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Calcolo dell'impedenza equivalente di un bipolo comunque complesso. La regola di Ravut - Parte I

Indice

Abstract

In questo articolo è presentato un metodo di calcolo dell'impedenza equivalente di un bipolo costituito da una rete comunque complessa in assenza di mutui accoppiamenti.

Introduzione

Dopo il lavoro del professore Georg Simon Alfred Ohm del 1826, la resistenza elettrica, e in generale l'impedenza elettrica, ha scritto la storia dell'Elettrotecnica [3].

Uno dei primi problemi affrontati dagli studiosi del passato è stato il calcolo della resistenza elettrica equivalente di un circuito vista da due morsetti detti di alimentazione. L'espressione morsetti di alimentazione non è casuale in quanto i metodi classici per il calcolo della resistenza elettrica equivalente si basano sulle due leggi di Kirchhoff [1]. Anche la definizione di resistenza elettrica equivalente [2] richiama implicitamente il lavoro del grande ed insuperabile Gustav Robert Kirchhoff:

Definizione (di resistenza equivalente): data una rete passiva, quindi priva di generatori, la resistenza equivalente tra due suoi qualsiasi punti A, B è il rapporto tra la tensione applicata tra quei due punti e la corrente che entra dal terminale positivo.

In teoria, dunque, conoscendo le sole leggi di Kirchhoff, è possibile calcolare la resistenza equivalente di qualsiasi rete comunque complessa vista da due morsetti. Tale calcolo, però, diventa rapidamente complicato al crescere dell'estensione della rete, risultando praticamente impossibile anche per i calcolatori moderni.

Molti autori hanno studiato metodi alternativi per semplificare l'approccio al problema ed evitare banali errori di distrazione; soprattutto in passato quando le soluzioni erano cercate senza il supporto dei calcolatori.

Per le reti ad elevata simmetria esistono metodi di calcolo e soluzioni molti eleganti [3], [4].

I problemi pratici, però, sono quelli relativi alle reti non banali di elevate estensioni come le reti elettriche di trasmissione e distribuzione dell'energia elettrica, per esempio. Generalmente, per questa tipologia di reti, non è possibile sfruttare nessuna simmetria.

Per altri ovvi motivi, il calcolo della resistenza equivalente è un problema anche per molti studenti che affrontano per la prima volta lo studio delle reti elettriche. Il forum di ElectroYou ha qualcosa da raccontare a tal proposito. Uno degli ultimi thread relativi a questa tipologia di esercizi risale al 20 giugno 2019. Sono stati proposti più metodi per la risoluzione del problema, tra i quali l'algebra di Wang in un post scritto da me in data 22 giugno 2019, abiurando la mia fede verso i classici metodi di Kirchhoff. Nel medesimo giorno del 1633, Galileo Galilei fu costretto all'abiura con cuor sincero e fede non finta, ma questa è un'altra storia.

In questo articolo descrivo una regola pratica [5] per il calcolo della resistenza elettrica equivalente di un bipolo costituito da una rete elettrica comunque complessa, meno nota dell'algebra di Wang.

La regola di Ravut

La figura 1 rappresenta una qualunque rete costituita da r rami (nominati con i numeri 1,2,...r) e n nodi (A, B, C...).

Figura 1


I rami sono costituiti dalle impedenze \dot{\text{Z}}_{k} o ammettenze \dot{\text{Y}}_{k}=\frac{1}{\dot{\text{Z}}_{k}} con indice k assegnato dal numero del ramo corrispondente. Il metodo è molto generale e vale anche per i circuiti in cui esistono mutui accoppiamenti. In questo breve articolo presenteremo la versione semplificata del metodo e pertanto faremo l'ipotesi che fra le varie impedenze non esistano mutui accoppiamenti. Vediamo adesso i vari passi meccanici da eseguire per il calcolo dell'impedenza vista dai morsetti di alimentazione.

