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Luuunghe stringhe di led II: Alimentazione da rete?

Indice

Introduzione

Questo articolo e` la prosecuzione del precedente [1]. La suddivisione e` per semplici motivi pratici, in modo da mantenere accettabile la lunghezza degli articoli.

In questa parte saranno analizzati i casi di regolazione della corrente a resistenza, con alimentazioe dei led a corrente praticamente costante, e poi i due casi di regolazione della corrente a condensatore, quindi con meno perdite, sia nella versione a corrente di led impulsiva che costante.

Voglio ricordare (repetita iuvant!) che non essendoci isolamento galvanico fra rete e uscita (pessima idea!), se si toccano i conduttori di uscita, i reofori dei led... SI PRENDE LA SCOSSA!

Regolazione a resistenza - Corrente costante

Un'altra idea che potrebbe venire per alimentare direttamente da rete lunghe catene di led, catene che richiedano tensioni elevate, e` di costruire un normale alimentatore in continua alimentato direttamente da rete. In pratica si tratta di prendere la tensione di rete, raddrizzarla con un ponte di diodi, livellare la tensione di uscita che quindi andra` dalle parti di 320\,\text{V}, e con questa tensione alimentare i led.

Lo schema di principio di questo circuito e` rappresentato in figura 1

Lo schema, a parte Rr, e` il classico raddrizzatore a ponte con condensatore di livellamento.

Per questi raddrizzatori la tensione di uscita ha un ripple il cui valore picco picco V_r\, e` dato da [2] eq. 4.33 p. 205.

(1)\qquad V_r=\frac{I_L}{2fC_o}

dove I_L\, e` la corrente continua assorbita dal carico, C_o\, la capacita` di filtro e f\, la frequenza di rete.

Questa relazione risolta per C_o\, permette di calcolare il valore della capacita` avendo definito il massimo ripple accettabile.

(2)\qquad C_o=\frac{I_L}{2fV_r}

La tensione media V_{C_o}\, erogata dal raddrizzatore vale ([3] eq. 17-22 p. 784):

(3)\qquad V_{C_o}=V_{pk}-\frac{I_L}{4fC_o}

Un raddrizzatore di quel genere assorbe attraverso i diodi una corrente impulsiva di valore elevato, stimabile come [4] eq. 6.17e p. 226 (notare che l'equivalente equazione di [2] eq. 4.35 p 205 e` sbagliata!)

(4)\qquad I_{pk}=I_L\pi\sqrt{\frac{2V_{pk}}{V_r}}

In realta`, se si aggiunge la resistenza R_r\,, necessaria per una minima protezione contro le sovracorrenti all'accensione e quelle causate da sovratensioni, la tensione di uscita dopo il livellamento diventa ([4] eq. 6.22 p. 230)

(5) \qquad V_{C_o}=V_{pk}\left (1-\left( \frac{\pi I_L R_r}{\sqrt{2} V_{pk}}\right)^{2/3}\right )

e sia il ripple che il picco di corrente diminuiscono. I nuovi valori possono essere stimati (calcolati mi pare una parola troppo impegnativa!) osservando la tensione (in modulo) all'ingresso del raddrizzatore, prima di R_r\, e quella sul condensatore, come mostrato nella figura 2, dove si e` trascurato il ripple sul condensatore:

L'angolo di conduzione dei diodi vale

(6)\qquad 2\alpha_c=2\arccos\left (\frac{V_{C_o}}{V_\text{pk}} \right)

La corrente di picco e` data dalla caduta di tensione su R_r\,, divisa per la resistenza stessa, vale a dire

(7)\qquad I_\text{pk}=\frac{V_\text{pk}-V_{C_o}}{R_r}

e risulta molto minore del caso senza la resistenza R_r\,

La tensione di ripple sull'uscita dipende dal tempo di scarica, cioe` dall'intervallo in cui i diodi non conducono. Il tempo di scarica vale

(8)\qquad t_s=\frac{\pi-2\alpha_c}{2\pi f}

e la tensione di ripple e` data da

(9)\qquad V_r=\frac{I_L}{C_o}t_s

La resistenza R_1\, di regolazione della corrente viene determinata con la solita legge di Ohm, come anche indicato in [5]

(10)\qquad R_1=\frac{V_{C_o}-V_\text{led}}{I_\text{led}}

dove V_{C_o}\, e` la tensione media sul condensatore dopo il ponte, V_\text{led}\, la tensione complessiva sui led e I_L=I_\text{led}\, la corrente di carico, cioe` quella assorbita dai led.

La potenza dissipata da R_1\,, lavorando praticamente in continua, e` ovviamente data da:

(11)\qquad P_{R_1}=(V_{C_o}-V_\text{led})I_\text{led}=R_1\,I_\text{led}^2\,

mentre la potenza dissipata da R_r\, viene calcolata per via numerica. La soluzione analitica ha problemi di cancellazione numerica che rendono il risultato fortemente impreciso, con errori di un fattore 2. O per meglio dire, non sono riuscito a trovare una espressione analitica utilizzabile :(

La sensibilita` della corrente di led al variare della tensione di picco richiede di trovare la derivata di una funzione implicita, che si puo` calcolare con il teorema del Dini [6] (prima volta che lo uso nella mia carriera professionale ed hobbistica!). La sensitivity relativa [7] della corrente di led rispetto alla tensione di picco risulta essere pari a

(12)\qquad S^{I_\text{led}}_{V_\text{pk}}=\frac{6V_\text{pk}-\sqrt[3]{(2\pi I_LR_r)^2 V_\text{pk}}}{6(V_\text{pk}-V_\text{led})-\sqrt[3]{(2\pi I_LR_r)^2 V_\text{pk}}}

Come e` semplice immaginare, di mano in mano che aumenta la tensione necessaria per i led, diminuisce il valore di R_1\, e aumenta la sensibilita` relativa della corrente rispetto alla tensione di rete.

