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Indice

1 Introduzione
2 Controllo in Current Mode
- 2.1 Errore di valor medio
- 2.2 Instabilita` subarmonica
3 Somma della rampa
4 Prestazioni
- 4.1 Generazione della rampa
5 Progetto del controllo
6 Conclusione
7 Riferimenti

Introduzione

In questo articolo si progettera` il controllo del convertitore sviluppato nell'articolo precedente [1]. Partendo dalla tensione di rete raddrizzata, si deve controllare il buck in modo che eroghi una corrente controllata, variabile da 0mA a 350mA su un carico formato da 80 led bianchi ad alta potenza.

Al solito questo articolo e` solo una scusa per parlare di controllori current mode e relative caratteristiche, in particolare il controllo della corrente media e il problema dell'instabilita` subarmonica. Essendo necessaria una uscita in corrente, sara` analizzato solo il loop di corrente, non sara` presente invece il loop di controllo della tensione che invece c'e` nei normali alimentatori che, anche se fatti in current mode, devono erogare una tensione di uscita costante e stabile.

Molti dei calcoli presentati in questo articolo, specie per il progetto di generazione della rampa, non sono disponibili, che io sappia, ne' su libri di testo [8][9], perche' considerati di scarso interesse scientifico, ne' nelle application notes in quanto abbastanza macchinosi da presentare. Molto spesso il progetto viene fatto a buon senso e l'errore risultante viene compensato dal resto del circuito, eventualmente dopo qualche aggiustamento sul campo.

In questo articolo invece sara` sviluppato tutto il conto analitico e per questa ragione in alcuni tratti sara` di lettura pesante, non per le difficolta` matematiche ma perche' oggettivamente noioso. La preparazione di questi conti mi e` costata alcune decine di ore passate a sviluppare espressioni e a verificarle, sia a mano, con la vecchia algebra, sia con programmi di manipolazione simbolica.

Per questo circuito verra` utilizzato per il controllo un integrato derivato dalla famiglia UC3842, uno straclassico per il controllo in current mode. Questa famiglia di integrati e` stata introdotta sul mercato verso meta` degli anni 80, dalla Unitrode ora acquisita da TI, e in seguito e` stata prodotta praticamente da tutti i produttori di integrati, sia in versione compatibile che migliorata. Aggiornamenti al circuito originali hanno dato origine, fra i tanti, a UCC38C42 di Texas [2], LT1242 di Linear Techology [3].

Le specifiche per il controllo sono tensione di ingresso ottenuta dalla rete raddrizzata da circa 270V (rete al minimo e ripple) a 354V (rete al massimo), corrente da 0mA a 350mA e tensione di uscita, imposta dal carico, da circa 256V a circa 220V.

In questo articolo verranno esaminati solo i problemi base del controllo current mode, lasciando il progetto circuitale al terzo articolo della serie.

Controllo in Current Mode

Il controllo in current mode, o meglio in peak current mode si basa su una semplice idea presentata inizialmente da Cecil Deisch nel 1978 [6], anche se altri tentativi in questa direzione erano gia` stati fatti in precedenza.

All'inizio del ciclo, segnato da un clock, si chiude l'interruttore del convertitore, e lo si lascia chiuso finche' la corrente nell'induttore raggiunge un valore prefissato. A questo punto si apre l'interruttore e si aspetta l'inizio del ciclo successivo. Lo schema del controllore di corrente di picco e` in figura 1.

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La tensione $V_{ctrl}\,$ e` una tensione che rappresenta la corrente di picco voluta. La corrente nell'iduttore $i_L\,$ viene misurata da un sensore di corrente che da` in uscita una tensione proporzionale alla corrente attraverso il fattore $R_s\,$ . Il clock, a frequenza fissa $f_{sw}\,$ , attiva ciclicamente il flip flop set reset, la cui uscita, attraverso un buffer va ad accendere il transistore. Quando la corrente arriva al valore prefissato, cioe` quando la tensione che esce dal sensore di corrente $R_s\,i_L$ raggiunge il valore di $V_{ctrl}\,$ l'uscita del comparatore va alta e resetta il flip flop spegnendo l'interruttore, fino all'inizio del ciclo seguente.

Le forme d'onda della corrente dell'induttore e della corrente di picco prefissata sono indicate nella figura 2.

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Sull'asse verticale sono state riportate le correnti, e quindi la tensione di controllo e` stata trasformata in corrente dividendola per $R_s\,$ , ma nel circuito il comparatore lavora sulla tensione di controllo e sulla tensione che esce dal sensore di corrente.

Sono anche stati indicate le pendenze della salita e discesa della corrente nell'induttore, pendenze che per un buck valgono

$(1)\qquad m_1=\frac{V_{in}-V_o}{L } \quad m_2=\frac{-V_o}{L }$

Se il ripple di corrente fosse molto piccolo rispetto alla corrente media di uscita $I_o\,$ , si potrebbe approssimare la corrente di picco con quella media e dire che

$(2)\qquad I_o=I_{ave} \approx I_{pk}$

Purtroppo pero` non sempre questa approssimazione e` valida, specie a bassa corrente oppure quando risulta troppo costoso ridurre il ripple. Dalla figura 2 si vede che il valore medio della corrente nell'induttanza e` minore del valore di picco controllato.

