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Da questo articolo inizieremo ad analizzare come realizzare dei circuiti utilizzando le porte logiche appena viste in LogicBignami (III) e, in particolare, inizieremo con i cosiddetti circuiti combinatori, cioè quei circuiti digitali in cui lo stato logico d'uscita $O \;$ , ad ogni istante di tempo, è funzione soltanto dello stato logico assunto, nel medesimo istante di tempo, dalle variabili d'ingresso $I \;$ .

Per far ciò dobbiamo approfondire alcuni aspetti delle tabelle della verità, e come, da queste, sia possibile ricavare la funzione booleana della variabile d'uscita in funzione, appunto, degli stati logici assunti dagli ingressi.

La tabella della verità

Abbiamo già visto, sia in LogicBignami (II) che in logicBignami (III), come sono costruite le tabelle della verità relative alle funzioni logiche fondamentali e delle relative porte logiche collegate.

Queste tabelle avevano, al massimo, solo due variabili booleane d'ingresso, per cui il numero delle possibili combinazioni uniche di due elementi binari era facilmente desumibile: tutte in condizione logica di FALSO (0 logico), tutte in condizione logica di VERO (1 logico) e alternativamente una in condizione logica di FALSO e una in condizione logica di VERO, da cui deriva, appunto, la seguente tabella della verità:

$I 0$	$I 1$
0	0
1	1
1	0
0	1

Adesso vedremo, invece, come compilare tutte le combinazioni di stati logici possibili per un numero di variabili maggiore.

Le combinazioni delle variabili booleane d'ingresso

Quando il numero delle variabili booleane d'ingresso da considerare sale (Esempio 3, 4, 5... variabili), sale, ovviamente, anche il numero delle possibili combinazioni che, come dimostreremo in successivi articoli, equivale a $2^n \;$ , dove $n \;$ rappresenta il numero delle variabili booleane.

In questi casi la compilazione della tabella della verità può risultare difficoltosa: con più di 5 variabili può risultare lungo e tedioso scrivere tutte le combinazioni possibili.

Esiste, però, uno metodo che permette di compilare, in maniera "meccanica", tutte le combinazioni, ordinate, per un numero qualsiasi di variabili d'ingresso:

Date $n \;$ variabili booleane $I\;$

1) Si calcola il numero delle combinazioni possibili, pari a $2 n$

2) Si nominano le variabili da $I_0 \;$ a $I n - 1$

3) Si inseriscono, nella colonna con indice minore ( $I_0 \;$ ) tante commutazioni, tra uno stato logico di 0 e uno stato logico di 1, quante sono le possibili combinazioni calcolate al punto [1], partendo da 0 e terminando con 1

4) Nelle successive colonne, relative alle $I_x \;$ variabili booleane, si inseriscono tante coppie formate da sequenze di $2^x \;$ stati logici di 0 e di $2^x \;$ stati logici di 1 fino a riempire il numero di combinazioni possibili (ad esempio la colonna relativa alla variabile $I_3 \;$ avrà coppie formate da $2^3 \;$ stati logici di 0 e $2^3 \;$ stati logici di 1: 0000000011111111)

Vediamo quindi come applicare queste regole per realizzare una tabella della verità a 5 variabili booleane.

Con 5 variabili booleane, che denomineremo $I_0 \;$ , $I_1 \;$ , $I_2 \;$ , $I_3 \;$ , e $I_4 \;$ , ci troveremo ad avere $2^5 = 32 \;$ diverse combinazioni uniche.

Quindi:

1) Nella colonna $I_0 \;$ inseriremo una sequenza di 32 stati logici alternativamente a 0 e a 1, partendo da 0.

2) Nella colonna $I_1 \;$ inseriremo una sequenza di 8 coppie formate da $2^1 \;$ stati logici a 0 e $2^1 \;$ stati logici a 1 (evidenziati, in figura sotto, rispettivamente in blu e rosso).

3) Nella colonna $I_2 \;$ inseriremo una sequenza di 4 coppie formate da $2^2 \;$ stati logici a 0 e $2^2 \;$ stati logici a 1.