Esempio di Progetto

Proviamo a sviluppare il calcolo per alimentare una stringa di 40 led bianchi, di tipo NSPW500BS [8] prodotto da Nichia. I dati nominali sono V_F=3.6\,\text{V} a I_\text{led}=20\,\text{mA}. Poiche' si lavora con corrente praticamente continua si puo` usare come modello del led semplicemente la sua caduta di tensione alla corrente nominale. La caduta complessiva dei 40 led vale quindi 40\times 3.6\,\text{V}=144\,\text{V}.

Se si progettasse il circuito senza la resistenza R_r\, si avrebbe che la tensione di uscita sarebbe circa pari alla tensione di picco. Volendo mantenere la tensione di ripple limitata a V_r=10\,\text{V} si puo` calcolare subito il valore della capacita` (eq. (2)):

(13)\qquad  C_o=\frac{I_L}{2fV_r}=\frac{20\text{mA}}{2\times 50\text{Hz}\times 10\text{V}}=20\,\mu\text{F}

Un condensatore da 22\,\mu\text{F} potrebbe essere troppo piccolo a causa delle tolleranze, tipicamente del 20%. Il valore di 27\,\mu\text{F} non e` facilmente disponibile commercialmente, e il successivo e` da 33\,\mu\text{F}, che e` piu` grande e costoso. Dato che non e` indispensabile che sia sempre V_r<10\,\text{V}, si puo` anche usare un condensatore da 22\,\mu\text{F}

Con questa scelta di capacita`, il ripple stimato (eq. (1)) sarebbe di

(14)\qquad V_r=\frac{I_L}{2fC_o}=\frac{20\text{mA}}{2\times 50\text{Hz}\times 22\mu\text{F}}=9.1\,\text{V}

e la corrente di picco ripetitivo nei diodi varrebbe (eq. (4))

(15)\qquad I_{pk}=I_L\pi\sqrt{\frac{2V_{pk}}{V_r}}=20\text{mA}\times \pi\sqrt{\frac{2\times 325\text{V}}{9.1\text{V}}}=531\,\text{mA}

Tuttavia uno dei problemi di non utilizzare la resistenza R_r\,, oltre ai picchi di corrente ripetitivi, e` l'elevatissima corrente di accensione che si avrebbe quando si accende il circuito con il condensatore C_o\, ancora scarico. Il picco di corrente e` massimo se la chiusura avviene quando la tensione di rete e` intorno al picco. Per sistemi a potenza elevata si possono usare NTC di limitazione. In questo caso e` piu` semplice inserire una resistenza in serie al ponte che, fra le altre funzioni, limiti la corrente di accensione.

Per ottenere una corrente di accensione limitata a I_\text{acc}=1\,\text{A} circa, essendo il picco di tensione pari a V_\text{pk}=325\,\text{V}, si deve utilizzare una resistenza pari a

(16)\qquad R_r=\frac{V_\text{pk}}{I_\text{acc}}=\frac{325\,\text{V}}{1\,\text{A}}=330\,\Omega.

Con questa resistenza di limitazione e un carico I_L=20\,\text{mA} la tensione media sul condensatore risulta secondo la formula (5) pari a

(17)\qquad V_{C_o}=325\text{V}\left (1-\left( \frac{\pi \times 20\text{mA}\times 330\Omega }{\sqrt{2}\times 325\text{V}}\right)^{2/3}\right )=284\,\text{V}

Con questi valori si puo` stimare la corrente di picco ripetitiva nei diodi e nel condensatore (eq. (7)):

(18)\qquad I_\text{pk}=\frac{V_\text{pk}-V_C}{R_r}=\frac{325\text{V}-284\text{V}}{330\Omega}=124\,\text{mA}

In realta` il picco sara` minore a causa della caduta sui diodi e altri fattori non considerati in questa analisi. L'angolo di conduzione in questo circuito vale (eq. (6))

(19)\qquad 2\alpha_c=2 \arccos \left ( \frac{284\text{V}} {325\text{V}} \right )=1.02\,\text{rad}=58.2^\circ

e il tempo di scarica (eq. (8)):

(20)\qquad t_s=\frac{\pi-1.02\text{rad}}{2\pi\times 50\text{Hz}}=6.77\,\text{ms}

La tensione di ripple con la resistenza R_r\, vale quindi approssimativamente (eq. (9))

(21)\qquad  V_r= \frac{20\text{mA}}{22\mu\text{F}}\times 6.77\text{ms}=6.2\,\text{V}

La resistenza R_1\, di limitazione della corrente deve valere, secondo l'eq. (10)

(22)\qquad R_1=\frac{284\text{V}-144\text{V}}{20\text{mA}}=7\,\text{k}\Omega

e dissipa una potenza media di

(23)\qquad P_{R_1}=(20\text{mA})^2\times 7\text{k}\Omega=2.8\,\text{W}

La sensibilita` relativa della corrente dei led rispetto alla tensione di picco, calcolata con l'equazione (12), vale circa 1.86\, : una variazione del 10\%\, della tensione di rete provoca una variazione di circa il 19\%\, nella corrente dei led. Minore e` la caduta di tensione sulla resistenza R_1\,, peggiore e` la stabilita` della corrente.

Simulazione

Usando il simulatore LTSpice, che contiene gia` il modello del led utilizzato, si e` provveduto a simulare il circuito sia con il modello lineare dei led, sia con il modello dei led fornito dal simulatore. Nella figura 3 e` mostrato il circuito con il modello lineare dei led.

Figura 3 - Controllo corrente resistivo, modello lineare

Figura 3 - Controllo corrente resistivo, modello lineare

Per il modello lineare si e` considerata una resistenza interna di ogni led di 10\,\Omega e una tensione di soglia pari a V_\text{s}=3.4\,\text{V}. Questi valori non sono assolutamente critici poiche' la corrente e` praticamente costante.