Errore di valor medio

L'errore che si commette approssimando il valore di picco con il valore medio e` legato alla tensione di ingresso (oltre che a quella di uscita, ma ora la consideriamo costante). La variazione della grandezza di uscita (in generale tensione, in questo caso invece corrente) al variare della tensione di alimentazione e` chiamata suscettibilita` audio se riferita al piccolo segnale, oppure regolazione di linea se riferita ad ampie variazioni della tensione di ingresso.

Nella figura 3 sono rappresentati due casi con tensione di ingresso diversa e stessa tensione di uscita: il duty cycle e` variato per mantenere costante la tensione di uscita e quindi anche la pendenza della discesa.

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Si vede come al variare della tensione di ingresso, se si tiene costante la corrente di picco, la corrente media $I_{Lave}\,$ , che poi coincide con la corrente di uscita $I_o\,$ cambia con un errore pari a (dopo aver fatto qualche conto)

$(3)\qquad I_{pk}-I_o=\frac{V_o(1-D)}{2f_{sw}L}=\frac{V_o \left (1-\frac{V_o}{V_{in}}\right )}{2f_{sw}L}$

Purtroppo il controllore current mode all'inizio del ciclo non "sa" quanto sara` il duty cycle: la strategia di controllo prevede di accendere l'interruttore e attendere quanto basta finche' si raggiunge la corrente di picco desiderata.

Per eliminare l'errore dovuto al ripple, cosi` che la tensione di controllo $V_{ctrl}\,$ comandi la corrente media e non quella di picco, e che questa non dipenda dalla tensione di ingresso, e` necessario sommare una correzione variabile alla corrente di picco, correzione che deve essere quella giusta per ogni istante e il cui valore e` dato dalla formula (3).

In pratica la tensione che viene mandata al comparatore, quella che fa effettivamente spegnere lo switch, vale

$(4)\qquad I_{pk}R_s=V_{ctrl}+\frac{V_o(1-D(t))}{2f_{sw}L}R_s=V_{ctrl}+\frac{V_o(1-t\,f_{sw})}{2f_{sw}L}R_s$

dove si e` scritto D funzione del tempo, perche' di mano in mano che passa il tempo, in attesa dello spegnimento, si ha un duty cycle crescente. Se si guarda l'espressione si vede che per ottenere la corrente media voluta, e` necessario sommare una correzione lineare che si annulla al fondo del periodo, quando $t=T_{sw}\,$ e ha pendenza pari a meta` della pendenza della corrente dell'induttanza in fase di scarica. Questa pendenza dipende dalla tensione di uscita, che e` ragionevolmente stabile con i diodi led.

Dal punto di vista grafico si ha la situazione riportata in Figura 4: alla tensione di controllo $V_{ctrl}\,$ viene sommata la rampa di compensazione con pendenza pari a meta` di $m_2\,$ ovviamente moltiplicata per $R_s\,$ per far tornare le dimensioni. Vi sono poi disegnate le forme d'onda corrispondenti a tre tensioni di ingresso: a differenza del caso precedente, qui il valor medio della corrente nell'induttore $I_{Lave}\,$ , e quindi della corrente dei led $I_o\,$ e` costante.

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L'aggiunta di una rampa di compensazione alla tensione di controllo permette quindi di avere una corrente media in uscita linearmente proporzionale alla tensione di controllo e che non dipende dalla tensione di alimentazione, si ha cioe` suscettibilita` audio nulla.

Instabilita` subarmonica

Oltre al problema dell'errore sulla corrente media, il controllo in peak current mode soffre di un altro comportamento molto indesiderato. Quando il duty cycle e` maggiore di 0.5 (come in questo caso), il controllo diventa instabile. La descrizione del fenomeno e` semplice: facendo riferimento alla figura seguente supponiamo di essere in situazione (ciclostazionaria) e che tutti i cicli si ripetano uguali, come quello azzurro.

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Supponiamo ora che durante un ciclo, a causa ad esempio di un disturbo, si apra prematuramente l'interruttore. Il ciclo successivo iniziera` con la corrente piu` bassa di un valore $\Delta I_{in}\,$ rispetto al valore a regime, come mostrato nella figura sopra. Le pendenze della salita e discesa della corrente di induttore non cambiano, almeno a breve periodo, perche' le tensioni di ingresso e uscita rimangono invariate.

Come mostrato in figura 5, l'errore iniziale di corrente viene trasformata in un errore sul tempo di apertura di valore

$(5)\qquad \Delta T=\frac{\Delta I_{in}}{m_1}$

Questo errore di tempo di spegnimento si ritrasforma in un errore finale di corrente di ampiezza

$(6)\qquad\Delta I_{fin}=\Delta T\,m_2=\Delta I_{in}\frac{m_2}{m_1}$

Perche' questo errore si estingua nel tempo, e` necessario che l'errore finale di ogni ciclo sia in modulo minore di quello iniziale, cioe` che $\left | \frac{m_2}{m_1}\right| <1$ , che implica $D<0.5\,$ . La frequenza di oscillazione di questa instabilita` e` meta` della frequenza di commutazione (l'errore cambia segno a ogni ciclo) e per questa ragione e` chiamata instabilita` subarmonica.

