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Oscillatori e matrici T

Indice

Abstract

In questo articolo si vuole effettuare una analisi degli oscillatori quasi sinusoidali sfruttando le proprieta' della matrice di trasmissione. Dopo aver ricavato le condizioni di oscillazione vengono proposti alcuni esempi, basati su circuiti gia' noti in letteratura. Viene descritto come ricavare la frequenza di oscillazione propria del sistema e il guadagno dell'amplificatore, quali parametri necessari al funzionamento del circuito. Infine, le conclusioni intendono riassumere i risultati ricavati per generalizzarli.

Introduzione

Gli oscillatori elettronici sono circuiti ampiamente utilizzati per le telecomunicazioni, in metrologia, in elettronica digitale, in elettronica di potenza ed in tutte quelle molteplici applicazioni per le quali occorra avere a disposizione un segnale periodico di forma d'onda opportuna.

Nel campo delle telecomunicazioni sono fondamentali per generare la frequenza portante, tramite la quale modulare l'informazione da trasmettere, oppure per demodularla attraverso i circuiti di ricezione, oppure per traslarla in frequenza, come nel caso della supereterodina, poichè questa operazione ne rende più agevole ed economica la demodulazione.

In campo metrologico trovano largo uso nella generazione di segnali di riferimento o di trigger, inoltre sono utilizzati per effettuare misure tramite la tecnica del battimento.

In elettronica digitale qualunque circuito sequenziale è soggetto al proprio oscillatore, il quale è riferimento e base tempi per ogni stato logico.

In elettronica di potenza gli oscillatori vengono utilizzati nei convertitori a commutazione, poichè in corrente continua non è possibile sfruttare fenomeni di induzione magnetica (tranne che per l'Eccezione proposta dal sig.Ivar Giaever) e, per potenze elevate, il rendimento dei regolatori lineari non è accettabile. Spesso, inoltre, l'impiego di un trasformatore tradizionale non soddisfa i requisiti richiesti di ingombro o peso.

Gli esempi riportati sono solo un timido scorcio di un panorama ben più ampio, limitato soltanto dalla mia ridotta visuale.


Proprietà e nomenclatura

  • Una oscillazione permanente implica una continua dissipazione di energia interna al circuito e una continua (piccola) cessione di energia al circuito utilizzatore.
Un circuito oscillante deve quindi comprendere un amplificatore.
  • Un circuito dinamico, autonomo, lineare, a parametri concentrati, può produrre unicamente forme d'onda pari a combinazioni lineari di termini {\ t^{n_{i}} e^{\sigma_{i}t} e^{\mathrm{j}\omega_{i}t}}.
Se queste radici hanno parte reale positiva e parte immaginaria nulla le oscillazioni sono di tipo esponenziale e vengono chiamate di rilassamento.
Alcuni oscillatori che generano onde quadre sono realizzati sfruttando questa proprietà.
Se le radici hanno la parte immaginaria sensibilmente maggiore della parte reale le forme d'onda generate somigliano a sinusoidi, tanto più quanto più la parte immaginaria predomina su quella reale: l'oscillazione viene quindi detta quasi sinusoidale.
  • Per produrre una oscillazione idealmente sinusoidale, si deve avere \ n_{i}=0 , \ \sigma_{i}=0. Chiaramente non è pensabile imporre queste condizioni tramite i parametri del circuito, poichè essi sono soggetti a tolleranze ed invecchiamento. Se questi parametri dovessero diventare positivi o negativi, l'ampiezza delle oscillazioni tenderebbe a crescere o a decrescere, rispettivamente, nel tempo. Sarà necessaria, pertanto, una rete non lineare che provveda a creare un punto di equilibrio.
Questo aspetto non verrà discusso qui, ma potrebbe esserlo in un futuro articolo.

In questo articolo si discuterà unicamente della parte lineare che compone un oscillatore autonomo quasi sinusoidale.

In generale, quindi, un oscillatore elettronico è composto da un amplificatore e da una rete selettiva (un risonatore) e le proprietà di quest'ultima determinano le principali proprietà dell'oscillatore: frequenza di oscillazione e stabilità.

Condizioni di oscillazione

Un oscillatore autonomo quasi sinusoidale sarà sempre scomponibile in due parti, la prima delle quali composta da un amplificatore ideale e la seconda composta da una rete lineare, che risulta conveniente esprimere tramite una matrice T, come si vedrà in seguito. Se l'amplificatore non è ideale i suoi parametri sono comunque inseribili all'interno della matrice T, che probabilmente diventerà risolubile con l'aiuto del calcolatore. In figura è riportato lo schema corrispondente.

dove:

\textbf{Tosc}=\left(\begin{array}{cc}{A_{\mathrm{osc}}} & {B_{\mathrm{osc}}}\\{C_{\mathrm{osc}}} & {D_{\mathrm{osc}}}\end{array}\right)

\left(\begin{array}{c}{V_{\mathrm{1}}}\\{I_{\mathrm{1}}}\end{array}\right)= \mathbf{T}_{\mathbf{osc}}\left(\begin{array}{c}{V_{\mathrm{2}}}\\{I_{\mathrm{2}}}\end{array}\right).