4) Nella colonna $I_3 \;$ inseriremo una sequenza di 2 coppie formate da $2^3 \;$ stati logici a 0 e $2^3 \;$ stati logici a 1.
5) Nella colonna $I_4 \;$ inseriremo un'unica coppia formata da $2^4 \;$ stati logici a 0 e $2^4 \;$ stati logici a 1.

Otteniamo, allora, la seguente tabella:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Disponendo la costruzione della tabella della verità con questo sistema, si avrà all'inizio tutte le variabili booleane in stato logico 0 e alla fine tutte le variabili in stato logico 1 e che una qualunque variabile booleana $I_n \;$ , diversa da $I_0 \;$ , commuta (da uno stato logico 0 ad uno stato logico 1 e viceversa) quando la variabile booleana $I n - 1$ commuta dallo stato logico 1 allo stato logico 0, come evidenziato dalle linee verdi.

Considerando che, difficilmente, in questi articoli, analizzeremo tabelle della verità con più di 5 variabili booleane, di seguito riportiamo la struttura di quelle a 2, 3, 4 e 5 variabili:

1) Due variabili

$I 0$	$I 1$
0	0
1	0
0	1
1	1

2) Tre variabili

$I 0$	$I 1$	$I 2$
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	0
0	0	1
1	0	1
0	1	1
1	1	1

3) Quattro variabili

$I 0$	$I 1$	$I 2$	$I 3$
0	0	0	0
1	0	0	0
0	1	0	0
1	1	0	0
0	0	1	0
1	0	1	0
0	1	1	0
1	1	1	0
0	0	0	1
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	0	1
0	0	1	1
1	0	1	1
0	1	1	1
1	1	1	1

4) Cinque variabili

$I 0$	$I 1$	$I 2$	$I 3$	$I 4$
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	1	0	0	0
1	1	0	0	0
0	0	1	0	0
1	0	1	0	0
0	1	1	0	0
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0	0	0	1	0
1	0	0	1	0
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Gli stati logici della variabile d'uscita: Mintermini e Maxitermini

Avendo visto come viene realizzata la struttura delle possibili combinazioni delle variabili d'ingresso $I_n \;$ in una tabella della verità, vediamo, adesso, alcune caratteristiche della struttura degli stati logici associati alla variabile d'uscita $O \;$ , che ci permetteranno, poi, di ricavare la funzione booleana dell'uscita stessa.

Mintermine (o Minterm)
E' una funzione booleana associata ad ogni combinazione delle variabili d'ingresso: equivale al prodotto logico di queste variabili, complementate se corrispondenti ad uno stato logico 0 altrimenti non complementate, in modo da fornire, come risultato, sempre uno stato logico 1.

Ad esempio, considerando una tabella della verità a tre variabili, avremo i seguenti mintermini ( $m_n \;$ ):

$I 0$	$I 1$	$I 2$	Mintermini	Indicatore Mintermini
0	0	0	$\overline {I_0} \; \overline {I_1} \; \overline {I_2}$	$m 0$
1	0	0	$I_0 \; \overline {I_1} \; \overline {I_2}$	$m 1$
0	1	0	$\overline {I_0} \; I_1 \; \overline {I_2}$	$m 2$
1	1	0	$I_0 \; I_1 \; \overline {I_2}$	$m 3$
0	0	1	$\overline {I_0} \; \overline {I_1} \; I_2$	$m 4$
1	0	1	$I_0 \; \overline {I_1} \; I_2$	$m 5$
0	1	1	$\overline {I_0} \; I_1 \; I_2$	$m 6$
1	1	1	$I_0 \; I_1 \; I_2$	$m 7$

Nota: Nel prodotto logico, il simbolo $\cdot \;$ può essere omesso (in pratica viene sottinteso), così, ad esempio la scrittura $I_0 \; I_1 \; I_2 \;$ è quivalente a $I_0 \cdot I_1 \cdot I_2 \;$

Sono detti mintermini perchè, per una data combinazione delle variabili booleane d'ingresso, solo uno, cioè il minimo dei $2^n \;$ prodotti logici, determinerà uno stato logico 1: infatti, se analizziamo la tabella della verità precedente, e consideriamo, ad esempio, il caso in cui $I_0 = I_1 = 0 \;$ e $I_2 = 1 \;$ vediamo che solo il mintermine $m_4 \;$ sarà allo stato logico 1.

