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Indice

1 Introduzione
2 Regolazione a resistenza - Corrente costante
3 Regolazione a capacita` - Corrente pulsante
- 3.1 Considerazioni
4 Regolazione a capacita` - Corrente costante
5 Conclusioni
6 Bibliografia

Introduzione

Questo articolo e` la prosecuzione del precedente [1]. La suddivisione e` per semplici motivi pratici, in modo da mantenere accettabile la lunghezza degli articoli.

In questa parte saranno analizzati i casi di regolazione della corrente a resistenza, con alimentazioe dei led a corrente praticamente costante, e poi i due casi di regolazione della corrente a condensatore, quindi con meno perdite, sia nella versione a corrente di led impulsiva che costante.

Voglio ricordare (repetita iuvant!) che non essendoci isolamento galvanico fra rete e uscita (pessima idea!), se si toccano i conduttori di uscita, i reofori dei led... SI PRENDE LA SCOSSA!

Regolazione a resistenza - Corrente costante

Un'altra idea che potrebbe venire per alimentare direttamente da rete lunghe catene di led, catene che richiedano tensioni elevate, e` di costruire un normale alimentatore in continua alimentato direttamente da rete. In pratica si tratta di prendere la tensione di rete, raddrizzarla con un ponte di diodi, livellare la tensione di uscita che quindi andra` dalle parti di $320\,\text{V}$ , e con questa tensione alimentare i led.

Lo schema di principio di questo circuito e` rappresentato in figura 1

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Lo schema, a parte Rr, e` il classico raddrizzatore a ponte con condensatore di livellamento.

Per questi raddrizzatori la tensione di uscita ha un ripple il cui valore picco picco $V_r\,$ e` dato da [2] eq. 4.33 p. 205.

$(1)\qquad V_r=\frac{I_L}{2fC_o}$

dove $I_L\,$ e` la corrente continua assorbita dal carico, $C_o\,$ la capacita` di filtro e $f\,$ la frequenza di rete.

Questa relazione risolta per $C_o\,$ permette di calcolare il valore della capacita` avendo definito il massimo ripple accettabile.

$(2)\qquad C_o=\frac{I_L}{2fV_r}$

La tensione media $V_{C_o}\,$ erogata dal raddrizzatore vale ([3] eq. 17-22 p. 784):

$(3)\qquad V_{C_o}=V_{pk}-\frac{I_L}{4fC_o}$

Un raddrizzatore di quel genere assorbe attraverso i diodi una corrente impulsiva di valore elevato, stimabile come [4] eq. 6.17e p. 226 (notare che l'equivalente equazione di [2] eq. 4.35 p 205 e` sbagliata!)

$(4)\qquad I_{pk}=I_L\pi\sqrt{\frac{2V_{pk}}{V_r}}$

In realta`, se si aggiunge la resistenza $R_r\,$ , necessaria per una minima protezione contro le sovracorrenti all'accensione e quelle causate da sovratensioni, la tensione di uscita dopo il livellamento diventa ([4] eq. 6.22 p. 230)

$(5) \qquad V_{C_o}=V_{pk}\left (1-\left( \frac{\pi I_L R_r}{\sqrt{2} V_{pk}}\right)^{2/3}\right )$

e sia il ripple che il picco di corrente diminuiscono. I nuovi valori possono essere stimati (calcolati mi pare una parola troppo impegnativa!) osservando la tensione (in modulo) all'ingresso del raddrizzatore, prima di $R_r\,$ e quella sul condensatore, come mostrato nella figura 2, dove si e` trascurato il ripple sul condensatore:

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L'angolo di conduzione dei diodi vale

$(6)\qquad 2\alpha_c=2\arccos\left (\frac{V_{C_o}}{V_\text{pk}} \right)$

La corrente di picco e` data dalla caduta di tensione su $R_r\,$ , divisa per la resistenza stessa, vale a dire

$(7)\qquad I_\text{pk}=\frac{V_\text{pk}-V_{C_o}}{R_r}$

e risulta molto minore del caso senza la resistenza $R_r\,$

La tensione di ripple sull'uscita dipende dal tempo di scarica, cioe` dall'intervallo in cui i diodi non conducono. Il tempo di scarica vale

$(8)\qquad t_s=\frac{\pi-2\alpha_c}{2\pi f}$

e la tensione di ripple e` data da

$(9)\qquad V_r=\frac{I_L}{C_o}t_s$

La resistenza $R_1\,$ di regolazione della corrente viene determinata con la solita legge di Ohm, come anche indicato in [5]

$(10)\qquad R_1=\frac{V_{C_o}-V_\text{led}}{I_\text{led}}$

dove $V_{C_o}\,$ e` la tensione media sul condensatore dopo il ponte, $V_\text{led}\,$ la tensione complessiva sui led e $I_L=I_\text{led}\,$ la corrente di carico, cioe` quella assorbita dai led.

La potenza dissipata da $R_1\,$ , lavorando praticamente in continua, e` ovviamente data da:

$(11)\qquad P_{R_1}=(V_{C_o}-V_\text{led})I_\text{led}=R_1\,I_\text{led}^2\,$

mentre la potenza dissipata da $R_r\,$ viene calcolata per via numerica. La soluzione analitica ha problemi di cancellazione numerica che rendono il risultato fortemente impreciso, con errori di un fattore 2. O per meglio dire, non sono riuscito a trovare una espressione analitica utilizzabile :(

La sensibilita` della corrente di led al variare della tensione di picco richiede di trovare la derivata di una funzione implicita, che si puo` calcolare con il teorema del Dini [6] (prima volta che lo uso nella mia carriera professionale ed hobbistica!). La sensitivity relativa [7] della corrente di led rispetto alla tensione di picco risulta essere pari a

$(12)\qquad S^{I_\text{led}}_{V_\text{pk}}=\frac{6V_\text{pk}-\sqrt[3]{(2\pi I_LR_r)^2 V_\text{pk}}}{6(V_\text{pk}-V_\text{led})-\sqrt[3]{(2\pi I_LR_r)^2 V_\text{pk}}}$

Come e` semplice immaginare, di mano in mano che aumenta la tensione necessaria per i led, diminuisce il valore di $R_1\,$ e aumenta la sensibilita` relativa della corrente rispetto alla tensione di rete.