E` anche stato simulato il circuito senza la resistenza R_r\, per mostrare la corrente di accensione e il picco ripetitivo. Per quest'ultimo circuito e` stata ricalcolata la resistenza R_1\, poiche' la tensione media dopo i diodi e` maggiore. Il risultato ottenuto e` di R_1=8.8\,\text{k}\Omega.

Alla capacita` e` stata aggiunta una resistenza serie pari a ESR=3\,\Omega. Questa resistenza ha effetto solo nel transitorio di accensione del circuito senza la resistenza R_r\,.

Un esempio dei (tanti) grafici trovati con le simulazioni e` nella figura seguente

Figura 4 - VCo, IRr e potenza dissipata da Rr

Figura 4 - VCo, IRr e potenza dissipata da Rr

dove con partenza da spento, in verde e` rappresentata la tensione sul condensatore, in rosso la corrente assorbita dalla linea e in viola la potenza istantanea dissipata da R_r\,.

I risultati delle varie simulazioni fatte sono riportate nella tabella 1 sottostante:

TABELLA 1
Parametro Calcolo Rr=0 Calcolo Rr=330Ω Rr=0 Mod. lineare Rr=330Ω Mod. lineare 40 LED di LTSpice 43 LED di LTSpice
I media 20 mA 20 mA 19.9 mA 20.6 mA 22 mA 20.9 mA
I picco diodi 531 mA 124 mA 437 mA 103 mA 109 mA 105 mA
I accensione  ?? 1A >70 A 0.97 A .98 A .98 A
V su Co 320 V 284 319.6 V 288.8 V 287.3 V 288.6 V
V ripple 9.1 V 6.2 V 8.3 V 6.7 V 7.1 V 6.8 V
Potenza su R1 3.5 W 2.8 W 3.5 W 3 W 3.4 W 3.1 W
Potenza su Rr NA  ?? NA .56 W .64 W .58 W
Sensitivity 18% 18.6% 17.2% 17.7% 16.8% 17.2%

Le prime due colonne sono i risultati del calcolo teorico per il caso di raddrizzatore senza resistenza R_r\, e con R_r=330\,\Omega. Le successive due colonne rappresentano gli stessi parametri calcolati con il modello lineare della stringa di led. Come si puo` notare l'accordo e` decisamente buono. La colonna successiva riporta i risultati della simulazione con R_r=330\,\Omega e una stringa si 40 led, utilizzanti il modello fornito dal simulatore.

Come si puo` notare la corrente media e` sensibilmente maggiore di quella desiderata. La ragione e` che il modello di LTSpice del led utilizzato a 20\,\text{mA} ha una caduta di tensione minore di quella riportata dal data sheet. Per verificare se i conti erano giusti, si sono aggiunti tre led per protare la tensione totale sui led a circa V_\text{led} \approx 144\,\text{V}. In queste condizioni si vede che i risultati sono molto vicini al calcolo.

Non sono state fatte le simulazioni con i led e con R_r=0\,\Omega perche' e` una situazione irrealistica: se non si usa la resistenza in serie all'ingresso i componenti sono sottoposti a uno stress di corrente cosi` elevato da avere una vita limitata.

Considerazioni

Per realizzare questo circuito bisogna ancora scegliere i diodi, il condensatore, i resistori e lo schema.

Per i diodi la scelta e` facile: la corrente media del raddrizzatore e` di 20\,\text{mA}, ed essendo un ponte ogni diodo porta una corrente media di 10\,\text{mA}. La tensione inversa che ogni diodo deve poter sopportare, in condizioni normali, e` di circa 290\,\text{V} piu` la tolleranza della rete. In pratica serve almeno un diodo da 400\,\text{V}, e visto che i diodi da 1000\,\text{V} e 1\,\text{A} sono comunissimi, giusto per non fare nomi 1N4007, mi pare sia una buona scelta prendere questi diodi.

Il condensatore deve avere una capacita` di 22\,\mu\text{F} con una tensione di lavoro di 400\,\text{V}. Eventualmente puo` anche essere realizzato con due condensatori da 200\,\text{V} e 47\,\mu\text{F} in serie, con resistenze in parallelo per l'equalizzazione della tensione continua. In questo circuito la corrente efficace che attraversa il condensatore e` molto limitata, dell'ordine di poche decine di milliampere, e non stressa particolarmente il componente.

La resistenza R_1\, puo` essere convenientemente divisa in due parti, in serie ad ogni lato del ponte, come mostrato in figura 5

La ragione di questa scelta e` di proteggere il ponte e i led in caso di cortocircuito diretto della stringa verso terra. Se si ipotizza che lungo la serie un punto qualunque a valle delle resistenze possa andare in contatto diretto con la terra, la corrente media che puo` scorrere nei led e` al massimo di 35\,\text{mA}. In questa situazione i led e il ponte raddrizzatore non vengono danneggiati, e nel frattempo interviene l'interruttore differenziale.

E` anche stato aggiunto R_d\, per scaricare il condensatore, anche se e` importante solo se si apre la scatola contenente il circuito. Se si stacca la spina il condensatore C_o\, carico, a causa dei diodi del ponte, non puo` comunque mettere sotto tensione i contatti della spina.

La resistenza R_r\, oltre alla potenza media dissipata (calcolabile praticamente solo con la simulazione), deve anche poter sopportare l'energia dissipata in fase di caricamento del condensatore. Il condensatore C_o\, si carica praticamente in un ciclo della rete, accumulando una energia pari a

(24)\qquad \mathcal{E}_{C_o}=\frac{C_oV^2}{2}=\frac{22\mu\text{F}(290\text{V})^2}{2}=0.93\,\text{J}

Quando si carica un condensatore attraverso una resistenza (in questo caso R_r\,) l'energia persa nel resistore e` uguale a quella accumulata nel condensatore. La resistenza R_r\, , indipendentemente dal suo valore, dissipa circa 0.9\,\text{J} in 20\,\text{ms}, e deve essere in grado di sopportare questo stress termico, di una cinquantina di watt medi per un ciclo. La potenza istantanea in realta` e` ben piu` alta, e il picco e` di circa

(25)\qquad P=RI^2=330\Omega \times (.98\text{A})^2\approx 320\,\text{W}.

come si vede anche dalla figura 4.

