) = R i(t) + \frac{{d\lambda (t)}}{{dt}}$

con

R: resistenza del circuito

L’operazione di derivata è in genere, per comodità di scrittura, sostituita dall’operatore

$s = \frac{d}{{dt}}$

per cui l’espressione precedente assume questa forma

$u (t) = R i (t) + s λ(t)$

L’espressione è, di per sé, abbastanza semplice. Ma non c'è un solo circuito da esaminare in una macchina, ma più circuiti tra loro interagenti per accoppiamento magnetico. Le cose perciò si complicano rapidamente, per cui non si deve risolvere una sola equazione differenziale, ma un sistema di equazioni differenziali. L’ innocuo $λ$ , simbolo che rappresenta il flusso concatenato, nasconde una espressione complicata. Esso è infatti la somma algebrica del flusso prodotto dallo stesso circuito (flusso di autoinduzione) e di quello prodotto dalle correnti circolanti negli altri circuiti (flussi di mutua induzione). Indicando con $L k k$ il coefficiente di autoinduzione del circuito $k$ e con $L k j$ il coefficiente di mutua induzione tra il circuito $k$ ed il circuito $j$ , considerando $n$ circuiti, il flusso concatenato con il circuito $k$ sarà dato da:

$λ k = L k 1 i 1 + L k 2 i 2 + ... + L k k i k + L k + 1 i k + 1 + ... + L k n i n$

L’espressione precedente non è solo complessa per il numero di termini da considerare, ma anche per il fatto che i coefficienti di auto e mutua induzione, dipendono dalla configurazione che assume il circuito magnetico al variare della posizione dei circuiti.

Macchina bipolare elementare

E' costituita da uno statore, corona cilindrica in materiale magnetico, e da un rotore, cilindro coassiale pure in materiale magnetico, separato dallo statore da una corona cilindrica di aria: il traferro. Alloggiati in cavità diametralmente opposte, della periferia interna di statore ed esterna di rotore, percorsi rispettivamente dalle correnti $i 1$ , ed $i 2$ , stanno i conduttori che, in serie tra loro, costituiscono, rispettivamente, l'avvolgimento di statore, fisso, e di rotore, mobile. Gli avvolgimenti sono schematizzati in figura come solenoidi rettilinei, usando il simbolo dell’induttanza. Il + indica il terminale da cui entra la corrente per dar luogo ad un campo positivo, indicato dalla freccia sull'asse. La crocetta sui conduttori indica corrente entrante; il punto, corrente uscente. Nella figura i campi prodotti dall'avvolgimento di statore e di rotore, sono rappresentati separatamente, mediante le linee. (Le immagini sono ricavate utilizzando FEMM).

Campi di statore e di rotore

Nella figura seguente sono rappresentati i due avvolgimenti che agiscono contemporaneamente dando luogo al campo magnetico risultante di cui sono rappresentate le linee, e, a tratteggio l’asse.

L’asse del campo magnetico prodotto dall’avvolgimento di statore, che pensiamo fisso, forma, con l’asse del campo magnetico di rotore, un angolo $θ$ . Tale angolo varia nel tempo con la rotazione del rotore.

Macchina bipolare elementare

Equazioni elettriche

Le equazioni dei due circuiti sono:

$\begin{array}{l} u_1 = R_1 i_1 + s \lambda _1 \\ u_2 = R_2 i_2 + s \lambda _2 \\ \end{array}$

con

$\begin{array}{l} \lambda _1 = L_{11} i_1 + L_{12} i_2 \\ \lambda _2 = L_{21} i_1 + L_{22} i_2 \\ \end{array}$

Trascurando la disuniformità introdotta dalle cavità in cui sono alloggiati i conduttori, la configurazione del circuito magnetico "visto" da un avvolgimento non cambia con la rotazione del rotore. Ciò equivale a considerare costanti i coefficienti di autoinduzione $L 11$ ed $L 22$

Il coefficiente di mutua induzione invece varia. Considerando $L 12 = L 21 = M$ si può porre

$M = L d cosδ$

$δ = p θ$ : angolo elettrico
$p$ : coppie polari dell’avvolgimento
$θ$ : angolo meccanico tra gli assi
$L d$ :coefficiente di mutua induzione corrispondente al massimo accoppiamento, che si ha quando gli assi magnetici sono coincidenti.