Esempio di Progetto

Proviamo a sviluppare il calcolo per alimentare una stringa di 40 led bianchi, di tipo NSPW500BS [8] prodotto da Nichia. I dati nominali sono $V_F=3.6\,\text{V}$ a $I_\text{led}=20\,\text{mA}$ . Poiche' si lavora con corrente praticamente continua si puo` usare come modello del led semplicemente la sua caduta di tensione alla corrente nominale. La caduta complessiva dei 40 led vale quindi $40\times 3.6\,\text{V}=144\,\text{V}$ .

Se si progettasse il circuito senza la resistenza $R_r\,$ si avrebbe che la tensione di uscita sarebbe circa pari alla tensione di picco. Volendo mantenere la tensione di ripple limitata a $V_r=10\,\text{V}$ si puo` calcolare subito il valore della capacita` (eq. (2)):

$(13)\qquad C_o=\frac{I_L}{2fV_r}=\frac{20\text{mA}}{2\times 50\text{Hz}\times 10\text{V}}=20\,\mu\text{F}$

Un condensatore da $22\,\mu\text{F}$ potrebbe essere troppo piccolo a causa delle tolleranze, tipicamente del 20%. Il valore di $27\,\mu\text{F}$ non e` facilmente disponibile commercialmente, e il successivo e` da $33\,\mu\text{F}$ , che e` piu` grande e costoso. Dato che non e` indispensabile che sia sempre $V_r<10\,\text{V}$ , si puo` anche usare un condensatore da $22\,\mu\text{F}$

Con questa scelta di capacita`, il ripple stimato (eq. (1)) sarebbe di

$(14)\qquad V_r=\frac{I_L}{2fC_o}=\frac{20\text{mA}}{2\times 50\text{Hz}\times 22\mu\text{F}}=9.1\,\text{V}$

e la corrente di picco ripetitivo nei diodi varrebbe (eq. (4))

$(15)\qquad I_{pk}=I_L\pi\sqrt{\frac{2V_{pk}}{V_r}}=20\text{mA}\times \pi\sqrt{\frac{2\times 325\text{V}}{9.1\text{V}}}=531\,\text{mA}$

Tuttavia uno dei problemi di non utilizzare la resistenza $R_r\,$ , oltre ai picchi di corrente ripetitivi, e` l'elevatissima corrente di accensione che si avrebbe quando si accende il circuito con il condensatore $C_o\,$ ancora scarico. Il picco di corrente e` massimo se la chiusura avviene quando la tensione di rete e` intorno al picco. Per sistemi a potenza elevata si possono usare NTC di limitazione. In questo caso e` piu` semplice inserire una resistenza in serie al ponte che, fra le altre funzioni, limiti la corrente di accensione.

Per ottenere una corrente di accensione limitata a $I_\text{acc}=1\,\text{A}$ circa, essendo il picco di tensione pari a $V_\text{pk}=325\,\text{V}$ , si deve utilizzare una resistenza pari a

$(16)\qquad R_r=\frac{V_\text{pk}}{I_\text{acc}}=\frac{325\,\text{V}}{1\,\text{A}}=330\,\Omega$ .

Con questa resistenza di limitazione e un carico $I_L=20\,\text{mA}$ la tensione media sul condensatore risulta secondo la formula (5) pari a

$(17)\qquad V_{C_o}=325\text{V}\left (1-\left( \frac{\pi \times 20\text{mA}\times 330\Omega }{\sqrt{2}\times 325\text{V}}\right)^{2/3}\right )=284\,\text{V}$

Con questi valori si puo` stimare la corrente di picco ripetitiva nei diodi e nel condensatore (eq. (7)):

$(18)\qquad I_\text{pk}=\frac{V_\text{pk}-V_C}{R_r}=\frac{325\text{V}-284\text{V}}{330\Omega}=124\,\text{mA}$

In realta` il picco sara` minore a causa della caduta sui diodi e altri fattori non considerati in questa analisi. L'angolo di conduzione in questo circuito vale (eq. (6))

$(19)\qquad 2\alpha_c=2 \arccos \left ( \frac{284\text{V}} {325\text{V}} \right )=1.02\,\text{rad}=58.2^\circ$

e il tempo di scarica (eq. (8)):

$(20)\qquad t_s=\frac{\pi-1.02\text{rad}}{2\pi\times 50\text{Hz}}=6.77\,\text{ms}$

La tensione di ripple con la resistenza $R_r\,$ vale quindi approssimativamente (eq. (9))

$(21)\qquad V_r= \frac{20\text{mA}}{22\mu\text{F}}\times 6.77\text{ms}=6.2\,\text{V}$

La resistenza $R_1\,$ di limitazione della corrente deve valere, secondo l'eq. (10)

$(22)\qquad R_1=\frac{284\text{V}-144\text{V}}{20\text{mA}}=7\,\text{k}\Omega$

e dissipa una potenza media di

$(23)\qquad P_{R_1}=(20\text{mA})^2\times 7\text{k}\Omega=2.8\,\text{W}$

La sensibilita` relativa della corrente dei led rispetto alla tensione di picco, calcolata con l'equazione (12), vale circa $1.86\,$ : una variazione del $10\%\,$ della tensione di rete provoca una variazione di circa il $19\%\,$ nella corrente dei led. Minore e` la caduta di tensione sulla resistenza $R_1\,$ , peggiore e` la stabilita` della corrente.

Simulazione

Usando il simulatore LTSpice, che contiene gia` il modello del led utilizzato, si e` provveduto a simulare il circuito sia con il modello lineare dei led, sia con il modello dei led fornito dal simulatore. Nella figura 3 e` mostrato il circuito con il modello lineare dei led.