Ricordo che le unità di misura delle componenti di T sono:

\ {\left[A_{\mathrm{osc}}\right]}{=1}

\ {\left[B_{\mathrm{osc}}\right]=\Omega}

\ {\left[C_{\mathrm{osc}}\right]={\mathrm{S}}}

\ {\left[D_{\mathrm{osc}}\right]}{=1}

Avendo considerato l'amplificatore ideale si può scrivere

\begin{cases}{I_{\mathrm{2}}}=0\\{V_{\mathrm{1}}}={A_{\mathrm{v}}}{V_{\mathrm{2}}}\end{cases}

Unendo queste relazioni a quelle ricavabili dalla prima riga della matrice T si ha che:

{\ A_{\mathrm{v}}{V_{\mathrm{2}}={A_{\mathrm{osc}}{V_{\mathrm{2}}}}}}

Le cui soluzioni possibili sono:

I. \ {\ V_{\mathrm{2}}=0}

unita a

II. \ {\ A_{\mathrm{osc}}=A_{\mathrm{v}}}

La soluzione I. rende nulla la tensione \ V_{\mathrm{2}} e, per quanto possa non essere interessante, rivela che un qualunque oscillatore ha un punto di equilibrio a tensione nulla.

La soluzione II. rende indefinita la tensione \ V_{\mathrm{2}} e restituisce informazioni circa la frequenza di oscillazione ed il guadagno dell'amplificatore che devono essere soddisfatti per garantire le condizioni di innesco.

poiché la rete lineare contenuta nel blocco T è anche reattiva si ha che\ A_{\mathrm{osc}}\mathbb{\in C}, mentre \ A_{\mathrm{v}}\mathbb{\in R}.

Dovrà pertanto essere soddisfatto il sistema:

\begin{cases}\Re\left({A_{\mathrm{osc}}}\right)={A_{\mathrm{v}}}\\\Im\left({A_{\mathrm{osc}}}\right)=0\end{cases}

La prima relazione permetterà di calcolare l'amplificazione \ A_{\mathrm{v}}.

La seconda relazione, essendo pari alla parte immaginaria di \ A_{\mathrm{osc}} e quindi dipendente da \ \omega permetterà di ricavare la frequenza di oscillazione.

Ora si può ricordare che

{A_{\mathrm{osc}}=}\left.\frac{{V_{\mathrm{1}}}}{{V}_{\mathrm{2}}}\right|_{{I_{\mathrm{2}}=0}}

In conclusione, è possibile considerare la sola rete lineare contenuta nella matrice T e risolvere il sistema

\begin{cases}\Re\left({\frac{{V_{\mathrm{1}}}}{{V_{\mathrm{2}}}}}\right)={A_{\mathrm{v}}}\\

\Im\left({\frac{{V_{\mathrm{1}}}}{{V_{\mathrm{2}}}}}\right)=0\end{cases}

Esempi di oscillatori

Esempio 1. Oscillatore a ponte di Wien

Schema:

Rete equivalente divisa tra amplificatore e matrice T

E' necessario ricavare \frac{{V_{\mathrm{1}}}}{{V}_{\mathrm{2}}} dalla rete epurata dell'amplificatore.

E' sufficiente applicare la formula del partitore di tensione:

{A_{\mathrm{osc}}=}\frac{{V_{\mathrm{1}}}}{{V}_{\mathrm{2}}}{=1+\frac{Z_{\mathrm{1}}}{Z_{\mathrm{2}}}=1+\mathrm{j}\left(R-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}\right)^{2}\frac{\omega C}{R}=3+\mathrm{j}\left(\omega RC-\frac{1}{\omega RC}\right)}

Per cui la parte reale di {\ A_{\mathrm{osc}}} è pari a 3 e questo è anche il guadagno che dovrà avere {\ A_{\mathrm{v}}} per poter fare oscillare la rete.

La parte immaginaria, posta uguale a zero, permette di calcolare \ \omega=\frac{1}{{RC}}.

Esempio 2. Oscillatore a sfasamento a gruppi CR

Schema

Ricordo che, per come ho congegnato le cose, {\ V_{\mathrm{1}}} va sempre apposta all'uscita dell'amplificatore.

Se non fosse per le proprietà delle matrici T, il rapporto {\frac{{V_{\mathrm{1}}}}{{V}_{\mathrm{2}}}} sarebbe molto lungo da calcolare.

In questa rete possiamo notare che sono collegate in cascata tre matrici T identiche, pari a:

Le matrici T collegate in cascata si moltiplicano tra loro, per cui sarà sufficiente calcolare {\mathbf{T}^{3}}, o, meglio, per come si esegue il prodotto riga-colonna, sarà sufficiente calcolare il vettore (A,B) di {\ \mathbf{T}^{2}} e farne il prodotto scalare con il vettore (A,C) di T.

Calcoliamo dunque la matrice T del gruppo CR.

{\mathbf{T}=}{\left(\begin{array}{cc}\left.\frac{V_{\mathrm{1}}}{V_{\mathrm{2}}}\right|_{I_{\mathrm{2}}=0} & \left.\frac{V_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{2}}}\right|_{V_{\mathrm{2}}=0}\\\left.\frac{I_{\mathrm{1}}}{V_{\mathrm{2}}}\right|_{I_{\mathrm{2}}=0} & \left.\frac{I_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{2}}}\right|_{V_{\mathrm{2}}=0}\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{j}\frac{1}{\omega{RC}} & -\mathrm{j}\frac{1}{\omega{C}}\\\frac{1}{{R}} & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{j}\alpha & \mathrm{j}\beta\\-\frac{\alpha}{\beta} & 1\end{array}\right)

dove ho posto, per comodità, \ \alpha=\frac{1}{\omega{RC}} e \ \beta=-\frac{1}{\omega{C}}.