Questa instabilita`, se leggera, da` origine a un ciclo con duty cycle elevato seguito da uno con duty cycle ridotto e cosi` via. In realta` tipicamente si assiste a una sequenza di cicli in cui uno manca quasi completamente e l'altro ha duty cycle molto ampio. Se si va verso instabilita` piu` profonda, la sequenza dei cicli diventa di periodo 4, cioe` quattro valori di duty cycle che si ripetono ciclicamente )ad esempio tre corti e uno lungo) con frequenza del pattern di $\frac{f_{sw}}{4}$ , la si potrebbe chiamare instabilita` sub-sub-armonica [7], poi si arriva a periodo 8 raddoppiando via via il periodo finche' si sfocia in un comportamento caotico.

L'instabilita` subarmonica provoca un aumento consistente del ripple di corrente, un aumento degli stress di corrente di tutti i componenti, del ripple di uscita, ed e` necessario correggerlo, non solo se $D>0.5\,$ ma anche quando il duty cycle va a lavorare vicino a 0.5.

Lo studio analitico dell'instabilita` subarmonica e` stato fatto in diversi modi, che portano a individuare una risonanza descritta da due poli complessi coniugati a $f_{sw}/2\,$ il cui smorzamento (o il fattore di merito) dipende dal duty cycle, e quando diventa $D\ge 0.5\,$ lo smorzamento va a zero (fattore $Q\to\infty\,$ ).

Anche la correzione dell'instabilita` subarmonica e` fatta con una rampa di compensazione, analogamente a prima. Quello che cambia in questo caso e` la pendenza della rampa, che cambia lo smorzamento dei poli equivalenti: si va dall'eliminazione dell'errore in un ciclo allo smorzamento molto minore in cui l'errore converge lentamente a zero.

Il caso limite di rampa che corregge in un ciclo l'errore iniziale che potrebbe dare instabilita` subarmomica si ha con rampa con pendenza uguale ad $m_2\,$ , come mostrato in figura 6:

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Come si vede dal disegno, qualunque sia l'errore iniziale la rampa disegnata in giallo riporta la fine del ciclo al valore che avrebbe avuto senza errore iniziale. In questo circuito non e` necessario stroncare eventuali oscillazioni in un ciclo, mentre e` piu` importante garantire la corrente di uscita al valore corretto senza che risenta del ripple della tensione di ingresso.

Data una generica rampa di compensazione di pendenza $m_c\,$ l'errore di corrente alla fine di un ciclo rispetto a quello all'inizio dello stesso ciclo vale (con un po' di geometria)

$(7)\qquad \frac{\Delta I_{fin}}{\Delta I_{in}}=\frac{m_2-m_c}{m_1-m_c}$

da cui si vede che se $m_2=m_c\,$ l'errore si annulla in un ciclo. Con una rampa di compensazione per annullare l'errore medio, cioe` $m_c=\frac{m_2}{2}$ , la stabilita` matematica e` garantita fino a $D=1\,$ , ma con uno smorzamento molto basso.

Il fattore di merito Q dei poli complessi coniugati con che descrivono l'instabilita` subarmonica vale

$(8)\qquad Q=\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{1-2D\left (1-\frac{m_c}{m_2}\right )}$

Con la compensazione che annulla l'errore medio si ha

$(9)\qquad Q=\frac{2}{\pi(1-D)}$

e si vede come a duty cycle elevati lo smorzamento dei poli sia carente, dato che ad esempio con $D=0.9\,$ il fattore di merito puo` salire fino a $Q=6.4\,$ circa.

Nel progetto che si sta sviluppando e` necessario introdurre una rampa perche' il duty cycle e` maggiore di 0.5, e questa rampa dovra` almeno avere una pendenza $m_c=\frac{m_2}{2}$ per garantire stabilita`, riduzione dell'errore medio e bassa suscettibilita` alla tensione di ingresso. Potrebbe essere necessario aumentare la pendenza della compensazione a causa del basso smorzamento presente ad elevato duty cycle.

Somma della rampa

E fin qua la teoria! Quando si comincia a realizzare il circuito saltano fuori alcune sorprese. La misura della corrente e` semplice, dato che si e` usata una topologia con interruttore low side, riferito a ground. Se la corrente non e` tanto elevata, come in questo caso, si puo` misurare la corrente direttamente con una resistenza $R_s\,$ che funge da sensore di corrente. Il circuito diventa quindi quello mostrato in figura 7.

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La caduta di tensione sulla resistenza di sense e` definita dall'integrato di controllo: la famiglia che stiamo considerando richiede come tensione massima sulla resistenza di sense 1V, e quindi non si hanno particolari problemi per l'accensione del mos, sul cui gate arriva un segnale di una dozzina di volt circa.

Se il circuito fosse fatto come in figura 7, il valore della resistenza di sense sarebbe data dal rapporto fra tensione massima che si vuole sul comparatore e corrente di picco:

$(10)\qquad R_s=\frac{V_{compMAX}}{I_{Lpk}}$

Per questa resistenza bisogna prendere il valore normalizzato inferiore, perche' si vuole che nel caso peggiore si arrivi fino al picco massimo senza che l'interruttore si apra prematuramente.

Sfortunatamente questo circuito non e` facilmente realizzabile perche' non e` disponibile una rampa in discesa e sincronizzata con il clock del controllore. Una prima variante per poter usare una rampa in salita, piu` facile da generare, consiste nel sommare la rampa sull'altro lato del comparatore, come mostrato in figura 8.