La scelta di questa resistenza richiede uno studio accurato dei data sheet in modo da scegliere un componente che possa sostenere il transitorio di accensione.

Surge

La resistenza R_r\, e` anche la prima difesa contro le sovratensioni di rete causate tipicamente da fulmini (surge voltage). Queste scariche possono portare la tensione differenziale di rete a valori di oltre 1\,\text{kV}.

L'effetto di un impulso di surge sul circuito puo` essere simulato utilizzando il circuito equivalente del generatore di surge e calcolando l'energia dissipata su R_r\, e le sovratensioni in giro per il circuito, come mostrato nella figura 5.

Lo schema del generatore di surge e` tratto da [9] ed e` conforme alla normativa IEC EN61000-5-4.

La tensione transitoria sulla rete causata dal voltage surge, la corrente di ingresso e la potenza istantanea dissipata da R_r\, sono rappresentati nella figura 7

Figura 6 - Simulazione dei voltage surge

Figura 6 - Simulazione dei voltage surge

Figura 7 - Tensione, corrente e potenza durante un 1-kV surge

Figura 7 - Tensione, corrente e potenza durante un 1-kV surge

La tensione, in rosso, sale di 1\,\text{kV} sopra il valore normale, la potenza istantanea (curva viola) arriva oltre a 3\,\text{kW} ma la durata e` minore di 100\,\mu\text{s} e l'energia in gioco sulla resistenza e` minore di 100\,\text{mJ}. La corrente di ingresso, che passa anche sul condensatore C_o\, arriva a oltre 3\,\text{A}, ancora compatibile con i diodi. La tensione sul condensatore varia di circa 9\,\text{V} a causa della presenza dell'ESR.

Se non fosse presente la resistenza R_r\, i diodi verrebbero probabilmente distrutti dalla sovratensione.

Regolazione a capacita` - Corrente pulsante

La regolazione della corrente media attraverso una lunga stringa di led alimentati da rete potrebbe anche essere fatta usando un condensatore, che rispetto alla resistenza ha il vantaggio di non dissipare potenza. Oltre al risparmio energetico, la minore dissipazione consente di mettere il circuito di alimentazione in una scatola piu` piccola, poiche' non e` necessasio dissipare calore. L'analisi di questo circuito, riportato nella figura seguente, e` stata fatta in un precedente articolo [10]

Anche in questo caso si puo` definire un coefficiente per rendere piu` maneggevoli le espressioni in questo modo: k_n=\frac{V_\text{led}}{V_\text{pk}}. Da notare che a differenza di k_s\, usato nell'articolo precedente, qui la tensione considerata non e` quella di soglia ma quella nominale del led (non e` che in pratica cambi molto).

L'equazione (7b) dell'articolo [10], permette di calcolare il valore della capacita` per ottenere la corrente media I_\text{led}\, dsiderata attraverso i led, conoscendo la tensione complessiva V_\text{led}\, su tutta la stringa e la tensione di picco della rete. Trascurando la caduta di tensione sul ponte di diodi si ha:

(26)\qquad  C_1=\frac{I_\text{led}}{4f(V_\text{pk}-V_\text{led})}=\frac{I_\text{led}}{4fV_\text{pk}(1-k_n)}

L'espressione della corrente di picco, supponendo sinusoidale la forma d'onda della tensione di rete, cambia a seconda dell'intervallo in cui si trova il coefficiente k_n\,

(27)\qquad \begin{cases} k_n<0.5\qquad &I_\text{pk}=V_\text{pk}2\pi f C_1\\
k_n>0.5 \qquad &I_\text{pk}=V_\text{pk}4 \pi f C_1 \sqrt{k_n(1-k_n)}
\end{cases}

e sostituidendo il valore di C_1\, si ottiene

(28)\qquad \left \{ \begin{align} k_n<0.5\qquad &I_\text{pk}=I_\text{led}\frac{\pi}{2(1-k_n)}\\
k_n>0.5 \qquad &I_\text{pk}=I_\text{led}\frac{\pi\sqrt{k_n}}{\sqrt{1-k_n}}
\end{align}
\right .

Gia` con k_n=0.5\, la corrente di picco attraverso i led e` oltre il triplo di quella media. Prima di proseguire calcolando la corrente efficace, sensitivity... bisogna fare una osservazione importante. Il valore della corrente di picco e` stato trovato supponendo che la tensione di rete sia sinusoidale. Purtroppo questa e` una ipotesi non vera, sia a causa dei voltage surge sulla linea, e sia soprattutto perche' il circuito viene acceso e durante la fase di accensione la tensione di ingresso puo` avere un gradino che viene derivato dal condensatore dando origine a una corrente molto elevata.

Per rientrare entro il limite massimo di corrente dei led, si dovrebbe mettere in serie al condensatore una resistenza R_r\, di valore

(29) \qquad R_r=\frac{V_\text{pk}-V_\text{led}}{I_\text{ledMAX}}

Assumendo una tensione di led di circa 144\,\text{V} e una corrente massima di 100\,\text{mA} sarebbe necessaria una resistenza da circa 1800\,\Omega. Una resistenza di questo genere richiederebbe di alzare un pochino il valore della capacita`, ma soprattutto causerebbe una relativamente elevata dissipazione di potenza, dell'ordine di un paio di watt, rendendo inutile l'uso di un condensatore per ridurre le perdite.