{\ \mathbf{T}^{2}=\left(\begin{array}{cc}1-\alpha^{2}-\mathrm{j}3\alpha & \alpha\beta+\mathrm{j}2\beta\\

\boxtimes & \boxtimes\end{array}\right)}

Dove il simbolo \boxtimes indica che quel valore non è necessario per calcolare {\ A_{\mathrm{osc}}} di {\ \mathbf{T}^{3}}.

Eseguendo l'ultimo prodotto si ha che:

{A_{\mathrm{osc}}=-5\alpha^{2}+1+\mathrm{j}\left(-6\alpha+\alpha^{3}\right)}

da cui:

1. Parte immaginaria uguale a zero per trovare la \ \omega:

{-6\alpha+\alpha^{3}=0}\Rightarrow\alpha=0\vee\alpha=\pm\sqrt{6}

{\ \alpha}=0 non produce alcuna oscillazione e {\ \alpha}=-\sqrt{6} non viene considerata, in quanto si vogliono ottenere frequenze di oscillazione positive.

\ \alpha=\frac{1}{\omega{RC}}=\sqrt{6}\Rightarrow\omega=\frac{1}{\sqrt{6}{RC}}

permette,invece, di esplicitare la formula per poter calcolare la frequenza di oscillazione.

2. Parte reale uguale ad \ A_{\mathrm{v}} per trovare il guadagno:

\ -5{\alpha}^{2}+1={A_{\mathrm{v}}} con \ \alpha=\sqrt{6} risulta essere {\ A_{\mathrm{v}}=-29}

Sebbene questi calcoli appaiano più lunghi di quanto in realtà lo siano, capisco che la domanda: "E' possibile fare questi calcoli in modo automatico?" sorga spontanea.

La risposta è sì, tuttavia bisogna trovare un modo per estrarre \ A_{\mathrm{osc}} dalla matrice T. Per farlo si potrebbe pensare di utilizzare la base canonica di \mathbb{C}^{2} [La matrice T è complessa, anche se, in questo caso, non si considera \mathbb{C} come \mathbb{R} spazio vettoriale, quindi, in soldoni la base reale e quella complessa sono identiche].

Nel caso generale bisogna quindi calcolare:

\Re\left({\vec{\mathbf{e}_{\mathrm{1}}}\mathbf{T_{\mathrm{osc}}}}\vec{\mathbf{e}_{\mathrm{1}}}^{T}\right) {=A_{\mathrm{v}}}

\Im\left({\vec{\mathbf{e}_{\mathrm{1}}}\mathbf{T_{\mathrm{osc}}}}\vec{\mathbf{e}_{\mathrm{1}}}^{T}\right) {=0}

[la T ad apice indica l'operatore "trasposto di"]

Queste sono formule generali, che vanno bene per risolvere un oscillatore qualunque, di cui si conosca la sua matrice T.

Nel caso dell'oscillatore in corso di sevizie si ha che {\mathbf{T}_{\mathrm{osc}}={\mathbf{T}^{3}}}, quindi:

\Re\left({\vec{\mathbf{e}_{\mathrm{1}}}\mathbf{T^{3}}}\vec{\mathbf{e}_{\mathrm{1}}}^{T}\right) {=A_{\mathrm{v}}}

\Im\left({\vec{\mathbf{e}_{\mathrm{1}}}\mathbf{T^{3}}}\vec{\mathbf{e}_{\mathrm{1}}}^{T}\right) {=0}

Non resta quindi che fornire ad un programma di manipolazione algebrica la formula trovata.

Quando non ho a disposizione Mathematica sul calcolatore che uso, in genere uso WolframAlpha, dal sito http://www.wolframalpha.com .

Si può provare a digitare il comando:

Solve[Im[{1, 0}.MatrixPower[{{1-I*Re[a], I*b}, {-Re[a]/b, 1}}, 3].{{1}, {0}}] == 0, a]

per ottenere le soluzioni in \ \alpha di questo oscillatore.

Dopo aver quindi ottenuto, come soluzione, \ \alpha=\sqrt{6}, con il comando

Solve[Re[{1, 0}.MatrixPower[{{1-I*Sqrt[6], I*b}, {-Sqrt[6]/b, 1}}, 3].{{1}, {0}}] == A, A]

Si otterrà il relativo guadagno \ A_{\mathrm{v}}.

Chi ha letto il comando avrà notato che ho inserito Re[a] e non a, la ragione è che spesso WolframAlpha ipotizza le costanti come complesse.

Non è necessario, invece, preoccuparsi troppo per la costante b inserita nella formula, poiché \ \left[\beta\right]=\Omega mentre \ \left[A_{\mathrm{osc}}\right]=1, da cui si evince che, non essendoci altri termini di dimensione inversa nella formula, questa dovrà necessariamente semplificarsi con se stessa per renderla dimensionalmente coerente.

Qualora le tre matrici T fossero diverse tra loro (quindi qualora i componenti avessero valori tra loro diversi) bisognerebbe effettuare separatamente i prodotti delle tre matrici.