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Questa soluzione, pur essendo matematicamente corretta, non e` ancora realizzabile perche' richiede tensioni negative. Le forme d'onda necessarie per la rampa e le forme d'onda che si troverebbero all'ingresso del comparatore sono mostrate nella figura seguente

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Dove si sono mantenute gli stessi casi delle tre tensioni di ingresso gia` mostrati in figura 4.

Il problema di questa soluzione e`nella generazione della rampa di compensazione che deve essere negativa: nei circuiti di controllo non sono disponibili tensioni negative e inoltre non si possono normalmente utilizzare degli operazionali per fare i sommatori: queste sono forme d'onda a frequenze elavate (centinaia di kilohertz) e con contenuto spettrale molto elevato. Pur essendoci operazionali in grado di farlo, si preferiscono soluzioni piu` semplici, che comportano di usare una rampa in salita tutta positiva, come mostrato in figura 10:

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Questa soluzione semplifica di molto la generazione della rampa di compensazione ma introduce un errore costante pari all'ampiezza di picco della rampa stessa.

Prestazioni

Avendo scombussolato tutto lo schema di controllo perche' non era possibile ottenere la rampa desiderata, e` opportuno calcolare le prestazioni in queste nuove condizioni, prestazioni che non potranno essere buone come con lo schema iniziale.

La situazione di riferimento e` la 11, dove si nota evidente un errore fra la corrente media effettiva $I_{ave}\,$ e il valore di controllo.

La tensione di ingresso al comparatore (curva blu in tratteggio) e` data dalla tensione generata da Rs (curva rossa) piu` la rampa di compensazione (curva gialla). Nel seguito la pendenza $m_c\,$ della rampa di compensazione sara` positiva, quindi di segno opposto rispetto a $m_2\,$ .

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Nella figura 11, primo ciclo, sono mostrate le forme d'onda con la rampa generata per tutta la durata del periodo di commutazione, mentre il secondo ciclo mostra le forme d'onda della rampa generata solo fino all'istante di spegnimento dell'interruttore. Le differenze esistono solo dopo che il mos e` stato spento, la parte importante (Ton) e` uguale in entrambi i casi. I due modi di generazione della rampa saranno esaminati nella prossima sezione, ma non cambiano il comportamento del controllo.

L'errore fra la corrente media effettiva e quella richiesta dipende da due cause. La prima e` la rampa di compensazione che al posto di essere negativa e` traslata verso l'alto in modo da essere tutta positiva: questa traslazione si ripercuote tale e quale come errore della corrente di uscita. La seconda causa di errore e` dovuto al fatto che la pendenza $m_c\,$ della rampa di compensazione in figura non ha il valore ricavato in precedenza e mostrato nelle figure 4 e 9, valore che annulla, fra l'altro, le variazioni della corrente di uscita dovute alle variazioni della tensione di ingresso (suscettibilita` audio nulla).

Facendo un po' di conti si ottiene che l'errore di corrente vale

$(12)\qquad \frac{V_{ctrl}}{R_s}-I_{ave}=E_I=\frac{m_2}{2f_{sw}}\,\frac{m_1+2m_c}{m_1-m_2}$

Analizzando i segni delle varie pendenze si vede che non e` possibile avere errore nullo, in quanto $m_1\,$ ed $m_c\,$ sono entrambi positivi.

Per quanto riguarda la dipendenza dalla tensione di ingresso, bisogna ricordare le espressioni di $m_1\,$ ed $m_2\,$ per il convertitore buck (eq. 1)

Per avere indipendenza dalla tensione di ingresso bisogna fare in modo che la derivata dell'errore rispetto a $m_1\,$ , l'unico termine che contiene $V_{in}\,$ , sia nulla

$(13)\qquad \frac{\text{d}E_I}{\text{d}m_1}=-\frac{m_2+2m_c}{(m_1-m_2)^2}=0 \Rightarrow m_c=-\frac{m_2}{2}$

La condizione per non risentire della tensione di ingresso e` ancora simile a quella gia` trovata in precedenza, con un segno negativo perche' qui la rampa di compensazione e` in salita, mentre $m_2\,$ e` in discesa.

In queste condizione l'errore che si commette fra corrente richiesta con la tensione di controllo e corrente di uscita vale

$(14)\qquad E_I=\frac{m_2}{2f_{sw}}=-\frac{m_c}{f_{sw}}$

che e` esattamente l'ampiezza di quanto si e` spostata la rampa e dipende solo da $m_2\,$ , cioe` dalla tensione di uscita. In questo caso, in cui si pilotano led, la tensione di uscita non varia troppo passando da piena luminosita` a luce ridotta e anche le variazioni di $M_2\,$ .

La rampa di valore pari a meta` della pendenza della discesa garantisce anche l'assenza di instabilita` subarmonica, ma non limita il fattore $Q\,$ della risonanza a $\frac{f_{sw}}{2}$ . Questo potrebbe essere un problema a duty cycle elevato, cosa che capita in questo circuito.