  1. Combinazioni primarie del primo gruppo: si riportano in un primo gruppo tutte le combinazioni senza ripetizioni a r-n+2 elementi dei vari r rami;
  2. Combinazioni complementari del primo gruppo: in corrispondenza di ciascuna combinazione principale del primo gruppo si scrive la rispettiva combinazione complementare costituita dai rami rimanenti con n-2 termini;
  3. Combinazioni primarie del secondo gruppo: si riportano in un secondo gruppo tutte le combinazioni senza ripetizioni a r-n+1 elementi dei vari r rami;
  4. Combinazioni complementari del secondo gruppo: in corrispondenza di ciascuna combinazione principale del secondo gruppo si scrive la rispettiva combinazione complementare costituita da n-1 elementi;
  5. Circuito associato: per ciascuna combinazione complementare del primo e secondo gruppo si disegna il circuito associato costituito dai soli rami della combinazione complementare in esame;
  6. Cancellazione delle coppie di combinazione del primo gruppo: dal primo gruppo principale e complementare si cancellano le coppie di combinazioni se il circuito associato alla combinazione complementare presenta:
    1. uno o più rami isolati rispetto ad entrambi i morsetti di alimentazione;
    2. uno o più percorsi chiusi;
    3. uno o più rami collegati contemporaneamente ad entrambi i morsetti di alimentazione;
  7. Cancellazione delle coppie di combinazione del secondo gruppo: dal secondo gruppo principale e complementare si cancellano le coppie di combinazioni se la rispettiva combinazione complementare presenta:
    1. uno o più rami isolati rispetto ad entrambi i nodi di alimentazione;
    2. uno o più percorsi chiusi;
  8. Se i rami sono costituiti da impedenze \dot{\text{Z}}_{k}, si scrivono i seguenti polinomi:
    1. P^{\left ( r-n+2 \right )}\left ( \dot{\text{Z}}_{k} \right ) - è la somma delle combinazioni principali rimaste nel primo gruppo;
    2. Q^{\left ( r-n+1 \right )}\left ( \dot{\text{Z}}_{k} \right ) - è la somma delle combinazioni principali rimaste nel secondo gruppo.
    3. Il rapporto fra i due polinomi fornisce l'impedenza equivalente della rete in esame vista tra i morsetti di alimentazione: \dot{\text{Z}}=\frac{P^{\left ( r-n+2 \right )}\left ( \dot{\text{Z}}_{k} \right )}{Q^{\left ( r-n+1 \right )}\left ( \dot{\text{Z}}_{k} \right )}
  9. Se i rami sono costituiti da ammettenze \dot{\text{Y}}_{k} si scrivono i seguenti due polinomi:
    1. M^{\left ( n-2 \right )}\left ( \dot{\text{Y}}_{k} \right ) - è la somma delle combinazioni complementari rimaste nel primo gruppo;
    2. N^{\left ( n-1 \right )}\left ( \dot{\text{Y}}_{k} \right ) - è la somma delle combinazioni complementari rimaste nel secondo gruppo.
    3. Il rapporto fra i due polinomi fornisce l'impedenza equivalente della rete in esame vista tra i morsetti di alimentazione: \dot{\text{Z}}=\frac{M^{\left ( n-2 \right )}\left ( \dot{\text{Y}}_{k} \right )}{N^{\left ( n-1 \right )}\left ( \dot{\text{Y}}_{k} \right )}

Considerazioni

La regola di Ravut che ho presentato in questo articolo appare abbastanza laboriosa, ma bisogna considerare che fu scritta negli anni '30 e, in quel periodo, rappresentava una semplificazione rispetto ai metodi classici di Kirchhoff. Nonostante ciò, non si diffuse né in ambito accademico né in quello industriale.

La regola di Ravut può essere estesa anche al caso di circuiti mutuamente accoppiati, ma con una notevole complicazione dei calcoli e delle ipotesi da rispettare. Questa estensione però non permette di risolvere tutti i circuiti comunque complessi con uno o più rami mutuamente accoppiati; spesso bisogna disegnare una rete equivalente, se esiste, che soddisfi tutti i requisiti richiesti dal metodo esteso prima di applicarlo.

