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Indice

1 1. Classificazione dei sistemi di controllo
2 2. Errori di regolazione a regime per riferimenti non costanti
3 3. Due semplici esempi
- 3.1 Esempio 1
- 3.2 Esempio 2
4 4. Scelta del guadagno statico di anello in un regolatore
5 5. Cenni sulla sensitività

1. Classificazione dei sistemi di controllo

Nella Parte I di questa trattazione, abbiamo considerato sistemi di controllo automatico caratterizzati da funzioni di trasferimento esenti da poli nell'origine, quindi tali che:

$\lim_{s \to 0 }G(s)=K\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]$

Questi sistemi sono classificati come tipo zero poiché la f.d.t. che li descrive presenta zero poli nulli.
Possiamo formalizzare quanto appena detto considerando la forma generale di una f.d.t.:

$G(s)=\frac{K(1+\tau _{1}s)(1+\tau _{2}s)...(1+\tau _{m}s)}{s^{\rho }(1+T_{1}s)(1+T_{2}s)...(1+T_{n-\rho }s)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]$

da cui è evidente che un sistema è classificabile come tipo ρ se la sua f.d.t. presenta poli nell'origine di ordine ρ; poiché nella pratica molto raramente si incontrano sistemi di ordine superiore al secondo, in questa trattazione considereremo soltanto sistemi di tipo 1 e di tipo 2, caratterizzati quindi da poli nulli del primo e del secondo grado, rispettivamente.
I sistemi più diffusi in ambito industriale sono quelli di tipo 0 e di tipo 1; quest'ultimi sono rappresentabili mediante la seguente forma compatta della f.d.t.:

$G(s)=\frac{K}{s}G^{'}(s)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[3]$

in cui:

$\lim_{s \to 0 }G^{'}(s)=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[4]$

Si può alternativamente dire che i sistemi di tipo 1 presentano un elemento integratore nella catena di regolazione; è noto infatti dalla teoria della trasformata di Laplace, che l'operazione matematica di integrazione è rappresentata da una divisione per la variabile complessa s.
Schematicamente possiamo rappresentare un sistema di tipo 1 come segue (la f.d.t. del blocco di retroazione si assume costante, in quanto è tale in molte applicazioni reali):

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Nel caso dei regolatori, la grandezza controllata C(s) è legata al riferimento R(s) dalla relazione:

$C(s)=R(s)\frac{\frac{K}{s}G^{'}(s)}{1+\frac{K}{s}G^{'}(s)H}=R(s)\frac{KG^{'}(s)}{s+KHG^{'}(s)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[5]$

Essendo il segnale d'ingresso costante, la sua trasformata di Laplace è della forma $\frac{R}{s}$ , per cui la [5] è ulteriormente semplificabile come segue:

$C(s)=\frac{R}{s}\frac{KG^{'}(s)}{s+KHG^{'}(s)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[6]$

A transitorio esaurito, applicando il teorema del valore finale alla [6], otteniamo:

$C=\lim_{s \to 0 }s\frac{R}{s}\frac{KG^{'}(s)}{s+KHG^{'}(s)}=\frac{R}{H}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[7]$

avendo applicato la [4]. In altri termini, indipendentemente dal valore di K, in condizioni di regime permanente, la grandezza controllata C assume il valore teorico $C_0=\frac{R}{H}$ , per cui sia l'errore di regolazione che il segnale differenza D si annullano.
Quanto detto può essere compreso pensando che quando s converge all'origine, il guadagno statico di anello, per effetto del polo nell'origine a denominatore, diverge ad infinito; analogamente si può vedere che un disturbo Δ, agente in prossimità dall'uscita e quindi a valle dell'elemento integratore, viene completamente annullato dalla regolazione. A tal proposito, riprendendo l'Esempio 1 della Parte I, se avessimo considerato piuttosto che un sistema di tipo 0 un sistema di tipo 1, essendo per quest'ultimi $\lim_{s \to 0 }G(s)H(s)=\infty$ , a causa del polo unitario della G(s), l'effetto del disturbo non sarebbe stato semplicemente attenuato di un fattore $\frac{1}{1+KH}$ , ma addirittura eliminato del tutto.
Quanto detto è estendibile, in blocco, ai sistemi di tipo 2.