L’angolo $θ$ dipende dal tempo, per cui, indicando con $Ω$ la velocità, costante, di rotazione, sarà

$\Omega =\frac d {dt} \theta= s \theta = \frac{{s \delta }}{p} = \frac{\omega }{p} = \frac{{2\pi f}}{p}$

$Ω:$ velocità angolare (rad / s)
$\omega= s \delta = \frac d {dt} \delta$ : pulsazione elettrica (rad / s)
$f$ : frequenza (Hz)

Sarà allora

$\begin{array}{l} s \lambda _1 = \frac{d}{{dt}}\left( {L_{11} i_1 + M i_2 } \right) = L_{11} \frac{d}{{dt}}i_1 + M\frac{d}{{dt}}i_2 + i_2 \frac{d}{{dt}}L_{12} = \\ = L_{11} \frac{d}{{dt}}i_1 + M\frac{d}{{dt}}i_2 + i_2 \frac{d}{{dt}}\left( {L_d \cos \delta } \right) = \\ = L_{11} \frac{d}{{dt}}i_1 + M\frac{d}{{dt}}i_2 - i_2 L_d \sin \delta \frac{{d\delta }}{{dt}} = \\ = L_{11} \frac{d}{{dt}}i_1 + M\frac{d}{{dt}}i_2 - i_2 L_d \sin \left( {p \theta } \right) p \frac{{d\theta }}{{dt}} = \\ = L_{11} s i_1 + M s i_2 - i_2 s \theta p L_d \sin \left( {p \theta } \right) = \\ = L_{11} s i_1 + M s i_2 - i_2 p \Omega L_d \sin \left( {p \theta } \right) = \\ = L_{11} s i_1 + M s i_2 - i_2 \omega L_d \sin \delta \\ \end{array}$

dividendo per l’operatore $s$

$\lambda _1 = L_{11} i_1 + L_d \cos \left( {p \theta } \right) i_2 - i_2 \theta p L_d \sin \left( {p \theta } \right)$

ed analogamente

$\lambda _2 = L_{22} i_2 + L_d \cos \left( {p \theta } \right) i_1 - i_1 \theta p L_d \sin \left( {p \theta } \right)$

Le equazioni dei due circuiti diventano

$\begin{array}{l} u_1 = R_1 i_1 + s \left( {L_{11} i_1 + L_d \cos \left( {p \theta } \right) i_2 - i_2 \theta p L_d \sin \left( {p \theta } \right)} \right) \\ u_2 = R_2 i_2 + s \left( {L_{22} i_2 + L_d \cos \left( {p \theta } \right) i_1 - i_1 \theta p L_d \cdot \sin \left( {p \theta } \right)} \right) \\ \end{array}$

quindi

$\begin{array}{l} u_1 = \left( {R_1 + s L_{11} } \right) i_1 + L_d \cos \left( {p \theta } \right) s i_2 - \Omega p L_d \sin \left( {p \theta } \right) i_2 \\ u_2 = \left( {R_2 + s L_{22} } \right) i_2 + L_d \cos \left( {p \theta } \right) s i_1 - \Omega p L_d \sin \left( {p \theta } \right) i_1 \\ \end{array}$

posto

$\begin{array}{l} E_{t1,2} = L_d \cos \left( {p \theta } \right) s i_2 = L_d \cos \left( {p \theta } \right) \frac{d}{{dt}}i_2 \\ E_{t2,1} = L_d \cos \left( {p \theta } \right) s i_1 = L_d \cos \left( {p \theta } \right) \frac{d}{{dt}}i_1 \\ \\ E_{m1,2} = - \Omega p L_d \sin \left( {p \theta } \right) i_2 = - \omega L_d \sin \delta i_2 \\ E_{m2,1} = - \Omega p \cdot L_d \sin \left( {p \theta } \right) i_1 = - \omega L_d \cdot \sin \delta i_1 \\ \end{array}$

le prime due sono forze elettromotrici trasformatoriche, cioè prodotte da un circuito nell’altro accoppiato, per effetto della variazione della corrente; le seconde due sono forze elettromotrici mozionali proporzionali alla velocità relativa tra i due circuiti. Si ha

$\begin{array}{l} u_1 = \left( {R_1 + s L_{11} } \right) i_1 + E_{t1,2} + E_{m1,2} \\ u_2 = \left( {R_2 + s L_{22} } \right) i_2 + E_{t2,1} + E_{m2,1} \\ \end{array}$

Coppia e potenza

La coppia meccanica può essere ricavata derivando rispetto all'angolo $θ$ , e cambiando di segno, l'espressione dell'energia magnetica immagazzinata espressa in funzione dei flussi e dell'angolo, e considerando costanti i flussi, o derivando, sempre rispetto all'angolo $θ$ , l'espressione della coenergia espressa in funzione delle correnti e dell'angolo (Coppie e forze per macchine elettriche).