Il lavoro di C. Ravut [5], ingegnere des Postes et Télégraphes, Secrétaire général de la Sit (si occupò anche di propagazioni di correnti sinusoidali nelle linee di trasmissioni e alcuni suoi lavori sono citati insieme agli articoli di John Renshaw Carson), è geniale e merita di essere ricordato, anche dal punto di vista storico. Purtroppo non sono riuscito a trovare il suo articolo originale [5]. Le mie uniche fonti di informazioni sono costituite da alcune pagine di appunti abbastanza ingiallite che ho scritto molti anni fa, basate su alcune pagine fotocopiate da un vecchio libro di elettrotecnica che non conosco.

Perché ho deciso di scrivere questo articolo? Sono stato spinto da tre motivi.

  1. Far conoscere un metodo di calcolo dimenticato da 87 anni;
  2. far notare una correlazione, almeno apparente, fra il metodo di calcolo della resistenza equivalente dell'algebra di Wang e i passi 1-9 della regola di Ravut. Questo legame si percepisce meglio calcolando la resistenza equivalente di uno stesso circuito con entrambi i metodi. Le proprietà dell'algebra di Wang, infatti, permettono di eliminare rami e percorsi chiusi come la regola di Ravut, anche se da presupposti completamenti diversi;
  3. far notare che gli anni '30 sono stati anni interessati dal punto di vista elettrotecnico: C. Ravut pubblicò il suo articolo [5] nel 1932, due anni più tardi Wang pubblica il suo lavoro [6] su un nuovo metodo di analisi delle reti elettriche che sarà esteso e formalizzato da importanti professori e ricercatori fino ad allontanarsi completamente dallo scopo originale prefissato da Wang. Purtroppo non sono riuscito a trovare neanche l'articolo originale di Wang.


Questo articolo sarà seguito da una seconda parte nella quale svolgerò un esercizio, applicando la regola di Ravut. L'esercizio svolto permetterà di chiarire i passaggi oscuri del metodo appena illustrato ai miei ultimi 25 lettori.

Seconda parte dell'articolo

Calcolo dell'impedenza equivalente di un bipolo comunque complesso. Applicazione della regola di Ravut - Parte II, agosto 2019.

Riferimenti

[1] admin, Resistenza equivalente.

[2] admin, La resistenza equivalente: questa sconosciuta!.

[3] RenzoDF, Resistenze e Simmetria 1.

[4] RenzoDF, Resistenze e Simmetria 2.

[5] articolo di C. Ravut pubblicato nel fascicolo del 24 dicembre 1932 della Revue générale de l'Electricité.

[6] K. T. Wang, On a new method of analysis of electrical networks, Memoirs 2, National Research Institute of Engineering, Academia Sinica, 1934.

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Commenti e note

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di ,

La seconda parte e' stata pubblicata due ore fa.

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di ,

Sarebbe bello, vederlo applicato, per chiarire un po' le idee. Potresti inserire un esercizietto risolto con tale metodo…

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di ,

PietroBaima, ripassando un po' di argomenti già studiati, potrei anche scriverlo :lol. RenzoDF, l'abate Faria mi ha insegnato tanto, tracciando una via in mezzo alla foresta :D. Anni fa, in una biblioteca, trovai un libro rilegato con un mix di fotocopie (estratti di vecchi libri, articoli, appunti scritti a mano). Ho trascritto la regola di Ravut da quella raccolta. Una volta ero un ingegnere, ora non riesco a fare nemmeno mezzo integrale :lol

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di ,

Io, caro Conte, vorrei solo sapere chi ti ha suggerito questo metodo, ... l'abate Faria? :D

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di ,

Prima o poi scriverai l'articolo "Ortonormalizzazione di impedenze elettriche con operatori di creazione e annichilazione agenti su spazi di Hilbert e supervarietà di integrali di Grassman semplici.

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di ,

Per me è pura curiosità, ma devo dire francamente che nel paragrafo "La regola di Ravut" non ho capito assolutamente niente. Può anche darsi che mi sia rapidamente rincoglionito, non lo escludo. Confido negli esempi promessi nella seconda parte.

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