Figura 3 - Controllo corrente resistivo, modello lineare

Per il modello lineare si e` considerata una resistenza interna di ogni led di $10\,\Omega$ e una tensione di soglia pari a $V_\text{s}=3.4\,\text{V}$ . Questi valori non sono assolutamente critici poiche' la corrente e` praticamente costante.

E` anche stato simulato il circuito senza la resistenza $R_r\,$ per mostrare la corrente di accensione e il picco ripetitivo. Per quest'ultimo circuito e` stata ricalcolata la resistenza $R_1\,$ poiche' la tensione media dopo i diodi e` maggiore. Il risultato ottenuto e` di $R_1=8.8\,\text{k}\Omega$ .

Alla capacita` e` stata aggiunta una resistenza serie pari a $ESR=3\,\Omega$ . Questa resistenza ha effetto solo nel transitorio di accensione del circuito senza la resistenza $R_r\,$ .

Un esempio dei (tanti) grafici trovati con le simulazioni e` nella figura seguente

Figura 4 - VCo, IRr e potenza dissipata da Rr

dove con partenza da spento, in verde e` rappresentata la tensione sul condensatore, in rosso la corrente assorbita dalla linea e in viola la potenza istantanea dissipata da $R_r\,$ .

I risultati delle varie simulazioni fatte sono riportate nella tabella 1 sottostante:

TABELLA 1
Parametro	Calcolo Rr=0	Calcolo Rr=330Ω	Rr=0 Mod. lineare	Rr=330Ω Mod. lineare	40 LED di LTSpice	43 LED di LTSpice
I media	20 mA	20 mA	19.9 mA	20.6 mA	22 mA	20.9 mA
I picco diodi	531 mA	124 mA	437 mA	103 mA	109 mA	105 mA
I accensione	??	1A	>70 A	0.97 A	.98 A	.98 A
V su Co	320 V	284	319.6 V	288.8 V	287.3 V	288.6 V
V ripple	9.1 V	6.2 V	8.3 V	6.7 V	7.1 V	6.8 V
Potenza su R1	3.5 W	2.8 W	3.5 W	3 W	3.4 W	3.1 W
Potenza su Rr	NA	??	NA	.56 W	.64 W	.58 W
Sensitivity	18%	18.6%	17.2%	17.7%	16.8%	17.2%

Le prime due colonne sono i risultati del calcolo teorico per il caso di raddrizzatore senza resistenza $R_r\,$ e con $R_r=330\,\Omega$ . Le successive due colonne rappresentano gli stessi parametri calcolati con il modello lineare della stringa di led. Come si puo` notare l'accordo e` decisamente buono. La colonna successiva riporta i risultati della simulazione con $R_r=330\,\Omega$ e una stringa si 40 led, utilizzanti il modello fornito dal simulatore.

Come si puo` notare la corrente media e` sensibilmente maggiore di quella desiderata. La ragione e` che il modello di LTSpice del led utilizzato a $20\,\text{mA}$ ha una caduta di tensione minore di quella riportata dal data sheet. Per verificare se i conti erano giusti, si sono aggiunti tre led per protare la tensione totale sui led a circa $V_\text{led} \approx 144\,\text{V}$ . In queste condizioni si vede che i risultati sono molto vicini al calcolo.

Non sono state fatte le simulazioni con i led e con $R_r=0\,\Omega$ perche' e` una situazione irrealistica: se non si usa la resistenza in serie all'ingresso i componenti sono sottoposti a uno stress di corrente cosi` elevato da avere una vita limitata.

Considerazioni

Per realizzare questo circuito bisogna ancora scegliere i diodi, il condensatore, i resistori e lo schema.

Per i diodi la scelta e` facile: la corrente media del raddrizzatore e` di $20\,\text{mA}$ , ed essendo un ponte ogni diodo porta una corrente media di $10\,\text{mA}$ . La tensione inversa che ogni diodo deve poter sopportare, in condizioni normali, e` di circa $290\,\text{V}$ piu` la tolleranza della rete. In pratica serve almeno un diodo da $400\,\text{V}$ , e visto che i diodi da $1000\,\text{V}$ e $1\,\text{A}$ sono comunissimi, giusto per non fare nomi 1N4007, mi pare sia una buona scelta prendere questi diodi.

Il condensatore deve avere una capacita` di $22\,\mu\text{F}$ con una tensione di lavoro di $400\,\text{V}$ . Eventualmente puo` anche essere realizzato con due condensatori da $200\,\text{V}$ e $47\,\mu\text{F}$ in serie, con resistenze in parallelo per l'equalizzazione della tensione continua. In questo circuito la corrente efficace che attraversa il condensatore e` molto limitata, dell'ordine di poche decine di milliampere, e non stressa particolarmente il componente.

La resistenza $R_1\,$ puo` essere convenientemente divisa in due parti, in serie ad ogni lato del ponte, come mostrato in figura 5

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La ragione di questa scelta e` di proteggere il ponte e i led in caso di cortocircuito diretto della stringa verso terra. Se si ipotizza che lungo la serie un punto qualunque a valle delle resistenze possa andare in contatto diretto con la terra, la corrente media che puo` scorrere nei led e` al massimo di $35\,\text{mA}$ . In questa situazione i led e il ponte raddrizzatore non vengono danneggiati, e nel frattempo interviene l'interruttore differenziale.

E` anche stato aggiunto $R_d\,$ per scaricare il condensatore, anche se e` importante solo se si apre la scatola contenente il circuito. Se si stacca la spina il condensatore $C_o\,$ carico, a causa dei diodi del ponte, non puo` comunque mettere sotto tensione i contatti della spina.