Se tra forze magnetomotrici e flussi magnetici le relazioni sono lineari, il che significa considerare costante la permeabilità dei materiali magnetici, per il modello in esame, le induttanze $L 11$ ed $L 12$ e la mutua induttanza $L d$ , sono costanti.. L'ipotesi di linearità è praticamente verificata finché si può trascurare, nel percorso di una linea magnetica, la tensione magnetica nel ferro rispetto a quella del traferro.

L'espressionie dell’energia magnetica immagazzinata nei due circuiti mutuamente accoppiati, uguale a quella della coenergia per l'ipotesi di linearità ammessa, è data da

$\begin{array}{l} W_\lambda =W'_\lambda = \frac{1}{2} L_{11} i_1^2 + \frac{1}{2} L_{22} i_2^2 + M i_1 i_2 = \\ = \frac{1}{2} L_{11} i_1^2 + \frac{1}{2} L_{22} i_2^2 + L_d \cos \left( {p \theta } \right) i_1 i_2 \\ \end{array}$

L'unico termine dipendente dall'angolo di rotazione è il terzo; derivando rispetto ad esso si ottiene la coppia agente

$C = \frac{{dW'_\lambda }}{{d\theta }} = - L_d i_1 i_2 p \sin \left( {p \theta } \right)$

Il segno negativo della coppia indica che essa agisce nel senso di far diminuire l’angolo meccanico tra gli assi magnetici, cioè tende ad allinearli.

La potenza meccanica è

$P_{mecc} = C \Omega= - L_d i_1 i_2 \Omega p \sin \left( {p t \theta } \right)=$

$= - \omega L_d i_1 i_2 \sin \left( {p \theta } \right) =E_{m2,1} i_2 = E_{m1,2} i_1$

espressione che mostra come la potenza elettrica che si trasforma in meccanica è il prodotto delle forze elettromotrici mozionali per la corrente nei rispettivi avvolgimenti.

Le forze elettromotrici mozionali sono dunque i termini dello scambio di potenza tra il sistema elettrico e quello meccanico.

Esercizi

Tracciare l'andamento della coppia

mel.gif

per una rotazione completa della macchina elementare che ha le seguenti caratteristiche:

Avvolgimento di statore: 400 spire percorse da corrente costante di 10 A, (con AWG 10).
Avvolgimento di rotore con 300 spire percorse da corrente costante di 10 A (con AWG 10).
Diametro di statore: 50 cm. Diametro di rotore: 29 cm. Lunghezza 50 cm.
Acciaio M-15.

Eseguiamo la simulazione con FEMM.

Calcoliamo la coenergia dopo ogni angolo di rotazione di 5°.

Eseguiamo il rapporto tra l'incremento della coenergia e l'angolo di rotazione espresso in radianti: si ottiene la coppia media agente per quella rotazione parziale.

A partire dalla configurazione iniziale la coppia è negativa, cioè agisce in senso contrario alla rotazione, quindi in senso orario; tale rimane per mezzo giro.

Al successivo mezzo giro, la coppia diventa positiva.

La coppia media per una rotazione completa è nulla.

La configurazione iniziale è dunque quella di equilibrio ed il rotore assumerà e manterrà quella posizione mantenendo costanti le correnti.

Coenergia, energia, coppia

Nota: Il file FEMM ed il foglio di calcolo sono scaricabili da qui

Calcolare la coppia media

supponendo continua la corrente di rotore ed alternata quella di statore.

Se le correnti nei due avvolgimenti sono continue, la coppia media per ogni rotazione completa, o per qualsiasi angolo multiplo di $\frac {2 \pi} p$ è nulla, come si è visto nel precedente esercizio.

Per ottenere coppia, motrice o resistente, occorre che almeno un avvolgimento sia alimentato con corrente alternata.