Il fattore Q della risonanza, con la rampa in salita, vale

$(15)\qquad Q=\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{1-2D\left (1+\frac{m_c}{m_2}\right )}$

Dato che il duty cycle in condizioni estreme puo` salire fino a D=0.95, con la rampa che cancella l'effetto della tensione di ingresso si avrebbe

$(16)\qquad Q=\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{1-2\times 0.95\left (1+\frac{-m_2/2}{m_2}\right )}=12.7$

valore decisamente troppo elevato: non solo eventuali errori non si smorzerebbero velocemente, ma qualunque approssimazione fatta nei calcoli o nella costruzione potrebbe comportare instabilita`. Per avere un Q di circa 2 si deve prendere come rampa di compensazione

$(17)\qquad 2=\frac{2}{\pi}\,\frac{1}{1-2\times 0.95\left (1+\frac{m_c}{m_2}\right )}\Rightarrow m_c=-\frac{m_2}{1.56}$

Questa scelta dovrebbe garantire una ragionevole stabilita` perdendo parte dell'indipendenza della corrente di uscita dalla tensione di ingresso.

Per valutare le variazioni della corrente dei led al variare della tensione di alimentazione si sostituisce in (12) il valore

$(18)\qquad m_c=-\frac{m_2}{k}$

dove k e` un fattore che indica l'ampiezza della rampa di compensazione.

$(19)\qquad E_I=\frac{m_2}{2f_{sw}}\,\frac{km_1-2m_2}{k(m_1-m_2)}$

Si sostituiscono poi le pendenze con i loro valori (eq. 1) si ottiene per l'errore di corrente

$(20)\qquad E_I=\frac{V_o(V_o(k-2)-kV_{in})}{2Lf_{sw}kV_{in}}$

Per trovare la variazione della corrente dei led al variare della tensione di ingresso si calcola la sensibilita` assoluta [5], cioe` la derivata:

$(21)\qquad S^{E_I}_{V_{in}}=\frac{\text{d}E_I}{\text{d}V_{in}}=\frac{V_o^2}{2Lf_{sw}V_{in}^2}\,\frac{2-k}{k}$

Questo risultato conferma quanto gia` detto in precedenza: se la rampa di compensazione ha pendenza meta` di m2, cioe` k=2, la suscettibilita` audio e` nulla. In questo caso pero` abbiamo k=1.56 e con i valori nominali di funzionamento si ottinene

$(22)\qquad S^{E_I}_{V_{in}}=\frac{256\text{V}^2}{2\times 4.7\text{mH}\times 100\text{kHz}\times 300\text{V}^2}\,\frac{2-1.56}{1.56}=218.5\mu\text{S}$

Questo risultato dice che se la tensione di ingresso varia ad esempio di $30\text{V}\,$ la corrente media che scorre nei led varia di circa $6.6\text{mA}\,$ , variazione che sembra ancora accettabile.

Da notare che invece il ripple della tensione di ingresso (circa $20\text{V}\,$ ) non da` grandi variazioni sulla corrente media a causa del condensatore di uscita $C_o=100\mu\text{F}\,$ . Questo condensatore era stato scelto in modo che con la sua ESR riducesse il ripple di corrente dei led ad alta frequenza, cioe` alla frequenza di commutazione. In questo casi invece siamo anche in presenza di un ripple a bassa frequenza, $100\,\text{Hz}$ dove il valore importante e` la capacita` del condensatore.

Alla frequenza di $100\,\text{Hz}$ il condensatore di uscita presenta una reattanza di $16\,\Omega$ , molto minore della resistenza differenziale dei diodi, che alla massima corrente vale circa $80\,\Omega$ [1]. Il ripple di corrente nei led a $100\,\text{Hz}$ puo` essere stimato dell'ordine di meno di $1\,\text{mA}$ , anche considerando che il ripple di tensione all'ingresso non e` sinusoidale, e quindi il condensatore di uscita lavora ancora meglio sulle armoniche.

In realta` la suscettibilita` audio potrebbe essere abbastanza piu` elevata a causa di approssimazioni fatte oppure di tolleranze dei componenti, o ancora dovute a cause non considerate, quale ad esempio la tensione di gate usata per generare la rampa potrebbe essere affetta anche lei da variazioni e ripple ...

Generazione della rampa

Come gia` accennato in precedenza, ci sono due modi di generare la rampa di compensazione in salita e tutta positiva. Il primo viene suggerito dalle application notes e dai data sheets dei circuiti integrati di controllo, e sfruttano l'oscillatore presente nell'integrato di controllo. Un esempio, tratto dal data sheet [3] e` nella figura seguente:

Fig. 12 - Generazione rampa di compensazione

In rosso e` indicato il gruppo RC dell'oscillatore. La tensione sul condensatore e` approssimativamente un dente di sega che sale lentamente e scende velocemente, fra le soglie di circa 1.1V e 2.8V.

In blu e` indicato il transistore che fa da buffer per non caricare l'oscillatore e le due resistenze nelle ellissi blu formano un sommatore passivo per aggiungere al segnale che arriva dalla resistenza di sense la rampa di compensazione.

A parte che non mi risulta che nessun costruttore fornisca le equazioni di progetto di queste due resistenze (e della Rs), questo metodo e` critico perche' malgrado la presenza del transistore, e` abbastanza comune iniettare dei disturbi sull'oscillatore, su un nodo molto suscettibile.