2. Errori di regolazione a regime per riferimenti non costanti

Prima di imbatterci in questo argomento, facciamo un breve punto della situazione. Fino ad ora abbiamo considerato, talvolta senza esplicitarlo effettivamente, sistemi di regolazione o regolatori, ovvero sistemi in grado di ponderare l'azione di controllo basandosi sul segnale ottenuto dalla comparazione tra un riferimento R costante ed un segnale di retroazione riportato dalla catena inversa. Abbiamo visto inoltre che il segnale errore per i sistemi di tipo 0 ha espressione $\frac{C_0}{1+KH}$ quindi è dipendente dal guadagno statico di anello; per i sistemi di tipo 1 e di tipo 2 tale errore si annulla completamente. Anche l'effetto sui disturbi additivi costanti è di tipo attenuante, per i sistemi di tipo 0, e totalmente filtrante per quelli di ordine superiore.
Cosa succede a regime se invece di considerare riferimenti (o disturbi) costanti, considerassimo segnali di riferimento tempo variabili secondo una precisa legge? Succede che qualcosa cambia perché non stiamo più parlando di regolatori, bensì di sistemi di asservimento o servosistemi: in essi la grandezza controllata deve seguire la legge di variazione temporale con la quale evolve l'ingresso. Anche in questo caso, il nostro scopo è quello di analizzare questo "inseguimento" una volta esaurito il transitorio. Un esempio di sistema asservito può essere il dispositivo di puntamento di un plotter, dove il movimento (posizione) della penna deve seguire l'andamento del segnale elettrico che deve essere registrato.
In base all'andamento della sollecitazione applicata e al tipo di asservimento considerato, vedremo come la grandezza controllata C (o semplicemente la risposta) possa discostarsi con un certo errore dalla caratteristica temporale del riferimento, una volta raggiunta la condizione di regime permanente; vedremo anche quali valutazioni bisogna fare per minimizzare il più possibile tale condizione, ottimizzando di fatto l'azione di controllo.
Supponiamo quindi di applicare come segnale di riferimento ad un sistema di controllo un segnale a rampa di pendenza A:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La sua trasformata di Laplace vale quindi $\frac{A}{s^2}$ , mentre la t.d.L. della grandezza controllata risulta:

$C(s)=R(s)\frac{G(s)}{1+HG(s)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[8]$

a fronte di un valore teorico pari ad $\frac{R(s)}{H}$ . Si definisce errore statico la differenza tra il segnale ideale desiderato in uscita dal sistema e la risposta realmente ottenuta, valutato per $t \to \infty$ , quindi a transitorio esaurito:

$e(\infty)=\lim_{t \to \infty }[y_{0}(t)-y(t)]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[9]$

che, grazie al teorema del valore finale, è valutabile nel dominio della variabile complessa s come segue:

$E(s)=C_{0}-C(s)=R(s)\left [ \frac{1}{H}-\frac{G(s)}{1+HG(s)} \right ]=\frac{A}{s^{2}}\frac{1}{H[1+HG(s)]}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[10]$

per cui:

$e(\infty )=\lim_{s \to 0 }s\frac{A}{s^{2}}\frac{1}{H[1+HG(s)]}=\lim_{s \to 0 }\frac{A}{s}\frac{1}{H[1+HG(s)]}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[11]$

Analizziamo attentamente l'ultimo limite della [11]; se il sistema considerato è di tipo 0, sappiamo che $\lim_{s \to 0}G(s)=K$ per cui il limite calcolato tende a infinito, in quanto nell'origine si verifica che $\frac{A}{s} \to \infty$ mentre il termine $\frac{1}{H[1+HG(s)]}$ converge ad un valore costante. E' evidente perciò che un sistema di tipo 0 risponde ad un segnale d'ingresso a rampa con un errore che cresce indefinitamente nel tempo, quindi se da un lato è adatto per una regolazione (mantenere costante la grandezza regolata) dall'altro è sconsigliabile per un asservimento (la grandezza controllata non segue l'andamento del riferimento):