Considerazioni

Il circuito con alimentazione impulsiva e controllo della corrente mediante condensatore non e` una soluzione percorribile: i condensatori fanno passare una corrente proporzionale alla derivata della tensione, e in transitorio il picco di corrente sarebbe inaccettabile. Una resistenza per limitare questo transitorio dissiperebbe parecchio, rendendo non attrattiva la soluzione a condenatore. Per questa ragione non riporto conti, formule, simulazioni... ma comunque le ho fatte :)

Regolazione a capacita` - Corrente costante

Il problema della soluzione con regolazione a capacita` e corrente impulsiva e` che le variazioni rapide di tensione in rete provocano elevate sovracorrenti nella catena di led. Per risolvere il problema e` possibile mettere un condensatore elettrolitico all'uscita del ponte, in modo che costituisca un percorso a bassa impedenza per le sovracorrenti. Lo schema della regolazione a capacita` con corrente nei diodi (quasi) costante e` nella figura 9.

La presenza del condensatore C_o\, non cambia il valore della corrente media in uscita dal ponte, mentre la resistenza R_r\, inserita per proteggere il ponte da sovracorrenti, e` di valore abbastanza basso da non cambiare in modo significativo l'effetto del condensatore C_1\,.


Il condensatore C_1\, , trascurando le cadute sui diodi, si carica ad ogni semiperiodo a una tensione pari a

(30) \qquad V_{C_1}=\pm V_\text{pk}(1-k_n)\,

Al solito si e` definito k_n=V_\text{led}/V_\text{pk}\, usando la tensione dei led a corrente nominale, non quella di soglia.

Ad ogni semiciclo la tensione ai capi del condensatore cambia, in valore assoluto, di

(31)\qquad \Delta V_{C_1}=2 V_\text{pk}(1-k_n)\,

spostando una carica pari a

(32)\qquad \Delta Q=C_1 2 V_\text{pk}(1-k_n)\,

Questo spostamento di carica avviene  2f\, volte al secondo, e quindi la carica per unita` di tempo che poi e` la corrente media che passa nei led vale

(33)\qquad I_\text{led}=4fC_1 V_\text{pk}(1-k_n)\,

Da cui il valore del condensatore che da` la corrente media voluta, come era gia` stata ricavata in [10] e`

(34)\qquad  C_1=\frac{I_\text{led}}{4fV_\text{pk}(1-k_n)}

La tensione di lavoro di questo condensatore deve essere almeno di 400\,\text{V}: anche in presenza di una sovratensione breve sulla linea, la tensione ai capi di C_1\, rimane limitata.

L'angolo di conduzione dei diodi non e` simmetrico rispetto al picco della tensione sinusoidale. Se si considera come tensione di rete la funzione V_\text{pk}\sin(\varphi)\,, trascurando la resistenza R_r\, la corrente sara` data dalla derivata della tensione moltiplicata per la capacita`, ma scorrera` solo a partire dall'angolo \varphi=\arcsin(2k_n-1)\, fino all'angolo \varphi=\pi/2\,, come rappresentato nella figura 10:

e quindi l'angolo di conduzione totale vale

(35)\qquad \alpha_c=-\arcsin(2k_n-1)+\frac{\pi}{2}=\arccos(2k_n-1)

Il valore di picco della corrente e` lo stesso di quello calcolato per il caso impulsivo: in entrambe le situazioni la tensione dopo il ponte, quando i diodi conducono, puo` essere considerata costante, di valore V_\text{led}=k_nV_\text{pk}\,

(36)\qquad \left \{
\begin{align} k_n<0.5\qquad I_\text{pk}&=I_\text{led}\frac{\pi}{2(1-k_n)}\\
k_n>0.5 \qquad I_\text{pk}&=I_\text{led}\frac{\pi\sqrt{k_n}}{\sqrt{1-k_n}}
\end{align}
\right .

Il valore efficace della corrente assorbita dalla rete, facendo l'ipotesi di piccolo ripple di tensione in uscita, dopo tanti noiosi conti, ha l'andamento mostrato in figura 11

Figura 11 - Rapporto corrente efficace rete/corrente led

Figura 11 - Rapporto corrente efficace rete/corrente led

e puo` essere approssimata per 0<k<0.67\, con questa espressione:

(37)\qquad I_\text{rms}=I_\text{led}(1.11+0.977k_n)\,

La resistenza R_r\, serve per proteggere i diodi dalla corrente di accensione e tutto il sistema dalle sovratensioni di rete, funzione in questo caso particolarmente importante a causa dell'azione derivativa del condensatore.

Se si vuole limitare la corrente di accensione a un valore prefissato I_\text{acc}\, che non danneggi i diodi e il condensatore di livellamento, si usa la stessa tecnica gia` mostrata per la regolazione a resistenza e alimentazione in continua:

(38)\qquad R_r=\frac{V_\text{pk}}{I_\text{acc}}

e la potenza dissipata a regome da questa resistenza e` calcolabile con la corrente efficace il cui valore e` dato dall'eq (37) o dalla figura 11.

I diodi sono sottoposti alla solita corrente media pari alla meta` della corrente dei led, la tensione inversa vista e` quella dei led, anche in caso di surge la tensione inversa sui diodi rimane limitata.

Il condensatore C_o\, all'uscita del ponte non e` un vero e proprio condensatore di livellamento, ma serve principalmente per fornire un percorso a bassa impedenza ai picchi di corrente che arrivano dai diodi a causa di transitori sulla rete. Il valore di C_o\, non influenza la corrente media che circola nei led, ma puo` farli lavorare con tensione piu` livellata, vale a dire con accensione continua e quindi con corrente efficace minore.

Per proteggere i led dal transitorio di accensione basterebbe un condensatore relativamente piccolo, di valore

(39)\qquad C_o=C_1\, \frac{1-k_n}{k_n}

Con questo condensatore pero` non si protegge il circuito dai voltage surge, e la corrente mandata ai led e` impulsiva. Una possibile strategia di progetto e` scegliere il condensatore C_o\, per controllare il ripple della tensione di uscita e poi verificare che questo condensatore, con la sua ESR, sia una buona difesa contro i voltage surge.