La resistenza $R_r\,$ oltre alla potenza media dissipata (calcolabile praticamente solo con la simulazione), deve anche poter sopportare l'energia dissipata in fase di caricamento del condensatore. Il condensatore $C_o\,$ si carica praticamente in un ciclo della rete, accumulando una energia pari a

$(24)\qquad \mathcal{E}_{C_o}=\frac{C_oV^2}{2}=\frac{22\mu\text{F}(290\text{V})^2}{2}=0.93\,\text{J}$

Quando si carica un condensatore attraverso una resistenza (in questo caso $R_r\,$ ) l'energia persa nel resistore e` uguale a quella accumulata nel condensatore. La resistenza $R_r\,$ , indipendentemente dal suo valore, dissipa circa $0.9\,\text{J}$ in $20\,\text{ms}$ , e deve essere in grado di sopportare questo stress termico, di una cinquantina di watt medi per un ciclo. La potenza istantanea in realta` e` ben piu` alta, e il picco e` di circa

$(25)\qquad P=RI^2=330\Omega \times (.98\text{A})^2\approx 320\,\text{W}$ .

come si vede anche dalla figura 4.

La scelta di questa resistenza richiede uno studio accurato dei data sheet in modo da scegliere un componente che possa sostenere il transitorio di accensione.

Surge

La resistenza $R_r\,$ e` anche la prima difesa contro le sovratensioni di rete causate tipicamente da fulmini (surge voltage). Queste scariche possono portare la tensione differenziale di rete a valori di oltre $1\,\text{kV}$ .

L'effetto di un impulso di surge sul circuito puo` essere simulato utilizzando il circuito equivalente del generatore di surge e calcolando l'energia dissipata su $R_r\,$ e le sovratensioni in giro per il circuito, come mostrato nella figura 5.

Lo schema del generatore di surge e` tratto da [9] ed e` conforme alla normativa IEC EN61000-5-4.

La tensione transitoria sulla rete causata dal voltage surge, la corrente di ingresso e la potenza istantanea dissipata da $R_r\,$ sono rappresentati nella figura 7

Figura 6 - Simulazione dei voltage surge

Figura 7 - Tensione, corrente e potenza durante un 1-kV surge

La tensione, in rosso, sale di $1\,\text{kV}$ sopra il valore normale, la potenza istantanea (curva viola) arriva oltre a $3\,\text{kW}$ ma la durata e` minore di $100\,\mu\text{s}$ e l'energia in gioco sulla resistenza e` minore di $100\,\text{mJ}$ . La corrente di ingresso, che passa anche sul condensatore $C_o\,$ arriva a oltre $3\,\text{A}$ , ancora compatibile con i diodi. La tensione sul condensatore varia di circa $9\,\text{V}$ a causa della presenza dell'ESR.

Se non fosse presente la resistenza $R_r\,$ i diodi verrebbero probabilmente distrutti dalla sovratensione.

Regolazione a capacita` - Corrente pulsante

La regolazione della corrente media attraverso una lunga stringa di led alimentati da rete potrebbe anche essere fatta usando un condensatore, che rispetto alla resistenza ha il vantaggio di non dissipare potenza. Oltre al risparmio energetico, la minore dissipazione consente di mettere il circuito di alimentazione in una scatola piu` piccola, poiche' non e` necessasio dissipare calore. L'analisi di questo circuito, riportato nella figura seguente, e` stata fatta in un precedente articolo [10]

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Anche in questo caso si puo` definire un coefficiente per rendere piu` maneggevoli le espressioni in questo modo: $k_n=\frac{V_\text{led}}{V_\text{pk}}$ . Da notare che a differenza di $k_s\,$ usato nell'articolo precedente, qui la tensione considerata non e` quella di soglia ma quella nominale del led (non e` che in pratica cambi molto).

L'equazione (7b) dell'articolo [10], permette di calcolare il valore della capacita` per ottenere la corrente media $I_\text{led}\,$ dsiderata attraverso i led, conoscendo la tensione complessiva $V_\text{led}\,$ su tutta la stringa e la tensione di picco della rete. Trascurando la caduta di tensione sul ponte di diodi si ha:

$(26)\qquad C_1=\frac{I_\text{led}}{4f(V_\text{pk}-V_\text{led})}=\frac{I_\text{led}}{4fV_\text{pk}(1-k_n)}$

L'espressione della corrente di picco, supponendo sinusoidale la forma d'onda della tensione di rete, cambia a seconda dell'intervallo in cui si trova il coefficiente $k_n\,$

$(27)\qquad \begin{cases} k_n<0.5\qquad &I_\text{pk}=V_\text{pk}2\pi f C_1\\ k_n>0.5 \qquad &I_\text{pk}=V_\text{pk}4 \pi f C_1 \sqrt{k_n(1-k_n)} \end{cases}$

e sostituidendo il valore di $C_1\,$ si ottiene

$(28)\qquad \left \{ \begin{align} k_n<0.5\qquad &I_\text{pk}=I_\text{led}\frac{\pi}{2(1-k_n)}\\ k_n>0.5 \qquad &I_\text{pk}=I_\text{led}\frac{\pi\sqrt{k_n}}{\sqrt{1-k_n}} \end{align} \right .$

Gia` con $k_n=0.5\,$ la corrente di picco attraverso i led e` oltre il triplo di quella media. Prima di proseguire calcolando la corrente efficace, sensitivity... bisogna fare una osservazione importante. Il valore della corrente di picco e` stato trovato supponendo che la tensione di rete sia sinusoidale. Purtroppo questa e` una ipotesi non vera, sia a causa dei voltage surge sulla linea, e sia soprattutto perche' il circuito viene acceso e durante la fase di accensione la tensione di ingresso puo` avere un gradino che viene derivato dal condensatore dando origine a una corrente molto elevata.

Per rientrare entro il limite massimo di corrente dei led, si dovrebbe mettere in serie al condensatore una resistenza $R_r\,$ di valore

$(29) \qquad R_r=\frac{V_\text{pk}-V_\text{led}}{I_\text{ledMAX}}$

Assumendo una tensione di led di circa $144\,\text{V}$ e una corrente massima di $100\,\text{mA}$ sarebbe necessaria una resistenza da circa $1800\,\Omega$ . Una resistenza di questo genere richiederebbe di alzare un pochino il valore della capacita`, ma soprattutto causerebbe una relativamente elevata dissipazione di potenza, dell'ordine di un paio di watt, rendendo inutile l'uso di un condensatore per ridurre le perdite.