Una migliore soluzione e` stata messa a punto da Ridely [4] e consiste nel prendere la tensione di pilotaggio del mos, un'onda quadra di ampiezza elevata, 10V-15V e integrarla in modo da ottenere una rampa di ampiezza di qualche volt. Questa rampa viene poi sommata al segnale che arriva da Rs. La soluzione e` mostrata nello schema di figura 13:

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Il vantaggio di questa soluzione e` di usare la tensione di gate generata da un driver di potenza, e quindi il carico dell'integratore non da` nessun effetto e non ci sono problemi di iniezione di rumore. Il diodo in parallelo a $R_{int}\,$ scarica l'integratore alla fine del periodo $T_{on}\,$ : la rampa non si estende per tutto il ciclo, ma tanto, dopo che viene aperto l'interruttore, non serve piu`.

Lo svantaggio di questa soluzione (come pure dell'altra con transistore) e` l'errore introdotto dall'aver traslato la rampa in modo che sia tutta positiva. Inoltre il duty cycle non puo` salire al 95% circa e oltre perche' mancherebbe il tempo per scaricare l'integratore.

Progetto del controllo

Il progetto del controllo del loop di corrente richiede il dimensionamento dell'integratore per generare la rampa, il calcolo della resistenza di sense $R_s\,$ e il partitore che forma il sommatore con cui viene aggiunta la rampa. Lo schema di riferimento, in pratica lo stesso della figura precendente, su cui sono pero` stati indicati alcuni valori di forme d'onda e` il seguente:

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La tensione di comando di gate nel circuito che si sta progettando e` un'onda quadra di $15\text{V}\,$ circa. Questo valore potrebbe anche essere di soli $12\text{V}\,$ , non e` critico, e` necessario pero` che sia stabile perche' da esso dipende l'ampiezza e la pendenza della rampa di compensazione.

Da questa tensione viene ricavata la rampa di compensazione di ampiezza picco picco di $V_r=3\text{V}\,$ , tensione massima di $V_{MAX}=3.5\text{V}\,$ e tensione minima di circa $V_{off}=0.5\text{V}\,$ . L'offset presente sul valore minimo della rampa e` dovuto al diodo che non riesce a scaricare il condensatore fino a $0\text{V}\,$ . L'uso di uno Schottky puo` ridurre questo valore di offset a circa $0.25\,\text{V}$ .

L'ampiezza di $3\text{V}\,$ e` stata scelta per avere una rampa ragionevolmente lineare e allo stesso tempo una tensione "elevata" non troppo suscettibile ai rumori. La non linearita` della rampa introduce ulteriori errori sul valore medio si corrente di uscita e peggiora la suscettibilita` audio.

Il partitore che segue, formato da $R_1\,$ e $R_2\,$ oltre a caricare l'integratore e ad attenuare l'ampiezza della rampa, attenua anche l'offset sul livello basso dovuto al diodo.

Per un progetto ragionevolmente disaccoppiato si puo` assumere che

$(23a)\qquad R_1+R_2\approx 10R_{int}$

in modo da non caricare troppo l'integratore. In questo modo la tensione asintotica cui tende l'integratore vale circa

$(23b)\qquad V_\infty=0.9V_{gate}=13.5\text{V}\,$

e la resistenza equivalente vista dall'integratore vale circa

$(23c)\qquad R_{eq}=R_{int}/\!/10R_{int}=0.9R_{int}$

Per ottenere la rampa di ampiezza di $V_r=3\text{V}\,$ dal segnale Vgate di ampiezza di $15\text{V}\,$ e quindi con $V_\infty \approx 13.5\text{V}\,$ in un tempo $T_{sw}=10\mu\text{s}\,$ (periodo di commutazione) serve un integratore (passivo) con una costante di tempo data da

$(24)\qquad \begin{align} V_r+V_{off}&=(V_{off}-V_\infty)\text{e}^{-\frac{t}{\tau}}+V_\infty=\\=3\text{V}+V_{off}&=(V_{off}-13.5\text{V})\text{e}^{-\frac{10\mu\text{s}}{\tau}}+13.5\text{V} \end{align}$

e risolvendo rispetto a $\tau \,$ si ottiene, praticamente indipendente dall'uso di un diodo Schottky o a giunzione pn:

$(25)\qquad \tau=\frac{10\mu\text{s}}{\ln \left (\frac{13.5\text{V}-V_{off}}{10.5\text{V}-V_{off}}\right )}\approx 38\mu\text{s}$

Questa costante di tempo puo` essere ottenuta scegliendo $C_{int}=47\text{nF}\,$ e $R_{eq}=808\Omega \,$ , da cui, tenendo presente l'eq. 23c si ha un valore normalizzato $R_{int}=910\Omega\,$ .

I valori scelti per i componenti permettono di avere una rampa generata con una impedenza relativamente bassa, al di sotto di $1\text{k}\Omega\,$ , e quindi si possono usare per il sommatore resistenze dell'ordine della decina di kiloohm, sufficientemente alti da presentare all'integratore un carico gia` considerato e comunque non troppo elevati per non raccogliere, per accoppiamento capacitivo, troppo rumore dal circuito.

Gli integrati della famiglia 3842 pongono un limite alla massima tensione che arriva al comparatatore $V_{ctrl}\le 1\text{V}\,$ : questa condizione insieme al vincolo sulla pendenza della rampa di compensazione, permette di trovare il valore della resistenza di sense e il rapporto fra $R_1\,$ ed $R_2\,$ .

