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Premessa
Ho notato che sovente nel forum ci sono richieste che, dati degli schemi, si debba trovare la resistenza equivalente e molte di queste volte non si riesca a farlo.
Ho pensato allora di riportare qui degli esercizi svolti un po' da me o che ho trovato in giro su alcuni libri, su qualche sito, o sul forum stesso.
Per aiutare le persone che vogliono imparare metterò prima tutta una carrellata di esercizi, così se uno vuole li può svolgere tranquillamente, e poi, in fondo, elencherò le varie soluzioni per una eventuale verifica.
Sperando di aver fatto cosa gradita e di non aver commesso troppi errori nello svolgere gli esercizi vi lascio l'elenco.
P.S. per ogni esercizio sarà da calcolare la resistenza equivalente, per cui non lo starò a scrivere ogni volta.
Esercizi
Es. 1
Es. 2
Es. 3
Es. 4
Es. 5
Es. 6
Es. 7
Es. 8
Es. 9
Es. 10
Es. 11
Es. 12
Es. 13
Es.14
Es. 15
Es. 16
Es. 17
Es. 18
Es. 19
Es. 20
Es. 21
Es. 22
Es. 23
Soluzioni
Per agevolare la lettura e l'utente che vuole imparare farò tutti i passaggi e allegherò ogni volta il disegno equivalente che si ha dopo una semplificazione.
Es. 1
Come prima cosa si può notare che si ha R1 in serie con R2, per cui si trova:
e si riduce a questo:
e per finere abbiamo RA in parallelo con R3:
![R_{eq} = R_A//R_3=\frac{R_A \cdot R_3}{R_A + R_3}=\frac {40\cdot10}{40+10}={\color[RGB]{0,105,50} 8\ \Omega}](/mediawiki/images/math/0/a/b/0abdaa292883ef630aa09ae1e59b699e.png)
Es. 2
Abbiamo che R1 è in parallelo con R2 e si ha:
e si riduce così:
Ora abbiamo che R3 è in serie con RA e otteniamo:
![R_{eq}=R_3+R_A=20+10={\color[RGB]{0,105,50} 30\ \Omega}](/mediawiki/images/math/7/8/e/78e55edfdb2be9fa1e08b96599e067da.png)
Es. 3
Qui abbiamo che R4 è in parallelo a R5 e otteniamo:
e ridisegnamo:
ora abbiamo che RA è in serie con R3 e otteniamo:
e diventa:
e per finire abbiamo R1, R2 e RB che sono in parallelo:
![R_{eq}=R_1//R_2//R_B=\frac{1}{\frac{1}{6}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}}={\color[RGB]{0,105,50} 4\ \Omega}](/mediawiki/images/math/7/d/9/7d9b97aa2c8213c02c0cbb089a3b8142.png)
Es. 4
Partiamo col ridurre R5 e R6 che si trovano in parallelo e otteniamo:
e diventa:
ora abbiamo RA in serie con R4 e si ha:
riduciamo ora R3 e RB che sono in parallelo:
e diventa:
ora possiamo semplificare R1 e R2 che sono in serie:
e ridisegnamo:
e per concludere abbiamo RD in parallelo a RC:
![R_{eq}=R_D//R_C=\frac{30\cdot 7,5}{30+7,5}={\color[RGB]{0,105,50} 6\ \Omega}](/mediawiki/images/math/f/c/8/fc884a40d3ce9c453487bb69a4dd9eeb.png)
Es. 5
Partiamo col semplificare R7 e R8 che sono in serie:
il disegno è:
ora semplifichiamo RA che è in parallelo con R6:
e ridisegnamo:
ora abbiamo RB in serie con R5:
adesso abbiamo RC in parallelo con R4:
semplifichiamo RD con R3 che sono in serie:
adesso abbiamo RE in parallelo a R2:
e per finire abbiamo RF in serie a R1:
![R_{eq}=R_F+R_1=2+2={\color[RGB]{0,105,50} 4\ \Omega}](/mediawiki/images/math/0/1/e/01e08e1b0717b654e7ce7740d0fd5847.png)
Es.6
Dallo schema si può intuire che le resistenze R7, R8, R9 e R10 non influiscono sul calcolo della Req in quanto sono collegate ad un cortocircuito e di conseguenza si possono eliminare:
possiamo cominciare ora col semplificare R2 in parallelo a R3:
continuiamo con R4 in parallelo con R5:
e per finire abbiamo la serie tra R1, RA, RB, R11 e R6:
![R_{eq}=R_1+R_A+R_B+R_{11}+R_6=8+12+24+6+4={\color[RGB]{0,105,50} 54\ \Omega}](/mediawiki/images/math/a/e/a/aea10fd686e533cd810c9366fe7c04e9.png)
Es.7
Iniziamo con la serie tra R2 e R7:
proseguiamo col parallelo tra RA e R6:
continuiamo con la serie tra RB e R9:
ora riduciamo il parallelo tra RC e R5:
adesso semplifichiamo RD in serie con R8:
semplifichiamo RE in parallelo con R4:
ora abbiamo la serie tra RF e R1:
e per finire il parallelo tra RG e R3:
![R_{eq}=R_G//R_3=\frac{6\cdot 3}{6+3}={\color[RGB]{0,105,50} 2\ \Omega}](/mediawiki/images/math/d/6/9/d69e3e27b66088a46656ace3c453b46d.png)