Per semplicità di calcolo, immaginiamo un generatore ideale di corrente alternata che alimenta l'avvolgimento di statore:

$i 1 = I 1 cosω 1 t$

ed uno ideale di corrente continua per l'avvolgimento di rotore:

$i 2 = I 2$

Sia costante la velocità di rotazione del rotore $Ω$ . Quindi l'angolo tra gli assi magnetici varia secondo la legge:

$θ = Ω t + α$

La coppia varia nel tempo:

$C(t) = - L_d I_1 \cos \omega_1 t I_2 p \sin \left( {p (\Omega t + \alpha) } \right)$

Posto

$\omega_2=\Omega \cdot p$

$\beta = p \cdot \alpha$

si ha:

$C(t) = - L_d I_1 \cos \omega_1 t I_2 p \sin \left( {\omega_2 t + \beta } \right)$

e, sfruttando scomposizioni trigonometriche:

$C(t) = - \frac{p}{2} L_d I_1 I_2 \left( {\sin \left( {\left( {\omega _1 + \omega _2 } \right) t + \beta } \right) + \sin \left( {\left( {\omega _1 - \omega _2 } \right) t + \beta } \right)} \right)$

Anche in tal caso la coppia media è nulla per una rotazione completa se $\omega _1 \ne \pm \omega _2$

Nel caso invece in cui sia $\omega _1 = \pm \omega _2$ ( il che significa rotazione oraria od antioraria alla stessa velocità $\Omega = \frac {\omega_1}{p}$ ) si ha:

$C(t) = - \frac{p}{2} L_d I_1 I_2 \left( {\sin \left( {2 \omega _1 t + \beta } \right) + \sin \beta } \right)$

il cui valore medio è

$C = - \frac{p}{2} L_d I_1 I_2 \sin \beta$

Bibliografia & links

Faraday's Law & Lenz's Law
Macchine Elettriche- Fitzgerald-Kingsley-Kusko

Appendice

rini, che ringrazio

ha migliorato il primo esercizio dotandolo dello script lua, che è di seguito riportato, che consente di automatizzare tutte le operazioni di calcolo e di calcolare immediatamente anche la coppia.

Il file FEMM e lo script associato sono scaricabili da qui

showconsole()
clearconsole()
print("                posizione [deg] Coppia [N m]    W [J]   W' [J]")

--gruppi da impostare nel disegno del motore 
-- 1 rotore
-- 2 statore

incremento=5 --[deg]

for n=0,360,incremento do
    mi_saveas("temp.fem")      --in questo modo lavoro su un file temporaneo
    mi_analyze()               --e l'equivalente della rotellina
    mi_loadsolution()          --carico la soluzione nel postprocessor
    mo_groupselectblock(1)     --seleziono il gruppo 1 (cioè il rotore)
    f=mo_blockintegral(22)     -- coppia
    mo_groupselectblock(2)
    W=mo_blockintegral(2)      -- Energia magnetica del sistema
    W1=mo_blockintegral(17)    -- Coenergia magnetica del sistema


    mo_clearblock() -- deseleziono tutto
    print("    ",n,f,W,W1)
    --mo_showdensityplot(-1,0,0.7,1.4,"bmag")
    --mo_savebitmap("pippo"..n..".bmp")
    mo_close()
    mi_selectgroup(1)
    mi_moverotate(0,0,incremento)
end

Si apre in FEMM il file ModificaElementare_rini_1.femm.
Quindi con File > Open LUA Script si apre il file ruota.lua
Show console: mostra la console e una sorta di prompt dove inserire il codice e dove vengono visualizzati i dati di interesse;
clearconsole non fa altro che pulire la console di FEMM

Mo_savebitmap serve per salvare degli screenshot delle immagini ed è utile per realizzare filmati od animazioni. In tal caso occorre eliminare le lineette "--" dalle istruzioni, inserendo al posto di "pippo" il nome che si desidera

L'istruzione print stampa i dati di calcolo nella finestra consolle che possono poi essere trasferiti sul foglio elettronico per tracciare i grafici.

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Macchina elettrica elementare

Indice

Accoppiamento magnetico

Macchina bipolare elementare

Equazioni elettriche

Coppia e potenza

Esercizi

Tracciare l'andamento della coppia

Calcolare la coppia media

Bibliografia & links

Appendice

Inserisci un commento

Argomenti correlati

Tag Cloud

Informazioni

Seguici

Pubblicità

Credits