I calcoli si allungheranno molto, tuttavia il procedimento rimarrà invariato.

Se fosse presente soltanto un blocco CR, esso non potrebbe dar luogo ad alcuna oscillazione, infatti si è ricavato che il termine A della matrice T è pari a \ 1-\mathrm{j}\alpha, da cui \ \alpha=0.

Se i blocchi CR fossero due, essi, comunque, non potrebbero dar luogo ad alcuna oscillazione, infatti si è ricavato che il termine A della matrice \ T^{2} è pari a \ 1-\alpha^{2}-\mathrm{j}3\alpha, da cui \ \alpha=0.

E se i blocchi fossero più di tre?

4 blocchi:

Formula per trovare \ \alpha:

Solve[Im[{1, 0}.MatrixPower[{{1-I*Re[a], I*b}, {-Re[a]/b, 1}}, 4].{{1}, {0}}] == 0, a]

5 blocchi:

Formula per trovare \ \alpha:

Solve[Im[{1, 0}.MatrixPower[{{1-I*Re[a], I*b}, {-Re[a]/b, 1}}, 5].{{1}, {0}}] == 0, a]

e così via.

Un punto interessante che ho trovato, alzando il grado della matrice T, è che se i blocchi fossero cinque avremmo due soluzioni apparentemente valide per \ \alpha, scartando \ \alpha=0.

Quindi, apparentemente, la rete oscillerebbe a due frequenze diverse cambiando il guadagno dell'amplificatore. La soluzione con un solo blocco CR è \ \alpha=0, come lo è la soluzione con due blocchi CR. La soluzione con 3 blocchi CR è quella analizzata (avendone scartate due), poi, salendo di grado, le soluzioni aumentano.

La ragione è dovuta al fatto che la soluzione \ \alpha=0 dovrà essere sempre presente, perchè un oscillatore, come già detto all'inizio, dovrà sempre avere un punto stabile nullo, inoltre se è presente una soluzione dovrà essere presente anche la sua complessa coniugata (la funzione che si analizza è hermitiana). Dovendo scartare le soluzioni negative è quindi più chiara la ragione per la quale un solo blocco o un blocco doppio non possano oscillare, mentre il blocco di grado tre abbia una sola soluzione valida.

Per quanto riguarda il caso n-esimo, non conviene diagonalizzare T secondo lo schema canonico {\mathbf{T}^{n}=\mathbf{P}\mathbf{T}_{\mathrm{diag}}^n\mathbf{P}^{-1}} perchè il procedimento diventa intrattabile in termini di calcoli.

La conclusione è che facendo crescere n il sistema acquisisce gradi di libertà e di conseguenza anche "modi" per poter oscillare (e la cosa comincia a ricordarmi, per certi versi, le linee di trasmissione). In realtà l'oscillatore non può avere più di una frequenza di oscillazione, ma queste ed altre considerazioni saranno tratte in un articolo a parte, che verrà pubblicato in seguito.

Esempio 3. Oscillatore a sfasamento a gruppi RC

Schema

Il circuito è il duale del caso precedente e si può trattare in modo analogo, sfruttando i risultati già ricavati. La matrice T del gruppo RC è:

\mathbf{T}=\left(\begin{array}{cc}
\left.\frac{V_{\mathrm{1}}}{V_{\mathrm{2}}}\right|_{I_{\mathrm{2}}=0} & \left.\frac{V_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{2}}}\right|_{V_{\mathrm{2}}=0}\\
\left.\frac{I_{\mathrm{1}}}{V_{\mathrm{2}}}\right|_{I_{\mathrm{2}}=0} & \left.\frac{I_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{2}}}\right|_{V_{\mathrm{2}}=0}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1+\mathrm{j}\omega RC & R\\
\mathrm{j}\omega C & 1
\end{array}\right)

Mentre la matrice del gruppo CR era:

\mathbf{T}=\left(\begin{array}{cc}
1-\mathrm{j}\frac{1}{\omega RC} & -\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}\\
\frac{1}{R} & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1-\mathrm{j}\alpha & \mathrm{j}\beta\\
-\frac{\alpha}{\beta} & 1
\end{array}\right)

E' dunque possibile passare da una formulazione all'altra assumendo \ \alpha=-\omega RC e \ \beta=-\mathrm{j}R. Il fatto che \ \beta\in\mathbb{C} non deve preoccupare, in quanto questa quantità dovrà necessariamente semplificarsi per formare la formula finale di \ A_{osc}, come già discusso precedentemente, dal punto di vista dimensionale. E' sufficiente considerare la soluzione \ \alpha=-\sqrt{6} (in quanto si ha che \ \alpha=-\omega RC<0) per ricavare la frequenza di oscillazione, proporzionale a \omega=\frac{\sqrt{6}}{RC}.

Il guadagno, essendo immutato il valore di \ \alpha^2, sarà il medesimo del caso precedente: \ A_v=-29.

Dal punto di vista teorico è stata operata la trasformazione: \left(\alpha^{''},\beta^{''}\right)={\displaystyle \left(-\frac{1}{\alpha^{'}},\mathrm{j}\frac{\beta^{'}}{\alpha^{'}}\right)}

dove con \ \alpha^{'} e \ \beta^{'} si intendono i valori di \ \alpha e \ \beta della matrice del gruppo CR e con \ \alpha^{''} e \ \beta^{''} si intendono i valori di \ \alpha e \ \beta della matrice del gruppo RC.


