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Il ciclo di Carnot ... "al contrario"
Nell'articolo dedicato alla macchina termica, avevamo visto nel finale la macchina di Carnot e il ciclo che essa segue, cioè il ciclo di Carnot, che riportiamo nuovamente di seguito :
Vediamo cosa succede se si percorre il ciclo in senso antiorario.
Nella figura che segue è riportata tale situazione :
Si vede che l'area sottesa dalla isoterma superiore è diventata negativa (cioè qA < 0) e quella sottesa dalla isoterma inferiore è diventata positiva (cioè qB > 0) e quindi l'energia meccanica è negativa (cioè l = qA − qB < 0), cioè è l'ambiente a fornirla al sistema.
Tra le varie cose, si nota anche che le isoterme si trovano all'esterno delle rette che indicano i livelli di temperatura dei due SET.
Si parla, insomma, in tal caso, di ciclo inverso che implica una inversione per le interazioni energetiche che ci sono tra il sistema e l'ambiente.
A cosa può servire un ciclo inverso ?
Consideriamo la seguente figura :
e cerchiamo di capire quale possa essere la finalità pratica di un sistema termodinamico operante in questo modo.
Vediamo, dalla figura, che è possibile fornire energia meccanica al sistema facendo fluire energia termica dal SET a temperatura minore a quello a temperatura maggiore. Ora sappiamo bene che un processo di questo tipo non può avvenire spontaneamente e quindi dobbiamo intendere, in questo caso, l'energia meccanica fornita al sistema come il costo termodinamico che deve essere "speso" per questo tipo di processo.
Nella figura che segue abbiamo schematizzato quello che è il passaggio (assurdo) di energia termica da un livello termico inferiore ad uno superiore :
In tal caso, la variazione di entropia del sistema complessivo isolato sarebbe :
cioè si avrebbe una generazione entropica negativa e quindi una violazione della seconda legge.
Torniamo ad osservare la Figura 1. Ci sono applicazioni pratiche ed usuali nelle quali si vuole sottrarre o fornire con continuità energia termica ad un sistema che si trova a temperatura costante.
Consideriamo, a tal proposito, i due casi che seguono :
- si vuole mantenere un sistema in condizioni di regime stazionario ad una temperatura che sia più bassa di quella dell'ambiente circostante, che è da considerarsi quindi come un SET. Per via della differenza di temperatura con l'ambiente, nel sistema entrerà dell'energia termica. Affinché la sua temperatura non si innalzi è necessario che la stessa energia venga, con continuità, asportata. Dato che non esistono SET a temperatura più bassa di quella del sistema, bisogna cedere questa energia all'unico SET disponibile, cioè all'ambiente circostante. Quest'ultimo, però, è a temperatura più elevata di quella del sistema.
- si vuole mantenere un sistema in condizioni di regime stazionario ad una temperatura più elevata di quella dell'ambiente circostante, che è un SET (come detto anche nel caso precedente). Per via della differenza di temperatura con l'ambiente, dal sistema uscirà energia termica. Affinché la sua temperatura non si abbassi è necessario che la stessa energia venga, con continuità, fornita. Dato che non esistono SET a temperatura più elevata di quella del sistema, bisogna prelevare questa energia dall'unico SET disponibile, cioè dall'ambiente circostante. Quest'ultimo, però, è a temperatura più bassa di quella del sistema.
Macchina frigorifera e pompa di calore
Nel caso 1 vogliamo mantenere a temperatura bassa il SET TB e il SET TA è l'ambiente. Il sistema che realizza tale compito è detto macchina frigorifera.
Nel caso 2 il sistema da mantenere a temperatura elevata è il SET TA e il SET TB è l'ambiente. Il sistema che realizza tale compito è detto pompa di calore.
In sostanza lo stesso sistema termodinamico prende denominazioni differenti a seconda delle interazioni energetiche che "consente", come si vede anche dalla figura schematica che segue, in cui è riassunto quanto detto finora :
Il COP
Possiamo definire un parametro adimensionale. E' il COP, coefficiente di prestazione, che permette di quantificare le prestazioni della macchina.
Esso è ovviamente differente a seconda che si parli di macchina frigorifera o di pompa di calore.
In entrambe le espressioni al numeratore vi è la finalità e al denominatore la spesa, ovviamente il tutto in termini energetici.
Di seguito scriviamo le relazioni per il COP per la macchina frigorifera e la pompa di calore :
Le prestazioni migliorano quando cresce il COP e quindi questo vuol dire due cose :
- a parità di spesa aumenta l'effetto;
oppure
- a parità di effetto diminuisce la spesa.
Scriviamo la prima legge per una superficie di controllo che racchiude la sola macchina.
Ricordiamoci che la macchina opera ciclicamente :
Si deduce quindi che la relazione tra i COP è la seguente :
Il COP reversibile
Scriviamo la seconda legge relativamente al sistema identificato dalla superficie di controllo della figura che segue (la sigla MI vuol dire Macchina inversa) :
che possiamo semplificare, per via delle scelte fatte sulla superficie di controllo e per la (3), nella seguente relazione :
In base alla (4), le (1) e (2) possono essere riscritti come segue :
Se risolviamo la (7) rispetto ai rapporti delle Q e sostituendo quanto ricavato nelle (8) e (9) si ottiene :
Le (10) e le (11) permettono di ottenere i COP per la macchina reversibile, cioè per generazione entropica nulla :
Si deduce quindi che :
Da quanto detto finora, per la macchina frigorifera TA è praticamente una costante e TB è variabile e l'opposto accade per le pompe di calore.
Nelle figure che seguono sono visualizzabili gli andamenti di COPf,rev e COPp,rev, avendo fissato per la macchina frigorifera TA = 300K e per la pompa di calore TB = 273K :
Si vede che :
Il COP di seconda legge
Fissati i livelli termici dei due serbatoi è utile effettuare un confronto tra le prestazioni reali e quelle ideali.
Introduciamo quindi un parametro adimensionale noto come COP di seconda legge, o coefficiente di prestazione di seconda legge, pari a :
e si ha :
Bibliografia
Elementi di termodinamica applicata - Cesarano, Mazzei.