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

In un sistema di tipo 1, ricordando la [3] e sostituendo nella [11] abbiamo un errore statico pari a:

$e(\infty )=\lim_{s \to 0}\frac{A}{s}\frac{1}{H\left [1+\frac{HKG^{'}(s)}{s} \right ]}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[12]$

con $\lim_{s \to 0}G^{'}(s)=1$ ; sviluppando la [12] si ha:

$e(\infty )=\lim_{s \to 0}\frac{A}{sH+H^{2}KG^{'}(s)}=\frac{A}{H^{2}K}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[13]$

dove appare evidente la convergenza dell'errore a regime ad un valore costante inversamente proporzionale al guadagno della G(s). In un sistema di tipo 1, pertanto, la grandezza regolata è in grado di seguire il segnale di comando a rampa a meno di un errore statico finito. La Fig.4 rappresenta temporalmente quanto appena esposto:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Se il sistema è di tipo 2, la f.d.t. presenta un polo nell'origine del secondo ordine e può scriversi nella seguente forma compatta:

$G(s)=\frac{K}{s^{2}}G^{'}(s)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[14]$

dove risulta ancora $\lim_{s \to 0}G^{'}(s)=1$ ; sviluppando i calcoli, si ha:

$e(\infty )=\lim_{s \to 0}\frac{A}{s}\frac{1}{H\left [1+\frac{HK}{s^{2}}G^{'}(s) \right ]}=\lim_{s \to 0}\frac{A}{sH+\frac{H^{2}K}{s}G^{'}(s)}=$
$=\lim_{s \to 0}\frac{As}{s^{2}H+H^{2}KG^{'}(s)}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[15]$

E' chiaro quindi che in un sistema di tipo 2 la grandezza controllata non solo è in grado di seguire l'andamento del riferimento a rampa, ma lo fa con un errore statico nullo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Se adesso consideriamo un riferimento di tipo parabolico, avente forma d'onda $r (t) = A t 2$ e t.d.L. pari a $\frac{2A}{s^3}$ , ripetendo gli stessi passaggi svolti sopra, si ottengono i seguenti errori statici:

$e(\infty)=\infty$ per i sistemi di tipo 0 e di tipo 1;

$e(\infty)=\frac{2A}{H^2K}$ per i sistemi di tipo 2.

Graficamente:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Per completezza, definiamo quanto segue:

$k_{p}=\lim_{s \to 0}G(s)$ è definita costante di posizione;

$k_{v}=\lim_{s \to 0}sG(s)$ è definita costante di velocità;

$k_{a}=\lim_{s \to 0}s^2G(s)$ è definita costante di accelerazione.

Supponendo un sistema con retroazione unitaria (H=1), sostituendo queste definizioni alle precedenti espressioni ricavate per gli errori statici otteniamo, relativamente ai tre ingressi canonici trattati (non unitari per considerare il caso più generale):

$e_{1}(\infty )=\frac{A}{1+k_{p}}$ per un ingresso avente forma d'onda pari a

r (t) = A u (t)

;

$e_{2}(\infty )=\frac{A}{k_{v}}$ per un ingresso avente forma d'onda pari a

r (t) = A r (t)

;

$e_{3}(\infty )=\frac{A}{k_{a}}$ per un ingresso avente forma d'onda pari a

r (t) = A p (t)

.

I risultati ottenuti sono riepilogati nella tabella seguente:

tabella_risultati.JPG

3. Due semplici esempi

Esempio 1

Per il sistema raffigurato di seguito:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

determinare:

a) il tipo;

b) i coefficienti di posizione, velocità ed accelerazione;

c) l'errore a transitorio esaurito per un ingresso a gradino unitario, a rampa unitaria, parabolico unitario e parabolico con coefficiente pari ad 8;

d) l'errore a transitorio esaurito per il riferimento $R(s)=\frac{8}{s^{2}}+\frac{2}{s^{3}}$

a) Calcoliamo la funzione di anello aperto: i tre blocchi sono in cascata per cui la f.d.t. della linea d'azione diretta è uguale al prodotto delle rispettive f.d.t.; essendo poi la f.d.t. della linea di retroazione unitaria, sviluppando i calcoli si ha:

$G(s)H(s)=\frac{20(s+3)(s+4)}{s^{2}(s+5)}$

Il sistema è quindi classificabile di tipo 2, avendo un polo del secondo ordine nell'origine.
b) Le costanti richieste valgono:

$k_{p}=\lim_{s \to 0}G(s)=\lim_{s \to 0}\frac{20(s+3)(s+4)}{s^{2}(s+5)}=\infty$
$k_{v}=\lim_{s \to 0}sG(s)=\lim_{s \to 0}s\frac{20(s+3)(s+4)}{s^{2}(s+5)}=\infty$
$k_{a}=\lim_{s \to 0}s^{2}G(s)=\lim_{s \to 0}s^{2}\frac{20(s+3)(s+4)}{s^{2}(s+5)}=\frac{20\cdot 3\cdot 4}{5}=48$

c) Gli errori statici per i segnali di riferimento applicati valgono:

u(t), $e_{1}(\infty )=\frac{1}{1+k_{p}}=0$

r(t), $e_{2}(\infty )=\frac{1}{k_{v}}=0$

p(t), $e_{3}(\infty )=\frac{1}{k_{a}}=\frac{1}{48}$

8p(t), $e_{4}(\infty )=\frac{8}{k_{a}}=\frac{1}{6}$

d) Analizzando il segnale di riferimento proposto, ci rendiamo conto che esso è già combinazione lineare dei due segnali di cui abbiamo già calcolato gli errori statici corrispondenti; nella fattispecie $\frac{8}{s^2}$ è esattamente la t.d.L. della rampa con coefficiente 8 e $\frac{2}{s^3}$ è la t.d.L. del segnale parabolico unitario. Abbiamo quindi:

$e(\infty )=8e_{2}(\infty )+e_{3}(\infty )=8\cdot 0+\frac{1}{48}=\frac{1}{48}$

Esempio 2

Per il sistema rappresentato di seguito:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

avente f.d.t. della linea d'azione diretta pari a $G(s)=\frac{K(s+3)}{s(s+2)(s+6)}$ , determinare quel valore del guadagno corrispondente ad un errore statico pari a 0,2 quando il segnale di riferimento è una rampa unitaria.
Sappiamo che l'errore a transitorio esaurito dovuto al segnale a rampa è pari a $\frac{1}{k_v}$ , si ha:

$0,2=\frac{1}{k_{v}} \Rightarrow k_{v}=5$

ed essendo $k_{v}=\lim_{s \to 0}sG(s)$ per definizione, si ha:

$5=\lim_{s \to 0}s\frac{K(s+3)}{s(s+2)(s+6)}=\frac{K\cdot 3}{12}=\frac{K}{4}$

per cui avremo un guadagno corrispondente pari a $K = 20$ .

4. Scelta del guadagno statico di anello in un regolatore

Torniamo per un attimo ai regolatori; abbiamo visto nella Parte I che il guadagno statico di anello per i sistemi di regolazione di tipo 0 è un indice di precisione dell'azione regolatrice impressa, sia per quel che riguarda lo scostamento della grandezza controllata dal suo valore ideale, sia come azione correttrice nei confronti dei disturbi additivi.
In sede di progetto, viene normalmente fissato il massimo scostamento che si è disposti a tollerare in condizioni statiche a fronte di un disturbo agente in uscita; nelle applicazioni pratiche ci si ritrova quindi a manipolare dei parametri come lo scostamento percentuale δ di C in assenza di regolazione per effetto del disturbo Δ e la massima variazione percentuale ε tollerabile in presenza di regolazione. Con questi due dati si può determinare il guadagno statico minimo per ottenere una regolazione adeguata; vediamo come ricavarlo. In assenza di regolazione si ha:

$\Delta =\frac{\delta C}{100}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[16]$

mentre in presenza di regolazione, per quanto ottenuto nella Parte I, possiamo scrivere:

$\frac{\Delta }{1+KH}=\frac{\varepsilon C}{100}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[17]$

Sostituendo la [16] nella [17] si ha:

$\frac{\delta C/100}{1+KH}=\frac{\varepsilon C}{100}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[18]$

otteniamo il minimo valore del guadagno statico di anello:

$KH=\frac{\delta -\varepsilon }{\varepsilon }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[19]$

In pratica il valore di H viene fissato dipendentemente dai valori disponibili del riferimento, secondo la relazione approssimata:

$H\approx \frac{R}{C}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[20]$

per cui si ricava il valore minimo del guadagno statico K da imporre al blocco della linea d'azione diretta in modo da assicurare la precisione di regolazione richiesta:

$KH=\frac{\delta -\varepsilon }{\varepsilon }\cdot \frac{1}{H}\approx \frac{\delta -\varepsilon }{\varepsilon }\frac{C}{R}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[21]$

Normalmente, nelle fasi di dimensionamento del sistema, ci si mantiene sopra un certo margine di sicurezza considerando un incremento di K del 26% circa.

5. Cenni sulla sensitività

Come anticipa il titolo, questo ultimo paragrafo vuole essere una piccola integrazione di quanto anticipato, ma non approfondito nella Parte I, nel merito dei disturbi di tipo parametrico. Per approfondire adeguatamente l'argomento rimando ad altri ottimi articoli presenti qui su ElectroYou o a qualche riferimento bibliografico reperibile in rete.
Una misura della dipendenza delle caratteristiche di un sistema di controllo preso nella sua totalità, rispetto quelle di un singolo elemento della catena di regolazione, è esattamente la sensitività. Indicando con P un parametro di un elemento dell'anello di regolazione e con G' la f.d.t. ad anello chiuso (il tutto chiaramente in condizioni di regime permanente) si ha:

$S_{P}^{G^{'}}=\frac{\text{d}G^{'}/G^{'}}{\text{d}P/P}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[22]$

la quale indica che la sensitività di G' rispetto al parametro P è data dal rapporto tra la variazione di G e la variazione di P che l'ha causata (spesso tali valori sono riportati in percentuale). E' da precisare che la definizione data in [22] è valida solo per piccole variazioni e dipende dalla frequenza in condizioni di evoluzione dinamica.
Se indichiamo con T la f.d.t. ad anello chiuso in condizioni statiche, possiamo scrivere:

$T=\frac{G}{1+HG}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[23]$

per la quale è possibile calcolare la sensitività rispetto alle variazioni di G ed H.
Riguardo G si ha:

$S_{G}^{T}=\frac{\text{d}T/T}{\text{d}G/G}=\frac{G}{T}\frac{\mathrm{d} T }{\mathrm{d} G}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[24]$

che risulta ulteriormente semplificabile se si esplicita la derivata e si tiene conto della [23]:

$S_{G}^{T}=(1+HG)\frac{1+HG-HG}{(1-HG)^{2}}=\frac{1}{1+HG}\approx \frac{1}{HG}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[25]$

essendo HG >> 1 nelle applicazioni pratiche dei regolatori. La [25] quindi ci informa che il sistema risulta tanto meno sensibile ad una variazione di G, quanto più elevato è il guadagno di anello.
Relativamente ad H possiamo scrivere:

$S_{H}^{T}=\frac{\text{d}T/T}{\text{d}H/H}=\frac{H}{T}\frac{\mathrm{d} T }{\mathrm{d} H}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[26]$

che sviluppata in modo analogo a quanto fatto nella [25] diventa:

$S_{H}^{T}=\frac{H(1+HG)}{G}\frac{-G^{2}}{(1+HG)^{2}}=-\frac{HG}{1+HG}\approx -1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[27]$

La [27] indica dunque che una variazione di H si ripercuote nella stessa misura, ma in senso opposto, sulla prestazione a regime dell'intero sistema; dal momento che il blocco H è nella stragrande maggioranza dei casi reali un trasduttore, si può concludere che esso è un elemento critico per l'intero sistema e deve essere realizzato con estrema precisione per contrastare efficacemente i disturbi parametrici.

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Sistemi di controllo: condizioni di regime permanente (Parte II)

Indice

1. Classificazione dei sistemi di controllo

2. Errori di regolazione a regime per riferimenti non costanti

3. Due semplici esempi

Esempio 1

Esempio 2

4. Scelta del guadagno statico di anello in un regolatore

5. Cenni sulla sensitività

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