Tramite i mintermini la funzione logica relativa alla variabile booleana d'uscita $O \;$ di una tabella della verità di $n \;$ variabili d'ingresso $I_n \;$ , viene espressa come somma logica di prodotti logici.

In particolare, definendo $o_x \;$ lo stato logico che assume la variabile booleana d'uscita $O \;$ alla "posizione" $x \;$ (con $0 < x < 2^{n -1} \;$ ), la funzione booleana d'uscita $O \;$ è la somma logica del prodotto logico tra lo stato assunto dall'uscita e il relativo mintermine:

$O = \sum_{x = 0}^{2^{n - 1}} o_x m_x$

Facciamo un esempio pratico con la seguente tabella della verità a cui associamo degli stati logici arbitrari alla variabile booleana d'usicta $O \;$ .

$I 0$	$I 1$	$I 2$	$O$	Mintermini	Indicatore Mintermini
0	0	0	0	$\overline {I_0} \; \overline {I_1} \; \overline {I_2}$	$m 0$
1	0	0	0	$I_0 \; \overline {I_1} \; \overline {I_2}$	$m 1$
0	1	0	0	$\overline {I_0} \; I_1 \; \overline {I_2}$	$m 2$
1	1	0	1	$I_0 \; I_1 \; \overline {I_2}$	$m 3$
0	0	1	0	$\overline {I_0} \; \overline {I_1} \; I_2$	$m 4$
1	0	1	1	$I_0 \; \overline {I_1} \; I_2$	$m 5$
0	1	1	1	$\overline {I_0} \; I_1 \; I_2$	$m 6$
1	1	1	0	$I_0 \; I_1 \; I_2$	$m 7$

Dalla summenzionata formula avremo che la funzione logica d'uscita $O \;$ sarà:

$O = \sum_{x = 0}^{2^{n - 1}} o_x m_x = 0 \cdot m_0 + 0 \cdot m_1 + 0 \cdot m_2 + 1 \cdot m_3 + 0 \cdot m_4 +$
$+ 1 \cdot m_5 + 1 \cdot m_6 + 0 \cdot m_7$

ricordando che lo stato logico 1 è elemento neutro per il prodotto logico e lo stato logico 0 è, invece, elemento assorbente, avremo

$O = m_3 + m_5 + m_6 = I_0 \; I_1 \; \overline {I_2} + I_0 \; \overline {I_1} \; I_2 + \overline {I_0} \; I_1 \; I_2$

Nella pratica, per ricavare la funzione logica d'uscita $O \;$ , basta eseguire la somma logica dei mintermini corrispondenti agli stati logici 1 della variabile d'uscita stessa.

Maxtermine (o Maxterm)
E' una funzione booleana associata ad ogni combinazione delle variabili d'ingresso: equivale alla somma logica di queste variabili, complementate se corrispondenti ad uno stato logico 1 altrimenti non complementate, in modo da fornire, come risultato, sempre uno stato logico 0.

Ad esempio, considerando sempre una tabella della verità a tre variabili, avremo i seguenti maxtermini ( $M_n \;$ ):

$I 0$	$I 1$	$I 2$	Maxtermini	Indicatore Maxtermini
0	0	0	$I 0 + I 1 + I 2$	$M 0$
1	0	0	$\overline {I_0} + I_1 + I_2$	$M 1$
0	1	0	$I_0 + \overline {I_1} + I_2$	$M 2$
1	1	0	$\overline {I_0} + \overline {I_1} + I_2$	$M 3$
0	0	1	$I_0 + I_1 + \overline {I_2}$	$M 4$
1	0	1	$\overline {I_0} + I_1 + \overline {I_2}$	$M 5$
0	1	1	$I_0 + \overline {I_1} + \overline {I_2}$	$M 6$
1	1	1	$\overline {I_0} + \overline {I_1} + \overline {I_2}$	$M 7$

Sono detti maxtermini perchè, per una data combinazione delle variabili booleane d'ingresso, tutte le somme logiche, tranne una, cioè il massimo delle $2^n \;$ combinazioni, determineranno uno stato logico 1: infatti, se analizziamo la tabella della verità precedente, e consideriamo, ad esempio, il caso in cui $I_0 = I_1 = 0 \;$ e $I_2 = 1 \;$ vediamo tutti i maxtermini, tranne $M_4 \;$ , sono allo stato logico 1.