In questo caso non e` possibile usare le formule semplici per il ripple di un raddrizzatore, in quanto l'alimentazione del ponte e` fatta attraverso il condensatore C_1\, e l'angolo di conduzione e` molto piu` lungo rispetto al caso elementare. Dato che si conosce l'angolo di conduzione \alpha_c\,, si puo` ipotizzare che quando i diodi non conducono ci sia la scarica a corrente costante pari a I_\text{led}\, attraverso la capacita` di uscita. La tensione di ripple risulta quindi

(40)\qquad V_r=\frac{I_\text{led}}{C_o} \,\frac{\pi-\alpha_c}{2\pi f}=\frac{I_\text{led}}{C_o}\, \frac{\arccos(1-2k_n)}{2\pi f}

I led hanno una caratteristica corrente-tensione circa esponenziale, con bassa resistenza dinamica, e quindi anche un relativamente piccolo ripple sulla tensione di alimentazione da` un ripple di corrente elevato. Scegliendo un valore per la tensione di ripple, la capacita` necessaria risulta essere circa:

(41)\qquad C_o=\frac{I_\text{led}}{2\pi f V_r}\arccos(1-2k_n)

Il rendimento di questo circuito e` elevato, avendo usato una regolazione di corrente capacitiva. La sola potenza dissipata, a parte quella dei diodi, e` quella della resistenza R_r\,. Non si puo` dare una formula semplice per il rendimento finche' non si determina il valore di R_r\,.

La sensibilita` relativa della corrente media del led al variare della tensione di picco vale

(42)\qquad S^{I_\text{led}}_{V_\text{pk}}=\frac{1}{1-k_n}

e come al solito aumenta abbastanza drasticamente quando k_n\, comincia a salire sopra il valore di 0.6 circa.

Esempio di Progetto

Dimensioniamo ora un alimentatore fatto con la tecnica della regolazione di corrente con condensatore per i soliti 40 led bianchi, con una corrente di led I_\text{led}=20\,\text{mA} e una tensione totale alla corrente nominale di V_\text{led}=144\,\text{V}. Il rapporto di tensione led diviso tensione di picco vale

(43)\qquad k_n=\frac{144\text{V}}{325\text{V}}=0.443

Il condensatore C1 limita la corrente media assorbita dai led, e lo si calcola secondo l'equazione (34):

(44) \qquad C_1=\frac{20\text{mA}}{4\times 50\text{Hz}\times 325\text{V}(1-0.433)}=552\,\text{nF}

Come gia` detto in precedenza, la tensione di lavoro di questo condensatore, che sara` scelto da 560\,\text{nF} senza preoccuparsi troppo delle tolleranze, e` opportuno che sia di almeno 400\,\text{V} per sopravvivere al cortocircuito del ponte raddrizzatore. La corrente di picco nei diodi, condensatore di ingresso, resistenza di ingresso dall'equazione (36) primo caso, risulta essere:

 (45) \qquad I_\text{pk}=20\text{mA}\frac{\pi}{2(1-0.443)}=56.4\,\text{mA}

e l'angolo di conduzione, per i piu` curiosi, e` (eq. (35))

(46) \qquad \alpha_c=\arccos(2\times 0.443-1)=1.68\,\text{rad}=96.5^\circ

La corrente efficace che circola attraverso il condensatore di ingresso vale, dall'equazione approssimata (37)

(47) \qquad I_\text{rms}=20\text{mA}(1.11+0.977\times 0.443)=30.9\,\text{mA}

La resistenza di limitazione di corrente di accensione R_r\, viene dimensionata con l'equazione (38). Supponendo di voler limitare la corrente di accensione a 1\,\text{A} si ha

(48) \qquad R_r=\frac{325\text{V}}{1\text{A}}=330\,\Omega.

L'energia che si dissipa in questa resistenza durante il transistorio di accensione e` praticamente uguale all'energia che si accumula in C_1\, durante l'accensione e vale

(49) \qquad \mathcal{E}_{C_1}=\frac{C_1V^2}{2}=\frac{560\text{nF}(325\text{V})^2}{2}=30\,\text{mJ}

e questa e` un'energia molto piu` bassa rispetto al caso di caduta resistiva e alimentazione a corrente costante (eq. (24)), perche' il condensatore da caricare e` molto piu` piccolo.

La potenza dissipata a regime da R_r\, vale

(50)\qquad P_{R_r}=R_r\,I_\text{rms}^2=330\Omega \times (30.9\text{mA})^2=0.31\,\text{W}

ed e` quindi necessario usare un resistore da almeno mezzo watt, che rispetti anche gli stress del transistorio di accensione e quelli dei voltage surge, calcolati nel seguito.

Il condensatore C_o\,, determina la tensione di ripple in uscita, con l'ipotesi di corrente di carico costante. Se vogliamo alimentare i led con un ripple di corrente non troppo elevato, dovremo scegliere un ripple di tensione dell'ordine di pochi percento della tensione totale. Ad esempio assumendo di volere una tensione picco picco di ripple V_r=5\,\text{V} , il valore di C_1\, calcolato secondo la (41) risulta essere

(51)\qquad C_o=\frac{20\text{mA}}{2\pi\times 50\text{Hz}\times 5\text{V}}\arccos(1-2\times 0.443)= 18.5\,\mu\text{F}

Si prendera` lo stesso condensatore usato in precedenza da 22\,\mu\text{F}\,. La tensione di lavoro di questo condensatore potrebbe essere anche di soli 200\,\text{V}\,, ma i dettagli verranno analizzati nel seguito.