Le condizioni per progettare $R_s\,$ , $R_1\,$ e $R_2\,$ sono quindi date dalla massima tensione di ingresso su $V_{comp}\,$ , la somma di una rampa con pendenza pari a $m_2/1.56\,$ e infine $R_1+R_2>>R_{int}\,$ . Chiamando con $\alpha=\frac{R_2}{R_1+R_2}$ , bisogna scrivere la corrente nell'induttore in funzione del punto di funzionamento e la funzione che rappresenta la rampa di compensazione

$(26)\qquad V_{compMAX}\ge \left (I_{oMAX}+\frac{m_1t}{2}\right ) R_s\alpha+(1-\alpha)(V_{off}+m_r t)$

dove al solito $m_1\,$ e` la pendenza della corrente nell'infuttore durante la fase $T_{on}\,$ , $I_{oMAX}\,$ e` la massima corrente di uscita, $t=DT_{sw}=\frac{V_o}{V_{in}f_{sw}}$ e` l'istante a cui si apre l'interruttore, quindi quando si ha la tensione massima all'ingresso del comparatore. $V_{off}\,$ e` la tensione di offset della rampa di compensazione data dal diodo, e $m_r\,$ e` la pendenza della rampa di tensione generata dall'integratore, scelta di $\frac{3\text{V}}{10\mu\text{s}}$ . La tensione di uscita vale, alla corrente massima, $V_o=256\text{V}\,$ , mentre la tensione di ingresso che massimizza l'espressione e` quella minima, quindi $V_{in}=270V\,$

Inserendo i valori dei componenti, le espressioni delle pendenze e i vincoli del circuito si ottiene

$(27)\qquad \begin{align} 1\text{V} \ge &\left (.35\text{A}+\frac{(270\text{V}-256\text{V})\times 256\text{V}}{2\times 4.7\text{mH}\times 100\text{kHz}\times 270\text{V}}\right ) R_s\alpha+\\+&(1-\alpha)\left (0.5\text{V}+\frac{3\text{V}}{10\mu\text{s}}\times \frac{256\text{V}}{270\text{V}100\text{kHz}}\right)=\\=& 0.364\text{A}\times R_s\alpha +(1-\alpha)\times 3.34V \end{align}$

La seconda equazione di progetto richiede che la rampa di compensazione abbia la pendenza corretta. Indicando con $m_r\,$ la pendenza della rampa di tensione sul condensatore, $m_2\,$ e` la pendenza della discesa della corrente nell'induttore, la condizione sulle rampe diventa

$(28)\qquad m_r(1-\alpha)=-\frac{m_2 R_s \alpha}{1.56}$

sostituendo i valori dei termini conosciuti si ha

$(29)\qquad \frac{3\text{V}}{10\mu\text{s}}(1-\alpha)=-\frac{-256V R_s \alpha}{4.7\text{mH} \times 1.56}$

Risolvendo le equazioni (27) e (29) si trovano i valori cercati

$(30)\qquad R_s=1.57\Omega\qquad \alpha=0.846$

Come resistenza di sense si deve scegliere un valore piu` basso in modo da garantire che il convertitore arrivi fino alla corrente richiesta, ad esempio si puo` prendere $R_s=1.5\Omega\,$ e per mantenere il rapporto delle pendenze al valore voluto, dalla (17) si ricava $\alpha=0.851\,$ .

Se si fosse usato un diodo Schottky, con una caduta di tensione di $0.25\text{V}\,$ si sarebbe ottenuto

$(31)\qquad R_s=1.65\Omega\qquad \alpha=0.839$

ma normalizzando la resistenza di sense a $R_s=1.5\Omega\,$ , dall'equazione (29) si sarebbe ottenuto lo stesso valore di $\alpha\,$ trovato in precedenza.

La somma delle due resistenze $R_1\,$ e $R_2\,$ deve essere dell'ordine di almeno $10 R_{int}\,$ per non caricare troppo l'ingegratore. Il valore di $\alpha\,$ determina il rapporto $\frac{R_2}{R_1}=5.7$

Scegliendo ad esempio $R_1=1.5\text{k}\Omega\,$ si ha $R_2=8.6\text{k}\Omega\,$ e si scende al valore normalizzato inferiore $R_2=8.2\text{k}\Omega\,$ per aumentare l'effetto della rampa di compensazione.

Conclusione

A forza di fare si e` arrivati al progetto di prima battuta del circuito di controllo. La rampa viene generata e sommata con il circuito di figura 15 in cui sono riportati i valori calcolati. Il condensatore $C_{fil}\,$ e` di solito da qualche centinaio di picofarad e serve per tagliare gli spike presenti all'ingresso del comparatore all'atto dell'accensione e provocati dalla capacita` gate-source del mos e dal recupero inverso del diodo. Alcuni integrati piu` evoluti hanno internamente un circuito di blanking che ignora la tensione di ingresso per le prime decine di nanosecondi dopo l'accensione.

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Dopo il dimensionamento e` possibile calcolare la corrente media in funzione della tensione di controllo per verificare di non aver fatto errori e per valutare l'effetto della tensione di ingresso e degli altri parametri del circuito sulla corrente di uscita.