Esempio 4. Oscillatore a R negativa

Schema

Il gruppo \ A_{\mathrm{v}},R forma un NIC.

Applicando il partitore di tensione per le ammettenze:

{\frac{V_{\mathrm{1}}}{V_{\mathrm{2}}}=1+\frac{Y_{\mathrm{2}}}{Y_{\mathrm{1}}}=\left(1+\frac{R}{R_{L}}\right)+\mathrm{j}\left(\omega RC-\frac{R}{\omega L}\right)}

Quindi:

{A_{\mathrm{v}}=1+\frac{R}{R_{L}}}

poiché la resistenza equivalente simulata dal NIC è pari a:

{R_{\mathrm{eq}}=\frac{R_{\mathrm{NIC}}}{1-A_{\mathrm{NIC}}}} si ha che {R_{\mathrm{eq}}=\frac{R}{1-A_{\mathrm{v}}}=-R_{L}}

cioè il NIC deve compensare perfettamente la resistenza di perdita dell'induttore (nell'ipotesi di trascurare quella del condensatore, che non sposta molto la trattazione).

Infine

\omega{RC=\frac{R}{\omega L}}\Rightarrow\omega=\frac{1}{\sqrt{{LC}}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{L}{C}}C}}=\frac{1}{{R_{\mathrm{LC}}C}}

Esempio 5. Oscillatore a tre punti

Schema

Questo circuito richiede di dover considerare la resistenza Ro di uscita dell'amplificatore, altrimenti la reattanza X1 non potrà essere considerata, in quanto posta in parallelo all'uscita di un amplificatore ideale con uscita in tensione.

Il circuito è divisibile nelle matrici T' e T". L'obiettivo dell'analisi della rete è trovare il coefficiente A della matrice prodotto, pari a A'A"+B'C".

E' sufficiente trovare A' e B' dalla prima matrice:

{A}^{'}=\left.\frac{{V_{\mathrm{1}}^{'}}}{{V_{\mathrm{2}}^{'}}}\right|_{{I_{\mathrm{2}}^{'}=0}}=1-\mathrm{j}\frac{{R_{o}}}{{X_{\mathrm{1}}}}

{B^{'}} =\left.\frac{{V_{\mathrm{1}}^{'}}}{{I_{\mathrm{2}}^{'}}}\right|_{{V_{\mathrm{2}}^{'}=0}}={R_{o}}

e A" e C" dalla seconda:

{A^{''}} =\left.\frac{{V_{\mathrm{1}}^{''}}}{{V_{\mathrm{2}}^{''}}}\right|_{{I_{\mathrm{2}}^{''}=0}}=1+\frac{{X_{\mathrm{3}}}}{{X_{\mathrm{2}}}}

{C^{''}} =\left.\frac{{I_{\mathrm{1}}^{''}}}{{V_{\mathrm{2}}^{''}}}\right|_{{I_{\mathrm{2}}^{''}=0}}=-\mathrm{j}\frac{1}{{X_{\mathrm{2}}}}

per poter scrivere

{A^{'}}{A^{''}}+{B^{'}}{C^{''}}=\left(1-\mathrm{j}\frac{{R_{o}}}{{X_{\mathrm{1}}}}\right)\left(1+\frac{{X_{\mathrm{3}}}}{{X_{\mathrm{2}}}}\right)-\mathrm{j}\frac{{R_{o}}}{{X_{\mathrm{2}}}}

Ponendo quindi la parte immaginaria pari a zero e quella reale pari al guadagno dell'amplificatore si ha che:

\ {X_{\mathrm{1}}+X_{\mathrm{2}}+X_{\mathrm{3}}=0}

poiché le varie reattanze sono composte da condensatori ed induttori (e non è possibile verificare la condizione trovata qualora il circuito sia composto esclusivamente da induttori o da condensatori) si ha che:

\ \omega=\frac{1}{\sqrt{{L_{\mathrm{eq}}C_{\mathrm{eq}}}}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{L_{\mathrm{eq}}}{C_{\mathrm{eq}}}}C_{\mathrm{eq}}}}=\frac{1}{{R_{LC_{\mathrm{eq}}}C_{\mathrm{eq}}}}

Infine:

{A_{\mathrm{v}}=1+\frac{X_{\mathrm{3}}}{X_{\mathrm{2}}}}

Curioso è il fatto che Ro serva ma non compaia nelle formule finali.

Esempio 6. Oscillatore a T

Schema

Lo schema è divisibile in due, sdoppiando \ V_{\mathrm{1}}. La soluzione verrà ricavata applicando il principio di sovrapposizione degli effetti.

\ V_{\mathrm{2}}^{'} è un risultato noto, in quanto equivale al coefficiente A di {\ \mathbf{T}^{2}} dell'oscillatore a sfasamento \left[\frac{{V_{\mathrm{1}}^{'}}}{{V_{\mathrm{2}}^{'}}}=1-\mathrm{j}3\alpha-\alpha^{2}\right].

Per V_{\mathrm{2}}^{''} invece si può usare il risultato dell'oscillatore a ponte di Wien e applicare il partitore, poiché l'uscita viene presa tra il gruppo RC serie e non sul gruppo RC parallelo.