Il rendimento del circuito puo` essere stimato conoscendo la potenza assoribita dai led, quella dissipata da R_1\, e quella dissipata dai diodi

(52a)\qquad P_\text{led}=V_\text{led}\,V_\text{led}=144\text{V}\times 20\text{mA}=2.88\,\text{W}

(52b)\qquad P_{R_1}=0.31\,\text{W}

(52c)\qquad P_\text{diodi}=2I_\text{led}\,V_D=2\times 20\text{mA}\times 0.7\text{V}=28\,\text{mW}

La caduta di tensione sui diodi e` stata assunta di 0.7\,\text{V} , anche se sono diodi di potenza, perche' funzionano a correnti veramente basse. Il rendimento e` quindi stimabile come:

(53)\qquad \eta=\frac{P_\text{led}}{P_{R_1}+P_\text{led}+P\text{diodi}}=89\,%

La sensibilita` della corrente media rispetto alle variazioni di tensione di alimentazione, da (42) risulta essere di 1.8\, volte circa, quindi una variazione del 10\%\, della tensione di rete causa una variazione del 18\%\, circa della corrente media dei led.

Simulazione

La simulazione del circuito progettato e` stata fatta sia usando il modello lineare dei led, che la stringa di led veri e proprii. Si sono simulate due stringhe, una da 40 led e una da 43 led per compensare il fatto che il led di LTSpice non rispetta i valori tipici del data sheet [8].

Il circuito con modello lineare dei led e` mostrato in figura 12

Figura 12 - Regolazione a C, corrente costante, circuito

Figura 12 - Regolazione a C, corrente costante, circuito

Le forme d'onda a regime risultanti da questo circuito sono mostrate in figura 13

Figura 13 - Forme d

Figura 13 - Forme d'onda

In verde e` rappresentata la tensione sul condensatore di uscita C_o\, con un ripple V_r=4.4\,\text{V}, in rosso la corrente attraverso i led "linearizzati", che ha un valore medio di I_\text{led}=19.9\,\text{mA} ma con una variazione picco picco di quasi 11\,\text{mA}. Infine in blu e` rappresentata la corrente assorbita dalla linea, con valore di picco di 55.2\,\text{mA} e valore efficace I_\text{rms}=29.5\,\text{mA}.

I risultati delle varie simulazioni, sia a regime che in transitorio di accensione, sono mostrati in tabella 2.

TABELLA 2
Parametro Calcolo Mod. lineare 40 LED di LTSpice 43 LED di LTSpice
I media led 20 mA 19.9 mA 21.2 mA 20.1 mA
I max led -- 24.7 mA 24.9 mA 23.4 mA
I min led -- 13.8 mA 16.8 mA 16.2 mA
I picco C1 56.4 mA 55.1 mA 55.6 mA 55.3 mA
I accensione 1 A 0.96 A 0.96 A 0.96 A
V su Co 144 V 144.6 V 132.5 V 141.8 V
V ripple 5 V 4.4 V 4.6 V 4.5 V
Potenza su Rr 0.31 W 0.29 W .31 W 0.29 W
Efficienza 89% 90% 89.3% 90%
Sensitivity 18% 17.3% 16.3% 17.3%

Ancora una volta si vede che i conti fatti con il modello approssimato, trascurando alcuni fenomeni e approssimando qua e la` da` degli ottimi risultati.

Considerazioni

Anche per questo circuito i diodi possono essere i soliti da  1000\,\text{V} anche se non dovrebbero mai raggiungere quelle tensioni.

Il condensatore C_1\, potrebbe essere suddiviso in due capacita`, in serie a ciascun lato del ponte, per ragioni di protezione, analoghe a quanto visto nell'articolo precedente [1].

In realta` in questo caso l'operazione non e` molto conveniente, sia in termini di prestazione che di costo. Se si mettono due condensatori, uno per ramo di ingresso, come in figura 14, suddividendo anche la resistenza si ha questo schema:

Una soluzione del genere richiede due condensatori di capacita` doppia, e tensione di lavoro pari a 400\,\text{V} per sopravvivere a possibili guasti verso terra. In caso di guasto verso terra, la corrente media nei led sale a circa 30\,\text{mA}, quella di picco puo` superare i 120\,\text{mA}, mentre le due resistenze che formano R_r\, possono arrivare a dissipare oltre 1\,\text{W}.

L'inconveniente di questa soluzione e` che i condensatori diventano di capacita` doppia ma non si riduce la loro tensione di lavoro. E` da considerare se usare due grossi condensatori, mettere due fusibili oppure affidarsi all'interruttore differenziale.

Il condensatore di uscita C_o\, lavora normalmente con tensione pari a quella dei led, 144\,\text{V} circa, e quindi un condensatore da 200\,\text{V} oppure da 250\,\text{V} e` adeguato. Se pero` si apre la catena di led (contatto che si apre, led che si guasta, Rudolph (the red-nosed reindeer [11]) inciampa nel cavo e lo strappa, la tensione sul condensatore C_o\, sale fino alla tensione di picco della rete. Se si vuole avere la sopravvivenza a questo tipo di guasto, e` necessario che i condensatori abbiano una tensione di lavoro di 400\,\text{V}

Surge

Anche con la soluzione a condensatore e` opportuno verificare se il circuito riesce a sopravvivere alle sovratensioni di rete. La presenza della resistenza R_r\, insieme con il condensatore C_o\, fanno ben sperare in questo senso. E` possibile fare una stima degli stress in gioco sui led usando la semplice elettrotecnica. Per gli stress sul condensatore e resistenza di ingresso ci vuole l'elettrotecnica un po' piu` complicata, e la lascero` al simulatore.

L'impulso di voltage surge normalizzato da EN61000-5-4 per questo tipo di applicazione ha una ampiezza di 1\,\text{kV}, e una forma d'onda praticamente triangolare con tempo di salita breve, 1.2\,\mu\text{s} e tempo di discesa dell'ordine di 100\,\mu\text{s}. Se questa sorgente di tensione e` caricata da una bassa impedenza, la forma d'onda cambia notevolmente arrivando ad essere in caso di cortocircuito di 500\,\text{A} con tempistiche completamente diverse.