Dalla equazione (26), ricavando il valore di corrente di uscita nel caso generale, in funzione della tensione di controllo si ottiene:

$(32)\qquad I_o=\frac{V_{ctrl}}{R_s\alpha}-\frac{(1-\alpha)V_{off}}{R_s\alpha} -\frac{(1-\alpha) m_rD}{f_{sw}R_s\alpha}-\frac{m_1D}{2f_{sw}}$

Il primo termine mostra la dipendenza della corrente media di uscita dalla tensione di controllo, ed e` l'unico termine voluto, gli altri sono termini di errore. Il secondo dipende dalla tensione di offset introdotta dal diodo di scarica dell'integratore, il terzo e` l'errore dovuto all'introduzione della rampa di compensazione, infine l'ultimo e` l'errore di valore medio discusso in precedenza e moatrato, con altre grandezze in eq. (3). Poiche' $m_r\,$ e $m_1\,$ hanno lo stesso segno, non e` possibile compensare questo errore come si era invece fatto con la rampa in discesa.

Nell'espressione (32) la pendenza $m_1\,$ e il duty cycle $D\,$ dipendono dalla tensione di ingresso e di uscita. La tensione di uscita a sua volta, a causa dei led, dipende in modo non lineare dalla corrente di uscita. Una approssimazione lineare della tensione di uscita rispetto alla corrente, ricavata dalle caratteristiche tipiche dei diodi, e` la seguente

$(33)\qquad V_o=V_z+r_DI_o=221\text{V}+100\Omega\times I_o$

Con questa approssimazione si puo` ricavare la tensione di controllo necessaria per avere una determinata corrente di uscita, in funzione della tensione di ingresso

$(34)\qquad V_{ctrl}=\left(I_o+\frac{(V_{in}-V_z-r_DI_o)(V_z+r_DI_o)}{2Lf_{sw}V_{in}} \right )R_s\alpha+$

$..\qquad \qquad \qquad + \left(V_{off}+\frac{m_r(V_z+r_D I_o)}{f_{sw}V_{in}}\right )(1-\alpha)$

Dalla (32) e (34) e` possibile calcolare la corrente effettiva rispetto alla tensione di controllo e quella di ingresso. Il risultato linearizzato intorno al punto medio di funzionamento $V_{in}=312\text{V}\,$ e $I_o=200\text{mA}\,$ viene

$(35)\qquad I_o=\frac{V_{ctrl}}{1.345\Omega}+\frac{V_{in}}{3905\Omega}-418\text{mA}$

da cui si vede che una variazione di 30V della tensione di ingresso provoca una variazione di corrente di uscita di circa

$(36)\qquad \Delta I_o=\frac{30\text{V}}{3905\Omega}=7.6\text{mA}$

maggiore di quello calcolato con l'eq. (22) perche' qui si assume che la tensione di uscita possa variare e anche le condizioni di lavoro sono diverse.

Un progetto professionale a questo punto dovrebbe valutare le sensitivity e gli errori, cosa particolarmente importante in questo circuito poiche' ci si limita al controllo di picco e con una rampa si ottiene un controllo non troppo preciso della corrente media. In particolare in molte espressioni compare il valore dell'induttanza e della frequenza di commutazione. A causa della tolleranza dei componenti e della possibile saturazione dell'induttore, i valori calcolati delle correnti potrebbero essere sensibilmente diversi da quelli effettivi. Nel caso in cui si scoprisse (e la cosa non puo` essere esclusa a priori) che il controllo di corrente di picco non e` sufficientemente preciso, occorre introdurre un ulteriore loop di retroazione che agisca sulla corrente media.

Nel prossimo capitolo di questa saga sara` analizzato il circuito integrato di controllo e calcolati i componenti da mettergli intorno per realizzare il controllo di corrente sviluppato in questo articolo. Il progetto completo sara` verificati con LTspice. Rimane inoltre da vedere l'alimentazione del controllore, e la protezione del circuito dai transitori di accensione e dalle sovratensioni di linea, argomento riservato all'appendice.

Riferimenti

[1] Isidoro KZ - Luuunghe stringhe di led III: Alimentazione da rete? (Power) Electroyou, Dic. 2012

[2] Texas Instruments - UCC38C40 Family Data Sheet

[3] Linear Technology - LT1241 Family Data Sheet

[4] R. Ridely - A More Accurate Current-Mode Control Model, 2008 Ridlry Engineering

[5] Isidoro KZ - Sensitivity I - Definizioni e applicazioni Electroyou, Nov. 2010

[6] C. W. Deisch - Switching Control Method Changes Power Converter into Current Source, IEEE PESC78, pp. 300-306

[7] Pietro Baima - Comunicazione Privata, Dic. 2012.

[8] Kassakian, Schlecht, Verghese - Principles of Power Electronics, 1991 Addison Wesley

[9] Erikson, Maksimovic - Fundamentals of Power Electronics - 2nd ed. 2001, Kluwer

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Luuunghe stringhe di led IV: Alimentazione da rete? (Control)

Indice

Introduzione

Controllo in Current Mode

Errore di valor medio

Instabilita` subarmonica

Somma della rampa

Prestazioni

Generazione della rampa

Progetto del controllo

Conclusione

Riferimenti

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