Es.8
Cominciamo col semplificare R6 in serie a R7:
procediamo con il parallelo tra RA e R5:
semplifichiamo ora il parallelo tra R2 e R3:
continuiamo con la serie tra RC e R4:
ora R1 e RD si rovano in parallelo:
e per concludere abbiamo la serie tra RB e RE:
![R_{eq}=R_B+R_E=12+20={\color[RGB]{0,105,50} 32\ \Omega}](/mediawiki/images/math/7/2/a/72a0817a22ac2efd2ec4fd49c848ebc4.png)
Es.9
Incominciamo col semplificare la serie tra R1 e R2:
R4 e R6 si trovano in parallelo:
ora RB e R5 si trovano in serie:
e per concludere abbiamo il parallelo tra R3, RC e RA:
![R_{eq}=R_3//R_C//R_A=\frac{1}{\frac{1}{50}+\frac{1}{25}+\frac{1}{80}}={\color[RGB]{0,105,50} 13,8\ \Omega}](/mediawiki/images/math/b/f/7/bf788ca5838f87fe87cc79a6c1961dcd.png)
Es.10
Qui possiamo partire dalla serie tra R4 e R6:
proseguiamo con la serie tra R3 e R5:
ora il parallelo tra RA e RB:
e per concludere la serie tra R1, R2 e RC:
![R_{eq}=R_1+R_2+R_C=50+50+150={\color[RGB]{0,105,50} 250\ \Omega}](/mediawiki/images/math/4/7/0/4708c33d1cf1723227c6cd0357198e0d.png)
Per prima cosa qui si nota subito la serie tra R3 e R5:
a questo punto potrebbe sembrare che non vi sia più nulla da semplificare, oppure si potrebbe anche pensare che RA, R4 e R6 formino un triangolo, ma proviamo a disegnare lo schema in un'altra maniera:
così facendo ci si accorge che R2 e R4 sono in parallelo:
ora abbiamo la serie tra RA e RB:
poi abbiamo il parallelo tra RC e R6:
e per concludere la serie tra RD e R1:
![R_{eq}=R_D+R_1=77,3+50={\color[RGB]{0,105,50} 127,3\ \Omega}](/mediawiki/images/math/0/2/b/02bb502a21565c910fecdecda6516468.png)
riduciamo R5 e R6 che si trovano in parallelo:
ora abbiamo il parallelo tra R3 e R4:
e per ultimo la serie tra R1, R2, RB e RA:
![R_{eq}=R_1+R_2+R_B+R_A=50+50+100+50={\color[RGB]{0,105,50} 250\ \Omega}](/mediawiki/images/math/3/2/d/32d3b586770158c0b34197fbf90e426d.png)
partiamo da R5 e R6 che sono sempre in parallelo:
a questo punto si può notare che le resistenze R2, R3 e R4 sono bypassate da un cortocircuito e quindi si possono eliminare:
a questo punto si ha solo la serie tra R1 e RA:
![R_{eq}=R_1+R_A=50+50={\color[RGB]{0,105,50} 100\ \Omega}](/mediawiki/images/math/6/2/a/62a350a7bb48b97f01a984cfcba76984.png)
Es.11
Guardando lo schema ad occhio inesperto risulta difficile trovare una semplificazione; per cui possiamo ridisegnare lo schema e facilitarci le cose:
ora è tutto più chiaro e possiamo incominciare col semplificare R1 in parallelo con R5:
continuiamo col parallelo tra R2 e R6:
e per finire abbiamo la serie tra R3, RA, RB e R4:
![R_{eq}=R_3+R_A+R_B+R_4=10+4+2+8={\color[RGB]{0,105,50} 24\ \Omega}](/mediawiki/images/math/d/9/a/d9a0827ae553376d641e75cc5f610647.png)
Es.12
partiamo dal parallelo tra R3 e R5:
riduciamo ora la serie tra R1 e RA:
ora il parallelo tra RB e R2:
e per finire la serie tra RC e R4:
![R_{eq}=R_C+R_4=1+1={\color[RGB]{0,105,50} 2\ \Omega}](/mediawiki/images/math/1/a/8/1a85b82c6b8f9554fdf36d99d9d43f32.png)
Es.13
Essendo c e d aperti le resistenze che fuoriesco in quei punti non influenzano il curcuito e pertanto di possono eliminare:
ora le tre resistenze che sono dentro alla curva rossa sono in serie e si possono semplificare:
nel cerchio ora ci sono le due resistenze in parallelo:
e per conclure abbiamo le tre resistenze in serie:
![R_{eq}=R+R_B+R=1+\frac{3}{4}+1={\color[RGB]{0,105,50} \frac{11}{4}\ \Omega}](/mediawiki/images/math/f/3/9/f398b5713692c8c4c3d4e90fcbb867ef.png)
Es.14
anche questo schema non e di facile lettura per cui proviamo a ridisegnarlo:
con il nuovo schema si può notare molto più agevolmente che R2, R3 e R4 sono in parallelo:
e per finire abbiamo la serie tra R1, RA e R5:
![R_{eq}=R_1+R_A+R_5=400+545,45+500={\color[RGB]{0,105,50} 1,445\ k\Omega}](/mediawiki/images/math/4/6/4/4644e8c9a9a587f789b4897f5cb6ede6.png)
Es.15
Ho cerchiato di rosso i due punti in alto per far capire che si trovano allo stesso potenziale, idem per quelli cerchiati di blu.