Essendo:

\ A^{'}=\frac{V_{1}^{'}}{V_{2}^{'}}

e

\ A^{''}=\frac{V_{1}^{''}}{V_{2}^{''}}

con

\begin{cases}
V_{1}^{'}=V_{1}^{''}=V_{1}\\
V_{2}^{'}+V_{2}^{''}=V_{2}
\end{cases}

si ha che

{\displaystyle A=\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{V_{1}}{V_{2}^{'}+V_{2}^{''}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{V_{2}^{'}}{V_{1}^{'}}+\frac{V_{2}^{''}}{V_{1}^{''}}}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{A^{'}}+\frac{1}{A^{''}}}}}}

Avendo, quindi, già calcolato \ A^' e \ A^{''}, per ottenere il valore di A complessivo è sufficiente calcolare "il parallelo" dei due valori ricavati.

In definitiva si ottiene:

-\omega{RC}\left(\left(\omega{RC}\right)^{2}-1\right)=0\Rightarrow\omega=\frac{1}{{RC}}

e \ A_{\mathrm{v}}=\frac{3}{2}

Esempio 7. Oscillatore in quadratura

Schema

Questo oscillatore è costruito collegando ad anello un integratore invertente e un integratore non invertente. Solitamente lo schema non ha l'amplificatore che ho disegnato in rosso.

Esso è stato da me artificialmente inserito per poter esprimere la rete sottostante con la matrice T. Se non dovesse successivamente essere utile si potrà porre \ A_{\mathrm{v}}=1.

Naturalmente {\frac{V_{\mathrm{2}}}{V_{\mathrm{1}}}=-\mathrm{j}\frac{1}{\omega RC}\mathrm{j}\frac{1}{\omega RC}}, da cui A_{\mathrm{osc}}=\left(\omega RC\right)^{2}.

L'unica condizione ricavabile qui è \omega=\frac{\sqrt{{A_{\mathrm{v}}}}}{{RC}}.

L'oscillatore oscilla tollerando un guadagno qualunque (o quasi).

Ponendo \ A_{\mathrm{v}}=1 si ottiene la soluzione classica, altrimenti la frequenza di oscillazione dipende dalla radice quadrata del guadagno dell'amplificatore. Curioso (e utile), no?

Conclusioni

Ogni oscillatore fin qui analizzato ha presentato una frequenza di oscillazione proporzionale a \ \omega=\frac{1}{{kR_{\mathrm{eq}}C_{\mathrm{eq}}}} con \ {k\in\mathbb{R}}.

Una rete unicamente induttiva o unicamente capacitiva non potrà oscillare, a meno di non simulare un componente induttivo o capacitivo con l'ausilio di un amplificatore. La formula esplicita un condensatore equivalente, presente nella rete, sia esso reale o simulato.

La situazione più generale potrà, quindi, essere questa:

Oppure una situazione analoga con una capacità in parallelo.

In questo schema si può osservare che è possibile far "scavalcare" alla matrice \ T_{\mathrm{2}} l'amplificatore \ A_{\mathrm{v}} e riportarla a gli ingressi di \ T_{\mathrm{1}}. Successivamente esse saranno due matrici T in cascata, quindi sarà possibile estrarne una matrice T equivalente, facendone il prodotto.

Bisognerà, tuttavia, avere l'accortezza di lasciare fuori dalla matrice \ T_{\mathrm{2}} una resistenza R, poiché l'amplificatore è supposto ideale.

Il circuito diventa quindi questo:

L'obiettivo è quindi quello di capire quale sia l'impedenza vista dal condensatore, per capire il funzionamento generale di un qualsiasi oscillatore.

Si provvede quindi a estrarre il condensatore dalla rete e a sostituirlo con un generatore di corrente di test. L'impedenza equivalente sarà calcolabile facendo il rapporto tra tensione di test e corrente di test.

Considero quindi il circuito:

dal quale ricavo il sistema:

\begin{cases}{V_{\mathrm{2}}+V_{\mathrm{T}}-RI_{\mathrm{T}}=0}\\{A_{\mathrm{v}}RI_{\mathrm{T}}=A_{\mathrm{eq}}V_{\mathrm{2}}+B_{\mathrm{eq}}I_{\mathrm{T}}}\end{cases}

Dove la prima equazione è ricavabile dalla maglia posta all'uscita della matrice T, mentre la seconda è la relazione costitutiva della matrice T, considerando che V1 = AvRIT.

Si ricava quindi che:

{Z_{\mathrm{eq}}=\frac{V_{\mathrm{T}}}{I_{\mathrm{T}}}=\frac{\left(A_{\mathrm{eq}}-A_{\mathrm{v}}\right)R+B_{\mathrm{eq}}}{A_{\mathrm{eq}}}}

E' quindi necessario ricavare i coefficienti A e B della matrice T equivalente.

Per ricavarli giova osservare che il prodotto tra la matrice equivalente e la matrice T del gruppo CR dovrà essere pari alla matrice \ T_{\mathrm{osc}}.