Tramite i maxtemini la funzione logica relativa alla variabile booleana d'uscita $O \;$ di una tabella della verità di $n \;$ variabili d'ingresso $I_n \;$ , viene espressa come prodotto logico di somme logiche.

In particolare, definendo $o_x \;$ lo stato logico che assume la variabile booleana d'uscita $O \;$ alla "posizione" $x \;$ (con $0 < x < 2^{n -1} \;$ ), la funzione booleana d'uscita $O \;$ è il prodotto logico della somma logica tra lo stato assunto dall'uscita e il relativo maxitermine:

$O = \prod_{x = 0}^{2^{n - 1}} (o_x + M_x)$

Utilizzando la stessa sequenza di stati logici d'uscita usata nella tabella con i mintermini, avremo:

$I 0$	$I 1$	$I 2$	$O$	Maxtermini	Indicatore Maxtermini
0	0	0	0	$I 0 + I 1 + I 2$	$M 0$
1	0	0	0	$\overline {I_0} + I_1 + I_2$	$M 1$
0	1	0	0	$I_0 + \overline {I_1} + I_2$	$M 2$
1	1	0	1	$\overline {I_0} + \overline {I_1} + I_2$	$M 3$
0	0	1	0	$I_0 + I_1 + \overline {I_2}$	$M 4$
1	0	1	1	$\overline {I_0} + I_1 + \overline {I_2}$	$M 5$
0	1	1	1	$I_0 + \overline {I_1} + \overline {I_2}$	$M 6$
1	1	1	0	$\overline {I_0} + \overline {I_1} + \overline {I_2}$	$M 7$

Dalla formula appena citata avremo che la funzione logica dell'uscita $O \;$ sarà pari a:

$O = \prod_{x = 0}^{2^{n - 1}} (o_x + M_x) = (0 + M_0) \cdot (0 + M_1) \cdot (0 + M_2) \cdot (1 + M_3) \cdot$
$\cdot (0 + M_4) \cdot (1 + M_5) \cdot (1 + M_6) \cdot (0 + M_7)$

Ricordando che lo stato logico 0 è elemento neutro per la somma logica e lo stato logico 1, invece, è elemento assorbente per la somma logica, avremo

$O = \prod_{x = 0}^{2^{n - 1}} (o_x + M_x) = M_0 \cdot M_1 \cdot M_2 \cdot M_4 \cdot M_7 =$

$= (I_0 + I_1 + I_2) \cdot (\overline {I_0} + I_1 + I_2) \cdot (I_0 + \overline {I_1} + I_2) \cdot (I_0 + I_1 + \overline {I_2}) \cdot$
$\cdot (\overline {I_0} + \overline {I_1} + \overline {I_2})$

Nella pratica, per ricavare la funzione logica d'uscita $O \;$ , basta eseguire il prodotto logico dei maxtermini corrispondenti agli stati logici 0 della variabile d'uscita stessa.

In definitiva la funzione logica della variabile d'uscita $O \;$ può essere rappresentata, indifferentemente, sotto forma di somme logiche di prodotti logici, se si analizzano i mintermini oppure sotto forma di prodotti logici di somme logiche se si analizzano i maxtermini.

Nel prossimo articolo analizzaremo i metodi per ridurre, se possibile, le funzioni logiche così ricavate.

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LogicBignami (IV)

La tabella della verità

Le combinazioni delle variabili booleane d'ingresso

Gli stati logici della variabile d'uscita: Mintermini e Maxitermini

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