Premessa

Viene ripreso un argomento trattato nel Forum il gennaio scorso , con un approfondimento reso possibile dalle innovazioni grafiche di ElectroYou.

Per la basi teoriche del metodo di Laplace, si rimanda ad articoli già pubblicati, come ad es. questo, sottolineando soltanto che il metodo permette di passare dalle equazioni integro-differenziali nel tempo ad equazioni algebriche in s (operatore di Laplace).

Questa trasformazione consente quindi una facile elaborazione, puramente algebrica, delle equazioni per raggiungere un risultato in una forma di cui sia già nota la relativa "antitrasformata" (cioè il passaggio inverso da s al tempo).

Poiché lo scopo preminente è qui la soluzione relativa ai circuiti elettrici, si ritiene utile riportare un prontuario delle relazioni che governano tensione e corrente istantanee nei principali elementi circuitali (resistenze, capacità ed induttanze).

La tabella riporta separati i casi di alimentazione in tensione oppure in corrente, in modo da facilitarne l'applicazione nei casi di serie o di parallelo.

Se ad es. v alimenta la serie di R,C,L si avrà :

da cui si potrà ricavare la corrente comune i.

Viceversa se gli stessi elementi sono tutti fra loro in parallelo, (alimentati dalla corrente totale i),si avrà:

da cui si potrà ricavare la tensione comune v.

Un "semplice" esempio

Quale esempio di applicazione del metodo, supponiamo di alimentare con una tensione alternata a 100V (di picco) e a 50Hz, un circuito serie costitiuto da una resistenza e da una capacità. L'istante di applicazione (t₀) deve però corrispondere al valore massimo della tensione, mentre la carica del condensatore è invece zero.

Quindi per la tensione dovremmo scrivere

con e .

Dalla Tab.1, punto 5, dell'articolo citato nella Premessa, la trasformata di Laplace corrispondente è:

Se questo alimenta il circuito serie RC, per quanto detto sopra sarà allora:

da cui si puo' ricavare:

A questo punto non resta che convertire l'aspressione in frazioni parziali di cui sia nota l'antitrasformata: concettualmernte facile ma algebricamente estremamente laborioso!.

Si preferisce perciò ricorrere ad un calcolatore con adatto ambiente matematico (MathCad) per eseguire "automaticamente" conversione ed antitrasformazione:

Con l'espressione di i(t), possiamo passare (sempre con MathCad) ai grafici delle tensioni in gioco, cioè quella sul condensatore vc, confrontata con quella d'ingresso al circuito vi:

Dai grafici è nettamente visibile il transitorio iniziale, di pochi ms, del segnale d'uscita (traccia rossa).

Risposta al "gradino"

Spesso il segnale applicato all'ingresso del circuito è di tipo "a gradino", cioè al tempo t₀ il segnale sale verticalmente da zero ad un valore V. E' questa una funzione particolare perchè la sua trasformata di Laplace è semplicemente V / s, quindi semplifica i relativi calcoli.

Un esempio di applicazione (tratto dal Topic già citato) è il seguente:

dove appunto Vi è un gradino di 10V.

Lo sviluppo dei calcoli circuitali porta all'espressione della tensione d'uscita Vu (su C2):

Che può essere facilmente rappresentata in grafico:

Condizioni iniziali

Per concludere la panoramica delle applicazioni ai circuiti elettrici, dobbiamo esaminare anche i casi di condizioni iniziali diverse da zero.

Un condensatore C può essere già carico ad un valore V₀ all'istante t₀ ed in questo caso cambiano le espressioni viste nella tabella precedente:

(si noti il termine V₀ / s tipico del segnale "a gradino" visto in precedenza)

Ovviamente un comportamento duale si ha con un induttore L, attraversato al tempo t₀ dalla corrente I₀ :

Proviamo ad applicare le espressioni indicate, ad un circuito come questo:

dove al tempo t₀, cioè nell'istante di chiusura dell'interruttore, in L scorre una corrente e ai capi di C vi è la tensione . Ovviamente si vuole conoscere l'andamento delle correnti durante il transistorio generato dalla chiusura dell'interruttore.

E' immediato ricononoscere che la tensione, comune ai 3 elementi, può essere espressa da:

dove ovviamente ir, ic ed il sono le 3 correnti (in s) cercate (si noti che ic(s) "esce" da C).

Un'ulterire equazione lega poi queste correnti:

ic(s) = ir(s) + il(s)

Possiamo quindi risolvere il sistema, utilizzando direttamente MathCad:

e, sempre con MathCad, non solo antitrasformare le espressioni risolventi per ottenere le i(t), ma anche tracciarne i corrispondenti grafici:

(le correnti sono in mA e la scala dei tempi in ms).

L'andamento della ir(t) (traccia rossa) esprime anche (in apposita scala, cioè moltiplicando per il valore di R), l'andamento della tensione comune ai 3 elementi.

Concludendo questa panoramica di esempi applicativi del metodo di Laplace, si deve sottolineare quanto già accennato in precedenza: il metodo è concettualmente di facile applicazione, ma non così l'elaborazione dei passaggi necessari per raggiungere le soluzioni.

Senza l'ausilio di un calcolatore (e naturalmente del relativo software matematico) l'impresa diventa davvero ardua!

Se poi alla fine, qualcuno dovesse osservare che ricorrendo al calcolatore, allora varrebbe la pena di utilizzare direttamente i potentissimi programmi di simulazione circuitale attualmente disponibili, non potrei che dichiararmi d'accordo....