Dato pero` che in questo caso la resistenza R_r\, limita la corrente a \frac{1\text{kV}}{330\Omega}=3\,\text{A}, si puo` assumere che nel circuito venga iniettata la sovratensione completa di 1\,\text{kV}. La corrente di surge ha tempo di caricare parzialmente il condensatore C_1\, perche' l'impulsto ha durata dell'ordine del centinaio di microsecondi e la costante di tempo dell'RC di ingresso vale \tau=330\Omega\times 560\text{nF}=185\,\mu\text{s} comparabile con la durata dell'impulso di surge. Questo rende complicato il conto della carica del condensatore.

La corrente impulsiva da 3A passa attraverso i diodi e poi nel parallelo di C_o\, e dei led. L'impedenza massima di questo parallelo e` praticamente data dall'ESR del condensatore, in questo caso ESR=3\,\Omega . La corrente di surge che passa per C_o\, non ha il tempo di caricarlo, ma crea una sovratensione data da 3\text{A}\times 3\Omega=9\,\text{V} che va a cambiare la corrente dei diodi. Si puo` stimare che la serie dei diodi abbia una resistenza differenziale dell'ordine 10\Omega\times 40=400\,\Omega e quindi la variazione di corrente attraverso i led potrebbe essere dell'ordine di 22\,\text{mA} ancora sopportabile dai led.

I conti dettagliati, compresi la tensione ai capi di C1, l'energia dissipata da R_r\, anche se fattibili a mano, e` meglio lasciarli calcolare al simulatore.

Il circuito simulato per il voltage surge e` mostrato in figura 15

Figura 15 - Circuito verifica voltage surge

Figura 15 - Circuito verifica voltage surge

Simulando il circuito si ottengono queste forme d'onda:

Figura 16 - Tensione e corrente di surge

Figura 16 - Tensione e corrente di surge


In blu e` rappresentata la corrente di ingresso, che arriva fino a 3\,\text{A} circa, in rosso la tensione ai capi dei diodi: si vede che c'e` una discontinuita` di 9\,\text{V} circa. La curva piu` interessante e` quella verde, che mostra la tensione ai capi del condensatore C_1\, che arriva dopo il surge fino a 345\,\text{V} : anche per questa ragione e` necessario che questo condensatore abbia una tensione di lavoro elevata.

La figura 17 mostra la tensione ai capi dei led, la corrente dei led e la potenza istantanea dissipata da R_r\,

Figura 17 - Tensione e corrente sui led

Figura 17 - Tensione e corrente sui led

La traccia verde e` la tensione complessiva sui led, con il suo ripple. In corrispondenza del surge sale di 9\,\text{V}. La traccia rossa e` la corrente nei led: la corrente di picco sale istantaneamente fino verso i 40\,\text{mA} circa, per tornare in alcuni cicli ai valori normali. La traccia blu e` la potenza istantanea dissipata da R_r\,, che arriva a oltre 2.7\,\text{kW}, e l'energia dissipata e` di circa 60\,\text{mJ}, maggiore di quella dissipata in transitorio di accensione. Scegliendo una resistenza in grado di sopportare questa energia si ha la protezione del circuito dai voltage surge, ma l'aggiunta di un TVS sull'ingresso e` fortemente consigliata, anche perche' le simulazioni dei comportamenti con sovratensioni non sono precise, dato che non vengono modellate le induttanze parassite e altri elementi parassiti.

Conclusioni

Sono stati esaminati 4 possibili circuiti per l'alimentazione diretta da rete di lunghe file di led. Di questi quattro circuiti, uno non e` praticamente utilizzabile (regolazione a condensatore, corrente impulsiva), gli altri tre invece potrebbero essere usati a patto di sapere esattamente che cosa si sta facendo e di fare il dimensionamento corretto. Le due versioni con alimentazione a corrente costante hanno dei vantaggi di minori stress sui led, e la versione con regolazione a condensatore, l'ultima presentata, ha l'ulteriore vantaggio di dissipare pochissima potenza nel raddrizzatore.

Forse meglio ripetere: QUESTI CIRCUITI NON SONO ISOLATI DALLA RETE! solo prendendo tutte le precauzioni e` possibile costruirli e utilizzarli, ma e` comunque sempre una pessima idea usare circuiti non isolati.

Bibliografia

[1] IsidoroKZ - Luuunghe stringhe di led: Alimentazione da rete?, Electroyou Dic. 2011

[2] Sedra/Smith, Microelectronics Circuits, Sixth ed. 2010, Oxford University Press.

[3] Millman Grabel, Microelectronics, Second Ed. 1987, Mc Graw-Hill

[4] Gray, Searle, Eelctronic Principles, Physics, Models and Circuits, Wiley 1969

[5] IsidoroKZ - Stringhe di led I - Alimentazione con resistori, Electroyou 2010.

[6] Wikipedia, Teorema delle funzioni implicite o del Dini

[7] IsidoroKZ - Sensitivity I - Definizioni e applicazioni, Electroyou 2010

[8] Nichia CO - NSPW500BS Datasheet

[9] Powell, Hesterman, Introduction to Voltage Surge Immunity Testing, IEEE PELS Denver Chapt. Meeting, Sept. 2007

[10] IsidoroKZ - Alimentatore senza trasformatore 2: La vendetta - Electroyou 2009

[11] Wikipedia Rudolph the Red-Nosed Reindeer, visitato il 21/12/2011.

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Commenti e note

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di ,

Complimenti vivissimi per questi 2 articoli che li considero come dei CAPOLAVORI!!!

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di ,

Questi due articoli sono da convertire in PDF, stamparli e leggerli con calma! Sono due concentrati di informazioni eccezionali. Complimenti!

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di ,

Uso LTSpice, mi sembrava di averlo citato, se non l'ho fatto lo aggiungo. Per l'altra domanda, falla sul forum.

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di ,

Che simulatore usi?

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di ,

Complimenti Isidoro, stai svelando ogni segreto dell'alimentazione dei diodi led con la tensione di Rete.

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