Considerazioni

Il circuito con alimentazione impulsiva e controllo della corrente mediante condensatore non e` una soluzione percorribile: i condensatori fanno passare una corrente proporzionale alla derivata della tensione, e in transitorio il picco di corrente sarebbe inaccettabile. Una resistenza per limitare questo transitorio dissiperebbe parecchio, rendendo non attrattiva la soluzione a condenatore. Per questa ragione non riporto conti, formule, simulazioni... ma comunque le ho fatte :)

Regolazione a capacita` - Corrente costante

Il problema della soluzione con regolazione a capacita` e corrente impulsiva e` che le variazioni rapide di tensione in rete provocano elevate sovracorrenti nella catena di led. Per risolvere il problema e` possibile mettere un condensatore elettrolitico all'uscita del ponte, in modo che costituisca un percorso a bassa impedenza per le sovracorrenti. Lo schema della regolazione a capacita` con corrente nei diodi (quasi) costante e` nella figura 9.

La presenza del condensatore $C_o\,$ non cambia il valore della corrente media in uscita dal ponte, mentre la resistenza $R_r\,$ inserita per proteggere il ponte da sovracorrenti, e` di valore abbastanza basso da non cambiare in modo significativo l'effetto del condensatore $C_1\,$ .

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Il condensatore $C_1\,$ , trascurando le cadute sui diodi, si carica ad ogni semiperiodo a una tensione pari a

$(30) \qquad V_{C_1}=\pm V_\text{pk}(1-k_n)\,$

Al solito si e` definito $k_n=V_\text{led}/V_\text{pk}\,$ usando la tensione dei led a corrente nominale, non quella di soglia.

Ad ogni semiciclo la tensione ai capi del condensatore cambia, in valore assoluto, di

$(31)\qquad \Delta V_{C_1}=2 V_\text{pk}(1-k_n)\,$

spostando una carica pari a

$(32)\qquad \Delta Q=C_1 2 V_\text{pk}(1-k_n)\,$

Questo spostamento di carica avviene $2f\,$ volte al secondo, e quindi la carica per unita` di tempo che poi e` la corrente media che passa nei led vale

$(33)\qquad I_\text{led}=4fC_1 V_\text{pk}(1-k_n)\,$

Da cui il valore del condensatore che da` la corrente media voluta, come era gia` stata ricavata in [10] e`

$(34)\qquad C_1=\frac{I_\text{led}}{4fV_\text{pk}(1-k_n)}$

La tensione di lavoro di questo condensatore deve essere almeno di $400\,\text{V}$ : anche in presenza di una sovratensione breve sulla linea, la tensione ai capi di $C_1\,$ rimane limitata.

L'angolo di conduzione dei diodi non e` simmetrico rispetto al picco della tensione sinusoidale. Se si considera come tensione di rete la funzione $V_\text{pk}\sin(\varphi)\,$ , trascurando la resistenza $R_r\,$ la corrente sara` data dalla derivata della tensione moltiplicata per la capacita`, ma scorrera` solo a partire dall'angolo $\varphi=\arcsin(2k_n-1)\,$ fino all'angolo $\varphi=\pi/2\,$ , come rappresentato nella figura 10:

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e quindi l'angolo di conduzione totale vale

$(35)\qquad \alpha_c=-\arcsin(2k_n-1)+\frac{\pi}{2}=\arccos(2k_n-1)$

Il valore di picco della corrente e` lo stesso di quello calcolato per il caso impulsivo: in entrambe le situazioni la tensione dopo il ponte, quando i diodi conducono, puo` essere considerata costante, di valore $V_\text{led}=k_nV_\text{pk}\,$

$(36)\qquad \left \{ \begin{align} k_n<0.5\qquad I_\text{pk}&=I_\text{led}\frac{\pi}{2(1-k_n)}\\ k_n>0.5 \qquad I_\text{pk}&=I_\text{led}\frac{\pi\sqrt{k_n}}{\sqrt{1-k_n}} \end{align} \right .$

Il valore efficace della corrente assorbita dalla rete, facendo l'ipotesi di piccolo ripple di tensione in uscita, dopo tanti noiosi conti, ha l'andamento mostrato in figura 11

Figura 11 - Rapporto corrente efficace rete/corrente led

e puo` essere approssimata per $0<k<0.67\,$ con questa espressione:

$(37)\qquad I_\text{rms}=I_\text{led}(1.11+0.977k_n)\,$

La resistenza $R_r\,$ serve per proteggere i diodi dalla corrente di accensione e tutto il sistema dalle sovratensioni di rete, funzione in questo caso particolarmente importante a causa dell'azione derivativa del condensatore.

Se si vuole limitare la corrente di accensione a un valore prefissato $I_\text{acc}\,$ che non danneggi i diodi e il condensatore di livellamento, si usa la stessa tecnica gia` mostrata per la regolazione a resistenza e alimentazione in continua:

$(38)\qquad R_r=\frac{V_\text{pk}}{I_\text{acc}}$

e la potenza dissipata a regome da questa resistenza e` calcolabile con la corrente efficace il cui valore e` dato dall'eq (37) o dalla figura 11.

I diodi sono sottoposti alla solita corrente media pari alla meta` della corrente dei led, la tensione inversa vista e` quella dei led, anche in caso di surge la tensione inversa sui diodi rimane limitata.

Il condensatore $C_o\,$ all'uscita del ponte non e` un vero e proprio condensatore di livellamento, ma serve principalmente per fornire un percorso a bassa impedenza ai picchi di corrente che arrivano dai diodi a causa di transitori sulla rete. Il valore di $C_o\,$ non influenza la corrente media che circola nei led, ma puo` farli lavorare con tensione piu` livellata, vale a dire con accensione continua e quindi con corrente efficace minore.

Per proteggere i led dal transitorio di accensione basterebbe un condensatore relativamente piccolo, di valore

$(39)\qquad C_o=C_1\, \frac{1-k_n}{k_n}$

Con questo condensatore pero` non si protegge il circuito dai voltage surge, e la corrente mandata ai led e` impulsiva. Una possibile strategia di progetto e` scegliere il condensatore $C_o\,$ per controllare il ripple della tensione di uscita e poi verificare che questo condensatore, con la sua ESR, sia una buona difesa contro i voltage surge.

