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Il cane e la lepre...in moto qualsiasi

Indice

Enunciato del problema

In questo articolo si riprende il problema proposto un anno fa da g.schgor riguardante un cane che insegue una lepre, la quale si muove con moto rettilineo e uniforme. Questa volta però si considera il cane che insegue la lepre la quale fugge con un moto qualsiasi. Si fa rilevare come risulterà agevole e conveniente affrontare il suddetto problema con il metodo delle differenze finite.

Si suppone quindi che un cane punti una lepre e che poi la insegua, sempre puntandola, con velocità Vc. Data la traiettoria della lepre: xl(t) e yl(t) (legge oraria) e la velocità Vc(t) del cane, determinare in quanto tempo quest’ultimo raggiungerà la lepre.

Impostazione del problema:

Dalle condizioni imposte si tratta di trovare, in ogni istante t, le componenti Vcx e Vcy della velocità Vc di cui se ne conosce il modulo. Il cane corre, in ogni istante t, lungo la direzione della lepre, perciò la sua velocità Vc sarà sempre nella direzione Cane -Lepre. Indicando con xl ; yl la posizione della lepre e con x ; y la posizione del cane , devono sussistere le 2 proporzioni Vedi figura  :

\frac {V_{cx}}{D_x} = \frac {V_c} D. . e . . \frac {V_{cy}} {D_y} = \frac {V_c} D . . . (2) ovvero:
V_{cx} = V_c \cdot \frac {D_x} D . . e . . V_{cy} = V_c \cdot \frac {D_y} D . . . (2a)

Avendo indicato con: D = \sqrt {\left( {x_l  - x} \right)^2  + \left( {y_l  - y} \right)^2 } . .la distanza Cane-Lepre , con Dx = (xlx) e Dy = (yly) le proiezioni di D sull'asse X e sull'asse Y rispettivamente.
Si noti dalla (2a) che, qualunque siano i valori di Vcx e Vcy la risultante è sempre uguale a modulo di \left| {V_c } \right|.
cane.JPG

cane.JPG


Scritte sotto forma di sistema di Equaz. Diff. le (2a) diventano :
\frac{{dx}}{{dt}} = V_c  \cdot \frac{{D_x }}{D}. .  ; . . .\frac{{dy}}{ {dt}} = V_c  \cdot \frac{{D_y }}{D} . .ovvero:

\frac{{dx}}{ {dt}}  =  \frac{Vc \cdot (x_l-x)} {\sqrt{(x_l-x)^2+(y_l-y)^2}}

\frac{{dy}}{ {dt}}  =  \frac{Vc \cdot (y_l-y)} {\sqrt{(xl-x)^2+(yl-y)^2}} . . . (3)

Calcolo con le differenze finite:

Per il calcolo del sitema (3) ho inserito le 2 equazioni diff. nel mio programma MotoXY, che, (essendo l'Eq. Diff di 1° per poter fare funzionamento il programma ho posto: x = vx; x' = ax; y = vy; y' = ay), diventano :

a_x =  \frac {V_{c} \cdot (x_l-v_x)}{\sqrt{(x_l-x)^2+(y_l-vy)^2}}

a_y =  \frac {V_{c} \cdot (y_l-v_y)}{\sqrt{(x_l-x)^2+(y_l-v_y)^2}} . . . (3a)

Con tali assegnazioni la posizione del cane viene espressa con il punto vx ; vy , mentre la sua velocità con ax ; ay.

Se consideriamo l’esempio riportato nell’articolo da g.schgor: dati

xc = 0; yc = 0; Vc = 3; xl = 30; yl = 0; vlx = 0; v_{ly}=2 \cdot t, posto dt = 0.1 per t=18 si ricava:

-con Eulero x=30; y=35.94;

-con RK x=30; y=36.0005,

mentre il valore esatto è x=30; y=36.

(Nel suddetto programma, per il calcolo, si può utilizzare sia il metodo di Eulero sia il metodo di Runge-Kutta del 2° ordine).

Si evidenzia che con l'equazione parametrica xl = xl(t) ; yl = yl(t), che esprime la legge oraria della lepre, possiamo descrivere varie traiettorie, mentre la velocità Vc del cane può farsi variare in funzione del tempo solo di modulo. Supponiamo adesso che il cane, partendo dal punto (0;0) abbia velocità Vc =2 e che la lepre, partendo dal punto (2;0), percorra una circonferenza di raggio r=2 con velocità Vl=2 (per cui xl(t) = 2 * cos(t) ; yl(t) = 2sen(t) .

Traiettorie.JPG

Traiettorie.JPG

Nella figura, per la lepre le funzioni xl(t) e yl(t) sono state scritte nelle celle (K14;L14) con (2 * cos(t) ; 2 * sin(t)) ; per il cane le x(t) e y(t) sono state scritte nelle celle (K15;L15) con (vx;vy) (come già detto nel programma, poiché l'Eq. Diff è di 1° per il suo funzionamento, ho posto: x = vx, x' = ax, y = vy, y' = ay).

Mentre la sua velocità è stata posta Vc=p con p=2;

Nella cella K16= ((k14-k15)^2+(L14-L15)^2)^0.5 viene calcolata, in ogni istante t, la distanza Cane-Lepre;

Le equazioni diff. (3) ovvero (3a) vengono pertanto scritte:

      ax = p*(k14-vx)/k16 ;   ay = p*(L14-vy)/k16.

Per l’arresto del calcolo è stata posta la condizione: t>7 .

Equazioni programma.JPG

Equazioni programma.JPG

Si noti dalla figura come il cane inizia a deviare la sua traiettoria per inseguire la lepre, la quale partendo dal punto (2;0) inizia a ruotare in senso antiorario sulla circonferenza di raggio r=2. Con questi dati mi sono accorto (con compiacimento) che il cane non raggiungerà mai la lepre.

Si fa notare che, per come sono state scritte le equazioni, il cane inseguirà la lepre qualunque sia la traiettoria della lepre, traiettoria definita dalle funzioni xl(t) e yl(t), che nel programma sono riportate nelle celle (K14;L14) .

Conclusioni:

Spero che questo articolo contribuisca a far conoscere ed apprezzare ancora di più il metodo delle differenze finite e del calcolo numerico. Sono perfettamente d’accordo con quanto dice g.schgor, che nelle scuole non si fa alcun cenno alle possibilità offerte dall’impiego dei calcolatori elettronici per affrontare problemi che si incontrano nella realtà. Nel mio programma MotoXY (scaricabile dal sito http://www.programmiexcel.splinder.com/), che utilizza il metodo delle differenze finite, mi sono dilettato ad inserire diversi esempi con l’applicazione di tale metodo, trovando la soluzione a problemi che altrimenti non avrei saputo affrontare e risolvere.

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Commenti e note

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di ,

E' un caso che ho letto dopo vei anni, e di fretta, l'articolo. Avevo letto , diversi anni fa su una rivista, che la "corsa del cane" era chiamato il percorso di un siluro con testa acustica che insegue una nave che, probabilmente ignara, si muove in moto rettilineo uniforme. La testa acustica fornisce la direzione di provenienza del rumore della nave rispetto alla dirazione del siluro. Il siluro agisce sui timoni verticali per correggere la propria rotta e inseguire la nave.

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di ,

I miei più vivi complimenti all'Autore per l'articolo e per gli altri programmi svolti. L'augurio è che tutto ciò serva a divulgare maggiormente l'uso "intelligente" del computer!

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