{\mathbf{T}_{\mathrm{osc}}=\mathbf{T}_{\mathrm{eq}}\mathbf{T}_{\mathrm{CR}}}\Rightarrow{\mathbf{T}_{\mathrm{eq}}=\mathbf{T}_{\mathrm{osc}}\mathbf{T}_{\mathrm{CR}}^{-1}}

La matrice T del gruppo CR è sempre invertibile, poiché, essendo la rete reciproca, il suo determinante sarà pari ad uno.

La matrice del gruppo CR è stata calcolata durante la trattazione dell'oscillatore a sfasamento, ed è pari a:

{\mathbf{T_{\mathrm{CR}}=}\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{j}\alpha & \mathrm{j}\beta\\-\frac{\alpha}{\beta} & 1

\end{array}\right)} , dove \alpha=\frac{1}{\omega{RC}} e \ \beta=-\frac{1}{\omega{C}}

L'inversa di una matrice 2x2 è calcolabile ricordando la formula:

{\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\left|\mathbf{A}\right|}\left(\begin{array}{cc}a_{22} & -a_{12}\\-a_{21} & a_{11}\end{array}\right)}

In definitiva si ottiene:

{\mathbf{T_{\mathrm{eq}}}=\left(\begin{array}{cc}A_{\mathrm{osc}} & B_{\mathrm{osc}}\\C_{\mathrm{osc}} & D_{\mathrm{osc}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & -\mathrm{j}\beta\\\frac{\alpha}{\beta} & 1-\mathrm{j}\alpha\end{array}\right)}=

=\left(\begin{array}{cc}{A_{\mathrm{osc}}+B_{\mathrm{osc}}\frac{\alpha}{\beta}} & {B_{\mathrm{osc}}-\mathrm{j}\left(\alpha B_{\mathrm{osc}}+\beta A_{\mathrm{osc}}\right)}\\\boxtimes & \boxtimes\end{array}\right).

Sostituendo le relazioni trovate nella formula di \ Z_{\mathrm{eq}} si ottiene:

{Z_{\mathrm{eq}}=\frac{\left(A_{\mathrm{osc}}-A_{\mathrm{v}}\right)R}{A_{\mathrm{osc}}-\frac{B_{\mathrm{osc}}}{R}}}+\mathrm{j}\frac{1}{\omega{C}}.

Per effettuare le considerazioni finali, è necessario studiare ancora il caso in cui il condensatore sia stato posto in parallelo, secondo questo schema:

Come per il caso precedente, la matrice \ T_{\mathrm{2}} si unisce alla matrice \ T_{\mathrm{1}} e se ne ricava una matrice equivalente.

Per calcolare, quindi \ Z_{\mathrm{eq}} è quindi possibile utilizzare un generatore di tensione di test.

Dalla rete si ricava che:

{Z_{\mathrm{eq}}=\frac{B_{\mathrm{eq}}}{A_{\mathrm{eq}}-A_{\mathrm{v}}}}

Anche in questo caso è necessario calcolare \ A_{\mathrm{eq}} e \ B_{\mathrm{eq}}.

E' possibile, a tal scopo, utilizzare i risultati appena ricavati.

La matrice T di un solo condensatore vale:

{\mathbf{T}_{C}=}{\left(\begin{array}{cc}\left.\frac{V_{\mathrm{1}}}{V_{\mathrm{2}}}\right|_{I_{\mathrm{2}}=0} & \left.\frac{V_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{2}}}\right|_{V_{\mathrm{2}}=0}\\\left.\frac{I_{\mathrm{1}}}{V_{\mathrm{2}}}\right|_{I_{\mathrm{2}}=0} & \left.\frac{I_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{2}}}\right|_{V_{\mathrm{2}}=0}\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\\mathrm{j}\omega{C} & 1\end{array}\right)

Quindi:

{\mathbf{T_{\mathrm{eq}}}=\left(\begin{array}{cc}A_{\mathrm{osc}} & B_{\mathrm{osc}}\\C_{\mathrm{osc}} & D_{\mathrm{osc}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\-\mathrm{j}\omega C & 1\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{cc}{A_{\mathrm{osc}}-\mathrm{j}\omega CB_{\mathrm{osc}}} & {B_{\mathrm{osc}}}\\\boxtimes & \boxtimes\end{array}\right)

Inserendo i valori trovati nella formula di \ Z_{\mathrm{eq}} si ricava che:

{Z_{\mathrm{eq}}=\frac{V_{\mathrm{T}}}{I_{\mathrm{T}}}=\frac{\left(A_{\mathrm{osc}}-A_{\mathrm{v}}\right)B_{\mathrm{osc}}}{\left(A_{\mathrm{osc}}-A_{\mathrm{v}}\right)^{2}+\left(\omega CB_{\mathrm{osc}}\right)^{2}}+\mathrm{j}\frac{\omega CB_{\mathrm{osc}}^{2}}{\left(A_{\mathrm{osc}}-A_{\mathrm{v}}\right)^{2}+\left(\omega CB_{\mathrm{osc}}\right)^{2}}}

Considerazioni finali

Le considerazioni fattibili alla vista di queste formule sono che:

  • In condizioni di oscillazione [\ A_{\mathrm{osc}}=A_{\mathrm{v}}] si ha che \ {Z_{\mathrm{eq}}=\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}} in entrambi i casi;
  • In condizioni di oscillazione, la parte reattiva della formula è pari alla reattanza di un condensatore cambiata di segno. Questa è la firma di un gruppo LC in risonanza. Questo implica che TUTTI gli oscillatori, di qualunque natura e specie, sono equivalenti ad un gruppo LC portato alla risonanza;
  • La parte resistiva, in condizioni di oscillazione, è pari a zero. Questo è frutto di una compensazione tra una parte resistiva positiva (perdite del circuito) e una parte resistiva negativa (effetto dell'amplificatore);
  • I generatori di tensione e di corrente di test cortocircuitano e aprono, rispettivamente, la reazione. Un generico oscillatore può fare a meno della discussione in termini di sistema retroazionato.