In questo caso non e` possibile usare le formule semplici per il ripple di un raddrizzatore, in quanto l'alimentazione del ponte e` fatta attraverso il condensatore $C_1\,$ e l'angolo di conduzione e` molto piu` lungo rispetto al caso elementare. Dato che si conosce l'angolo di conduzione $\alpha_c\,$ , si puo` ipotizzare che quando i diodi non conducono ci sia la scarica a corrente costante pari a $I_\text{led}\,$ attraverso la capacita` di uscita. La tensione di ripple risulta quindi

$(40)\qquad V_r=\frac{I_\text{led}}{C_o} \,\frac{\pi-\alpha_c}{2\pi f}=\frac{I_\text{led}}{C_o}\, \frac{\arccos(1-2k_n)}{2\pi f}$

I led hanno una caratteristica corrente-tensione circa esponenziale, con bassa resistenza dinamica, e quindi anche un relativamente piccolo ripple sulla tensione di alimentazione da` un ripple di corrente elevato. Scegliendo un valore per la tensione di ripple, la capacita` necessaria risulta essere circa:

$(41)\qquad C_o=\frac{I_\text{led}}{2\pi f V_r}\arccos(1-2k_n)$

Il rendimento di questo circuito e` elevato, avendo usato una regolazione di corrente capacitiva. La sola potenza dissipata, a parte quella dei diodi, e` quella della resistenza $R_r\,$ . Non si puo` dare una formula semplice per il rendimento finche' non si determina il valore di $R_r\,$ .

La sensibilita` relativa della corrente media del led al variare della tensione di picco vale

$(42)\qquad S^{I_\text{led}}_{V_\text{pk}}=\frac{1}{1-k_n}$

e come al solito aumenta abbastanza drasticamente quando $k_n\,$ comincia a salire sopra il valore di 0.6 circa.

Esempio di Progetto

Dimensioniamo ora un alimentatore fatto con la tecnica della regolazione di corrente con condensatore per i soliti 40 led bianchi, con una corrente di led $I_\text{led}=20\,\text{mA}$ e una tensione totale alla corrente nominale di $V_\text{led}=144\,\text{V}$ . Il rapporto di tensione led diviso tensione di picco vale

$(43)\qquad k_n=\frac{144\text{V}}{325\text{V}}=0.443$

Il condensatore $C 1$ limita la corrente media assorbita dai led, e lo si calcola secondo l'equazione (34):

$(44) \qquad C_1=\frac{20\text{mA}}{4\times 50\text{Hz}\times 325\text{V}(1-0.433)}=552\,\text{nF}$

Come gia` detto in precedenza, la tensione di lavoro di questo condensatore, che sara` scelto da $560\,\text{nF}$ senza preoccuparsi troppo delle tolleranze, e` opportuno che sia di almeno $400\,\text{V}$ per sopravvivere al cortocircuito del ponte raddrizzatore. La corrente di picco nei diodi, condensatore di ingresso, resistenza di ingresso dall'equazione (36) primo caso, risulta essere:

$(45) \qquad I_\text{pk}=20\text{mA}\frac{\pi}{2(1-0.443)}=56.4\,\text{mA}$

e l'angolo di conduzione, per i piu` curiosi, e` (eq. (35))

$(46) \qquad \alpha_c=\arccos(2\times 0.443-1)=1.68\,\text{rad}=96.5^\circ$

La corrente efficace che circola attraverso il condensatore di ingresso vale, dall'equazione approssimata (37)

$(47) \qquad I_\text{rms}=20\text{mA}(1.11+0.977\times 0.443)=30.9\,\text{mA}$

La resistenza di limitazione di corrente di accensione $R_r\,$ viene dimensionata con l'equazione (38). Supponendo di voler limitare la corrente di accensione a $1\,\text{A}$ si ha

$(48) \qquad R_r=\frac{325\text{V}}{1\text{A}}=330\,\Omega$ .

L'energia che si dissipa in questa resistenza durante il transistorio di accensione e` praticamente uguale all'energia che si accumula in $C_1\,$ durante l'accensione e vale

$(49) \qquad \mathcal{E}_{C_1}=\frac{C_1V^2}{2}=\frac{560\text{nF}(325\text{V})^2}{2}=30\,\text{mJ}$

e questa e` un'energia molto piu` bassa rispetto al caso di caduta resistiva e alimentazione a corrente costante (eq. (24)), perche' il condensatore da caricare e` molto piu` piccolo.

La potenza dissipata a regime da $R_r\,$ vale

$(50)\qquad P_{R_r}=R_r\,I_\text{rms}^2=330\Omega \times (30.9\text{mA})^2=0.31\,\text{W}$

ed e` quindi necessario usare un resistore da almeno mezzo watt, che rispetti anche gli stress del transistorio di accensione e quelli dei voltage surge, calcolati nel seguito.

Il condensatore $C_o\,$ , determina la tensione di ripple in uscita, con l'ipotesi di corrente di carico costante. Se vogliamo alimentare i led con un ripple di corrente non troppo elevato, dovremo scegliere un ripple di tensione dell'ordine di pochi percento della tensione totale. Ad esempio assumendo di volere una tensione picco picco di ripple $V_r=5\,\text{V}$ , il valore di $C_1\,$ calcolato secondo la (41) risulta essere

$(51)\qquad C_o=\frac{20\text{mA}}{2\pi\times 50\text{Hz}\times 5\text{V}}\arccos(1-2\times 0.443)= 18.5\,\mu\text{F}$

Si prendera` lo stesso condensatore usato in precedenza da $22\,\mu\text{F}\,$ . La tensione di lavoro di questo condensatore potrebbe essere anche di soli $200\,\text{V}\,$ , ma i dettagli verranno analizzati nel seguito.