A questo punto si può notare che le due resistenze da 8R sono in parallelo:
RA = 8R / / 8R = 4R
ora possiamo notare che le resistenze nella curva magenta sono in parallelo, sia quelle sopra che quelle sotto:
nella curva gialla abbiamo la serie di tre resistenze:
a questo punto semplifichiamo il parallelo:
RD = 4R / / 4R = 2R
e per finire la sere delle tre resistenze rimaste:
![R_{eq}=R+2R+R={\color[RGB]{0,105,50} 4R}](/mediawiki/images/math/2/e/1/2e1d2f9c88750bc2190c730744bff275.png)
Es.16
possiamo notare che le resistenze all'interno della curva blu sono entrambe in parallelo ad un cortocircuito e per cui si possono eliminare in quanto non influiscono sul circuito:
a questo punto si possono semplificare le resistenze in serie nella curva magenta:
si prosegue con il parallelo delle resistenze indicate nella curva azzurra:
continuiamo con la serie di resistenze nella curva verde:
ora semplifichiamo il parallelo nelle curva gialla:
e per concludere calcoliamo le ultime tre resistenze in serie:
![R_{eq}=R+3R+R={\color[RGB]{0,105,50} 5R}](/mediawiki/images/math/3/9/b/39bdf00c9d698749dc4c9ca6a0120dec.png)
Es.17
Questo esercizio è molto semplice in quanto tutte le resistenze dentro alla curva blu, alla fine riducendole, sono in parallelo ad un cortocircuito (linea di colore rosso) e pertanto sono ininfluenti, quindi lo schema risulterebbe:
possiamo ora semplificare le due resistenze in parallelo all'interno della curva verde:
e per concludere abbiamo la serie delle resistenze rimaste:
![R_{eq}=\frac{R}{2}+\frac{R}{2}+R={\color[RGB]{0,105,50} 2R}](/mediawiki/images/math/5/0/5/505ca19a70b9afc3c05d8e14d3d8ed20.png)
Es. 18
Per risolvere questo tipo di esercizio abbiamo la possibilità di ben 4 casi:
- Con la trasformazione da stella a triangolo di R1, R3 e R4;
- Con la trasformazione da stella a triangolo di R2, R3 e R5;
- Con la trasformazione da triangolo a stella di R1, R2 e R3;
- Con la trasformazione da triangolo a stella di R3, R4 e R5;
Ci sarebbe anche la quinta possibilità che sarebbe l'algebra di Wang che però io non tratterò; se siete interessati potete trovare maggiori informazioni leggendo questo articolo.