Un qualunque oscillatore è quindi equivalente ad un oscillatore a resistenza negativa, a sua volta uguale ad un gruppo LC ideale.

Poiché la reattanza di un induttore è pari a \ \omega{L} si può ricavare che, per un qualunque oscillatore la L o è reale oppure è simulata secondo la relazione:

{X_{\mathrm{eq}}=\left.\frac{1}{\omega C}\right|}_{\omega=\frac{1}{kRC}}\Rightarrow{X_{\mathrm{eq}}=kR}=\omega{L=\frac{L}{kRC}\Rightarrow L=k^{2}R^{2}C}.

Per esempio, per un oscillatore a sfasamento si ha che \ \omega=\frac{1}{\sqrt{6}{RC}} quindi \ k=\sqrt{6} e \ {L=6}{R^{2}C}.

Si deve notare che k potrebbe non essere unico. Un caso è l'oscillatore a sfasamento con i tre blocchi T diversi tra loro. In questo caso si può ricavare, in generale, che \ \omega=\frac{1}{\sqrt{{\sum_{i=0}^{dim(k)}}{\left(k_{i}R_{i}C_{i}\right)^{2}}}}.

Ringraziamenti

Senza Isidoro non sarebbe stato possibile scrivere questo articolo. E' davvero instancabile nel proporre, aiutare, offrire consulenze e trovare gli errori!

Non capisco se sia più grande la padronanza per la propria materia oppure l'entusiasmo che riversa in ciò che fa.

A lui vanno 1k grazie nonchè la mia più profonda stima.

Voglio ricordare anche tutti gli amici del forum che, con il loro apprezzamento, mi hanno suggerito di scrivere l'articolo: non potrò dimenticare l'entusiamo che mi hanno procurato. Grazie a tutti voi!

Last but not least, un grosso grazie anche a DirtyDeeds per i consigli LaTeX e non solo!

Bibliografia

[1] L.O CHUA,C.A DESOER,E.S. KUH - Linear and Nonlinear Circuits McGraw-Hill Book Company

- Il cap.X discute i circuiti lineari tempo invarianti,

- Il cap.XI discute la stabilità dei circuiti lineari,

- Il cap.XIII discute i circuiti a due porte, in particolare, a pag. 754 e seguenti, è possibile trovare una trattazione circa la matrice T.

[2] Presso il sito web: http://www-micro.deis.unibo.it/~graffi/Altre/ICENL.pdf è disponibile una copia gratuita del primo capitolo delle dispense:

S. GRAFFI,R. ROVATTI - Introduzione allo studio dei CIRCUITI ELETTRONICI NON LINEARI

(probabilmente mai finite) che tratta gli oscillatori. Ho tratto spunto da qui per scrivere la sezione "Proprietà e nomenclatura".

[3] http://www.WolframAlpha.com un risolutore, anche simbolico, utile quando non si ha Mathematica installato sul calcolatore.

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Commenti e note

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di ,

Ti sottovaluti parecchio, fidati! :-). In ogni caso la letteratura sugli oscillatori che vada un po' oltre le solite cose è veramente rara a trovarsi. In giro ci sono molte applicazioni pratiche o, all'opposto, testi di teoria ultrafine o ultraspecialistici... Ma qualcosa che stia a metà strada latita alla grande purtroppo! :-( Contributi alla materia come il tuo risulteranno SEMPRE utili, soprattutto a noi poveri cristi, che oscillano quando vogliono e non oscillano proprio quando vogliono! ;-)

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di ,

Piercarlo, mah, questo articolo nasceva da una considerazione che aveva fatto IsidoroKZ, addirittura quando frequentavo ancora i newsgroup e non conoscevo EY. Ero rimasto molto stupito che qualcuno avesse potuto trovare un qual certo interesse per le mie riflessioni sull'argomento. Per quanto riguarda la pubblicità, l'ho fatta poco fa in un thread, ma solo perchè un utente era interessato all'argomento. Non mi trovo così interessante da dover essere pubblicizzato

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di ,

Ma perché non le pubblicizzi meglio certe cose? Hai paura che te le rubino? 8-) ;-)

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di ,

Grazie di cuore per i complimenti, davvero. Mi motivate veramente a continuare con gli altri articoli che devo ancora scrivere, riordinando tutti quegli appunti e quei calcoli Mathematica che ho... :) Davvero un sito eccellente, EY. Sono molto contento di farne parte. @DirtyDeeds: mi sono procurato già libro e articoli da studiare, per la discussione di cui parli... ;)

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di ,

In effetti ci voleva proprio un articolo. Molto bello Pietro, complimenti.

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di ,

Complimenti Pietro! Dacci il tempo di digerire questo e poi ti aspettiamo per il seguito con una bella discussione sui cicli limite e le tecniche di bilancio armonico :-)

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