Il rendimento del circuito puo` essere stimato conoscendo la potenza assoribita dai led, quella dissipata da $R_1\,$ e quella dissipata dai diodi

$(52a)\qquad P_\text{led}=V_\text{led}\,V_\text{led}=144\text{V}\times 20\text{mA}=2.88\,\text{W}$

$(52b)\qquad P_{R_1}=0.31\,\text{W}$

$(52c)\qquad P_\text{diodi}=2I_\text{led}\,V_D=2\times 20\text{mA}\times 0.7\text{V}=28\,\text{mW}$

La caduta di tensione sui diodi e` stata assunta di $0.7\,\text{V}$ , anche se sono diodi di potenza, perche' funzionano a correnti veramente basse. Il rendimento e` quindi stimabile come:

$(53)\qquad \eta=\frac{P_\text{led}}{P_{R_1}+P_\text{led}+P\text{diodi}}=89\,%$

La sensibilita` della corrente media rispetto alle variazioni di tensione di alimentazione, da (42) risulta essere di $1.8\,$ volte circa, quindi una variazione del $10\%\,$ della tensione di rete causa una variazione del $18\%\,$ circa della corrente media dei led.

Simulazione

La simulazione del circuito progettato e` stata fatta sia usando il modello lineare dei led, che la stringa di led veri e proprii. Si sono simulate due stringhe, una da 40 led e una da 43 led per compensare il fatto che il led di LTSpice non rispetta i valori tipici del data sheet [8].

Il circuito con modello lineare dei led e` mostrato in figura 12

Figura 12 - Regolazione a C, corrente costante, circuito

Le forme d'onda a regime risultanti da questo circuito sono mostrate in figura 13

Figura 13 - Forme d'onda

In verde e` rappresentata la tensione sul condensatore di uscita $C_o\,$ con un ripple $V_r=4.4\,\text{V}$ , in rosso la corrente attraverso i led "linearizzati", che ha un valore medio di $I_\text{led}=19.9\,\text{mA}$ ma con una variazione picco picco di quasi $11\,\text{mA}$ . Infine in blu e` rappresentata la corrente assorbita dalla linea, con valore di picco di $55.2\,\text{mA}$ e valore efficace $I_\text{rms}=29.5\,\text{mA}$ .

I risultati delle varie simulazioni, sia a regime che in transitorio di accensione, sono mostrati in tabella 2.

TABELLA 2
Parametro	Calcolo	Mod. lineare	40 LED di LTSpice	43 LED di LTSpice
I media led	20 mA	19.9 mA	21.2 mA	20.1 mA
I max led	--	24.7 mA	24.9 mA	23.4 mA
I min led	--	13.8 mA	16.8 mA	16.2 mA
I picco C1	56.4 mA	55.1 mA	55.6 mA	55.3 mA
I accensione	1 A	0.96 A	0.96 A	0.96 A
V su Co	144 V	144.6 V	132.5 V	141.8 V
V ripple	5 V	4.4 V	4.6 V	4.5 V
Potenza su Rr	0.31 W	0.29 W	.31 W	0.29 W
Efficienza	89%	90%	89.3%	90%
Sensitivity	18%	17.3%	16.3%	17.3%

Ancora una volta si vede che i conti fatti con il modello approssimato, trascurando alcuni fenomeni e approssimando qua e la` da` degli ottimi risultati.

Considerazioni

Anche per questo circuito i diodi possono essere i soliti da $1000\,\text{V}$ anche se non dovrebbero mai raggiungere quelle tensioni.

Il condensatore $C_1\,$ potrebbe essere suddiviso in due capacita`, in serie a ciascun lato del ponte, per ragioni di protezione, analoghe a quanto visto nell'articolo precedente [1].

In realta` in questo caso l'operazione non e` molto conveniente, sia in termini di prestazione che di costo. Se si mettono due condensatori, uno per ramo di ingresso, come in figura 14, suddividendo anche la resistenza si ha questo schema:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Una soluzione del genere richiede due condensatori di capacita` doppia, e tensione di lavoro pari a $400\,\text{V}$ per sopravvivere a possibili guasti verso terra. In caso di guasto verso terra, la corrente media nei led sale a circa $30\,\text{mA}$ , quella di picco puo` superare i $120\,\text{mA}$ , mentre le due resistenze che formano $R_r\,$ possono arrivare a dissipare oltre $1\,\text{W}$ .

L'inconveniente di questa soluzione e` che i condensatori diventano di capacita` doppia ma non si riduce la loro tensione di lavoro. E` da considerare se usare due grossi condensatori, mettere due fusibili oppure affidarsi all'interruttore differenziale.

Il condensatore di uscita $C_o\,$ lavora normalmente con tensione pari a quella dei led, $144\,\text{V}$ circa, e quindi un condensatore da $200\,\text{V}$ oppure da $250\,\text{V}$ e` adeguato. Se pero` si apre la catena di led (contatto che si apre, led che si guasta, Rudolph (the red-nosed reindeer [11]) inciampa nel cavo e lo strappa, la tensione sul condensatore $C_o\,$ sale fino alla tensione di picco della rete. Se si vuole avere la sopravvivenza a questo tipo di guasto, e` necessario che i condensatori abbiano una tensione di lavoro di $400\,\text{V}$

Surge

Anche con la soluzione a condensatore e` opportuno verificare se il circuito riesce a sopravvivere alle sovratensioni di rete. La presenza della resistenza $R_r\,$ insieme con il condensatore $C_o\,$ fanno ben sperare in questo senso. E` possibile fare una stima degli stress in gioco sui led usando la semplice elettrotecnica. Per gli stress sul condensatore e resistenza di ingresso ci vuole l'elettrotecnica un po' piu` complicata, e la lascero` al simulatore.

L'impulso di voltage surge normalizzato da EN61000-5-4 per questo tipo di applicazione ha una ampiezza di $1\,\text{kV}$ , e una forma d'onda praticamente triangolare con tempo di salita breve, $1.2\,\mu\text{s}$ e tempo di discesa dell'ordine di $100\,\mu\text{s}$ . Se questa sorgente di tensione e` caricata da una bassa impedenza, la forma d'onda cambia notevolmente arrivando ad essere in caso di cortocircuito di $500\,\text{A}$ con tempistiche completamente diverse.