Calcoliamo da prima le tre resistenze equivalenti:
a questo punto ridisegnamo il circuito:
Da qui possiamo semplifichare il parallelo tra RB e R2 e il parallelo tra RC e R5; per cui avremo:
continuiamo con la serie tra RD e RE:
e per finire il parallelo tra RA e RF:
![R_{eq}=R_A//R_F=\frac{24\cdot14,4}{24+14,4}={\color[RGB]{0,105,50}9\ \Omega}](/mediawiki/images/math/b/6/8/b68f2d8fcde9d6c41fd8bbcaace90939.png)
Partiamo sempre a trovare le tre resistenze equivalenti:
ridisegnamo il circuito:
Come prima ora possiamo semplificare il parallelo tra R1 e RB e tra R4 e RC:
ora la serie tra RD e RE:
e per concludere il parallelo tra RF e RA:
![R_{eq}=R_F//R_A=\frac{12,86\cdot30}{12,86+30}={\color[RGB]{0,105,50}9\ \Omega}](/mediawiki/images/math/2/8/3/2837a905b0c94aca523d3a62ff1739ee.png)
Semplifichiamo il triangolo:
e ridisegnamo lo schema:
Ora possiamo semplificare la serie tra RB e R4 e tra RC e R5:
continuiamo col parallelo tra RD e RE:
e per concludere la serie tra RA e RF:
![R_{eq}=R_A+R_F=6+3={\color[RGB]{0,105,50}9\ \Omega}](/mediawiki/images/math/4/7/c/47c5afdc36372b37dba9178fb2abec85.png)
Semplifichiamo il triangolo:
e ridisegnamo lo schema:
ora semplifichiamo la serie tra R1 e RB e tra R2 e RC:
semplifichiamo il parallelo tra RD e RE:
e finiamo con la serie tra RF e RA:
![R_{eq}=R_F+R_A=8,08+0,92={\color[RGB]{0,105,50}9\ \Omega}](/mediawiki/images/math/a/7/4/a7450a30a268a8c5896784809fe86ddb.png)
Es. 19
Anche questo esercizio si potrebbe svolgere in più modi, ossia, trasformando il triangolo formato da R1, R3 e R5; oppure il triangolo formato da R2, R3 e R6; oppure la stella formata da R1, R2 e R3. Noi propenderemo per quest'ultimo caso, perchè se osserviamo le 3 resistenze in questione sono tutte uguali, per cui il calco della trasformazione sarà molto più semplice in quanto ricordo che: RΔ = 3RY, per cui avremo:
e ridisegnamo il circuito:
a questo punto possiamo semplificare i paralleli formati da R5 e RB e da RC e R6:
a questo punto semplifichiamo la serie tra RD e RE:
e per finire facciamo il parallelo delle tre resistenze rimaste R4, RA e RF:
![R{eq}=R_4//R_A//R_F=\frac{1}{\frac{1}{150}+\frac{1}{90}+\frac{1}{112,5}}={\color[RGB]{0,105,50}37,5\ \Omega}](/mediawiki/images/math/5/b/3/5b33d1d5a8d8f79e3d37479e72c86ff6.png)
Es. 20
Anche qui ci sarebbero più modi per risolvere il circuito ma siccome notiamo la presenza di tre resistenze a triangolo tutte uguali andremo a semplificare quelle, così i calcoli saranno più semplici:
semplifichiamo ora le tre resistenze in serie dentro la curva gialla:
RD = R + R + R = 3R
semplifichiamo la serie dentro alla curva blu:
RE = R + 2R = 3R
semplifichiamo il parallelo nella curva magenta:
e per finire la serie delle ultime tre resistenze:
![R_{eq}=R+\frac{3}{2}R+\frac{R}{2}={\color[RGB]{0,105,50}3R}](/mediawiki/images/math/f/2/4/f24d175f07901f245200e82a0e98b3d8.png)
Es. 21
Per comodità trasformiamo uno dei triangoli in stella e avremo:
semplifichiamo le serie che si trovano dentro alle curve che saranno uguali:
ora semplifichiamo il parallelo tra le due resistenze RB:
e per ultimo facciamo la serie tra RA e RC:
![R_{eq}=R_A+R_C=3+6={\color[RGB]{0,105,50}9\ \Omega}](/mediawiki/images/math/2/2/1/221194ff0ebe40c6d1d296918c6669c5.png)
Es. 22
A vederlo sembrerebbe un po complicato, ma proviamo a ridisegnarlo:
possiamo notare che praticamente è uguale all'Es. 21; per cui avendo R1, R3 e R4 che sono uguali trasformeremo quel triangolo in stella:
semplifichiamo le serie nelle curve che sono uguali perchè 
e avremo:
semplifichiamo il parallelo formato dalle RB:
e per finire la serie tra RA e RC:
![R_{eq}=R_A+R_C=1+1={\color[RGB]{0,105,50}2\ \Omega}](/mediawiki/images/math/2/3/6/23614c75c6b4f8b3c4b2e2fcbca08eb7.png)
Es. 23
partiamo con la serie tra R2, R3 e R4:
a questo punto si possono seguire diverse strade perchè ci sono varie stelle o triangoli; io seguirò quello che aveva fatto l'utente di questo esercizio e semplificherò la stella formata da R5, R6 e R7:
ora abbiamo il parallelo tra RA e RC e tra RD e R8:
ora trasformiamo il triangolo formato da RB, RE e RF in stella:
continuiamo con la serie tra R1 e RH, tra RG e R10 e tra RI e R9:
ora il parallelo tra RM e RN:
e finiamo con la serie tra R11, RO e RL:
![R_{eq}=R_{11}+R_O+R_L=6+5,9+13,14={\color[RGB]{0,105,50}25.04\ \Omega}](/mediawiki/images/math/7/5/6/756d48c04f933eaafeed186395df74f5.png)