Dato pero` che in questo caso la resistenza $R_r\,$ limita la corrente a $\frac{1\text{kV}}{330\Omega}=3\,\text{A}$ , si puo` assumere che nel circuito venga iniettata la sovratensione completa di $1\,\text{kV}$ . La corrente di surge ha tempo di caricare parzialmente il condensatore $C_1\,$ perche' l'impulsto ha durata dell'ordine del centinaio di microsecondi e la costante di tempo dell'RC di ingresso vale $\tau=330\Omega\times 560\text{nF}=185\,\mu\text{s}$ comparabile con la durata dell'impulso di surge. Questo rende complicato il conto della carica del condensatore.

La corrente impulsiva da 3A passa attraverso i diodi e poi nel parallelo di $C_o\,$ e dei led. L'impedenza massima di questo parallelo e` praticamente data dall'ESR del condensatore, in questo caso $ESR=3\,\Omega$ . La corrente di surge che passa per $C_o\,$ non ha il tempo di caricarlo, ma crea una sovratensione data da $3\text{A}\times 3\Omega=9\,\text{V}$ che va a cambiare la corrente dei diodi. Si puo` stimare che la serie dei diodi abbia una resistenza differenziale dell'ordine $10\Omega\times 40=400\,\Omega$ e quindi la variazione di corrente attraverso i led potrebbe essere dell'ordine di $22\,\text{mA}$ ancora sopportabile dai led.

I conti dettagliati, compresi la tensione ai capi di $C 1$ , l'energia dissipata da $R_r\,$ anche se fattibili a mano, e` meglio lasciarli calcolare al simulatore.

Il circuito simulato per il voltage surge e` mostrato in figura 15

Figura 15 - Circuito verifica voltage surge

Simulando il circuito si ottengono queste forme d'onda:

Figura 16 - Tensione e corrente di surge

In blu e` rappresentata la corrente di ingresso, che arriva fino a $3\,\text{A}$ circa, in rosso la tensione ai capi dei diodi: si vede che c'e` una discontinuita` di $9\,\text{V}$ circa. La curva piu` interessante e` quella verde, che mostra la tensione ai capi del condensatore $C_1\,$ che arriva dopo il surge fino a $345\,\text{V}$ : anche per questa ragione e` necessario che questo condensatore abbia una tensione di lavoro elevata.

La figura 17 mostra la tensione ai capi dei led, la corrente dei led e la potenza istantanea dissipata da $R_r\,$

Figura 17 - Tensione e corrente sui led

La traccia verde e` la tensione complessiva sui led, con il suo ripple. In corrispondenza del surge sale di $9\,\text{V}$ . La traccia rossa e` la corrente nei led: la corrente di picco sale istantaneamente fino verso i $40\,\text{mA}$ circa, per tornare in alcuni cicli ai valori normali. La traccia blu e` la potenza istantanea dissipata da $R_r\,$ , che arriva a oltre $2.7\,\text{kW}$ , e l'energia dissipata e` di circa $60\,\text{mJ}$ , maggiore di quella dissipata in transitorio di accensione. Scegliendo una resistenza in grado di sopportare questa energia si ha la protezione del circuito dai voltage surge, ma l'aggiunta di un TVS sull'ingresso e` fortemente consigliata, anche perche' le simulazioni dei comportamenti con sovratensioni non sono precise, dato che non vengono modellate le induttanze parassite e altri elementi parassiti.

Conclusioni

Sono stati esaminati 4 possibili circuiti per l'alimentazione diretta da rete di lunghe file di led. Di questi quattro circuiti, uno non e` praticamente utilizzabile (regolazione a condensatore, corrente impulsiva), gli altri tre invece potrebbero essere usati a patto di sapere esattamente che cosa si sta facendo e di fare il dimensionamento corretto. Le due versioni con alimentazione a corrente costante hanno dei vantaggi di minori stress sui led, e la versione con regolazione a condensatore, l'ultima presentata, ha l'ulteriore vantaggio di dissipare pochissima potenza nel raddrizzatore.

Forse meglio ripetere: QUESTI CIRCUITI NON SONO ISOLATI DALLA RETE! solo prendendo tutte le precauzioni e` possibile costruirli e utilizzarli, ma e` comunque sempre una pessima idea usare circuiti non isolati.

Bibliografia

[1] IsidoroKZ - Luuunghe stringhe di led: Alimentazione da rete?, Electroyou Dic. 2011

[2] Sedra/Smith, Microelectronics Circuits, Sixth ed. 2010, Oxford University Press.

[3] Millman Grabel, Microelectronics, Second Ed. 1987, Mc Graw-Hill

[4] Gray, Searle, Eelctronic Principles, Physics, Models and Circuits, Wiley 1969

[5] IsidoroKZ - Stringhe di led I - Alimentazione con resistori, Electroyou 2010.

[6] Wikipedia, Teorema delle funzioni implicite o del Dini

[7] IsidoroKZ - Sensitivity I - Definizioni e applicazioni, Electroyou 2010

[8] Nichia CO - NSPW500BS Datasheet

[9] Powell, Hesterman, Introduction to Voltage Surge Immunity Testing, IEEE PELS Denver Chapt. Meeting, Sept. 2007

[10] IsidoroKZ - Alimentatore senza trasformatore 2: La vendetta - Electroyou 2009

[11] Wikipedia Rudolph the Red-Nosed Reindeer, visitato il 21/12/2011.

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Luuunghe stringhe di led II: Alimentazione da rete?

Indice

Introduzione

Regolazione a resistenza - Corrente costante

Esempio di Progetto

Simulazione

Considerazioni

Surge

Regolazione a capacita` - Corrente pulsante

Considerazioni

Regolazione a capacita` - Corrente costante

Esempio di Progetto

Simulazione

Considerazioni

Surge

Conclusioni

Bibliografia

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