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Abstract
Come anticipato nella conclusione dell'articolo "Letture di Elettrostatica n. 3" analizzeremo qui la formula proposta da Bruno Valente per calcolare la tensione tra due armature qualsiasi con carica diversa. Vedremo che esso dipende unicamente dalla struttura geometrica delle armature e vedremo come calcolarlo.
La formula proposta è
![U=\frac {Q_1 \cdot (1-K) - K \cdot Q_2}{C} \, [1]](/mediawiki/images/math/3/5/8/35806d67bcaeafa4a71d6aa13a6808d8.png)
dove U è la tensione tra le armature, C la loro capacità, Q1 e Q2 le cariche su di esse.
Teoria
La linearità dell'equazione di Laplace consente di affermare che i potenziali delle armature sono combinazioni lineari delle cariche su di esse.
Si può perciò scrivere:
dove pij sono detti
coefficienti di potenziale
definiti operativamente da
![\begin{array}{l}
p_{11} = \left| {\frac{{V_1 }}{{Q_1 }}} \right|_{Q_2 = 0} \\
p_{22} = \left| {\frac{{V_2 }}{{Q_2 }}} \right|_{Q_1 = 0} \, \, \, [2] \\
p_{12} = \left| {\frac{{V_1 }}{{Q_2 }}} \right|_{Q_1 = 0} \\
p_{21} = \left| {\frac{{V_2 }}{{Q_1 }}} \right|_{Q_2 = 0} \\
\end{array}](/mediawiki/images/math/c/9/c/c9c4e0f36e278318167fc8e42e0967d9.png)
Essi sono indipendenti dalla carica, dipendenti cioè unicamente dalla geometria delle armature, nonché dalla costante dielettrica del mezzo interposto che assumeremo essere l'aria, e soddisfano sempre alla relazione di simmetria
il che significa che, una carica Q su di un'armatura determina il potenziale V sull'altra, indipendentemente dall'armatura su cui si trova.
La capacità C può essere dedotta da tali coefficienti.
Ponendo infatti Q1 = Q;Q2 = − Q si ha:
Quindi
![U = V_1 - V_2 = Q \cdot \left( {p_{11} + p_{22} - 2 \cdot p_{12} } \right)\, [3]](/mediawiki/images/math/2/9/e/29e44f11574c220155052b071fdadc35.png)
da cui
![C = \frac{Q}{U} = \frac{1}{{p_{11} + p_{22} - 2 \cdot p_{12} }}\, [4]](/mediawiki/images/math/d/6/3/d6345bef10366cb4df39988c3849bb9f.png)
Dal confronto della [1] con la [3]
eguagliando i coefficienti di Q1
![K= \frac{{p_{22} - p_{12} }}{{p_{11} + p_{22} - 2 \cdot p_{12} }}\, [5]](/mediawiki/images/math/6/7/c/67c6c2f860b7bd3485dde4ac2ea5f86a.png)
oppure, eguagliando i coefficienti di Q2
In definitiva il K della formula è una funzione dei coefficienti di potenziale, quindi dipende unicamente dalla geometria delle armature.
Osservazione: la struttura è perfettamente simmetrica quando
per cui si ha
In tal caso la stessa carica provoca sempre lo stesso potenziale sull'armatura in cui si trova, con l'altra scarica, indipendentemente dall'armatura.
Il problema è allora calcolare i coefficienti di potenziale
Sperimentalmente sono determinabili con le relazioni [1] che li definiscono. Oppure si possono calcolare, sempre mediante le[1] ricorrendo al calcolo numerico mediante calcolatore.
Teoricamente si calcolano con

dove
Rij è la distanza tra un qualunque punto dell'armatura i e l'area infinitesima dS dell'armatura j di area Sj.
σj è la densità effettiva superficiale dell'areola dS dell'armatura j
: è la densita di carica superficiale media sull'armatura j


La dimostrazione
deriva dal fatto che il potenziale in un punto dovuto a più cariche puntiformi è dato dalla somma dei potenziali prodotti in quel punto dalle singole cariche, una conseguenza della linearità dell'equazione di Laplace. Quindi, ad esempio, il potenziale nel punto P dovuto alle tre cariche di figura
è dato da
avendo posto a 0 il potenziale all'infinito.
Per n cariche si avrà
mentre per una distribuzione superficiale σ, funzione dei punti della superficie, assimilando un'areola dS ad una carica pari a , si avrà
con r0 pure funzione dei punti della superficie.
Ponendo allora
si può scrivere
quindi ricavare il coefficiente di potenziale del punto P
che dipende unicamente dalla geometria della superficie, oltre che dalla costante dielettrica.
Il calcolo, in pratica
Come si vede il calcolo teorico è proibitivo analiticamente. Ma, come al solito ormai, ci viene in soccorso il programma di simulazione FEMM con il quale si possono determinare tutti i parametri che si desiderano.
Mostreremo alcuni esempi in cui, definite le armature, sono dapprima caricate con carica uguale ed opposta per determinare nel modo classico la capacità. Successivamente si carica l'una e si lascia scarica l'altra, determinando i coefficienti di potenziale con le definizioni operative per per essi date inizialmente [1]. Quindi con tali coefficienti si ricalcola la capacità con la [4] ed il K con la [5]
Ecco i risultati dei calcoli effettuali con le
Simulazioni
dell'insostituibile FEMM
Alle armature sono imposte cariche arbitrarie di 10 nC.
Dapprima una opposta all'altra per determinare il valore della capacità della struttura:
Quindi alternativamente è imposta la carica positiva di 10 nC ad una armatura mentre l'altra è scarica per determinare i coefficienti di potenziale.
Il calcolo di K è effettuato in due modi con la formula
e l'altro per mezzo dei coefficienti
- Le condizioni al contorno sono imposte tali da simularne l'assenza (Mixed)
- Per ogni situazione viene mostrato l'andamento delle superfici equipotenziali.
Le tabelle mostrano
- il calcolo della capacità C nella prima riga (in farad);
- le cariche imposte, Q1 e Q2 (in coulomb);
- il potenziale assunto dalle armature V1 e V2 (in volt);
- la differenza di potenziale V1 − V2 (volt);
- il coefficiente K calcolato
- i coefficienti di potenziale
Strutture simmetriche
Armature piane
Cilindri paralleli
Semicilindri con lastra piana
Strutture asimmetriche
Cilindro-lastra piana
tre quarti di 2 cilindri coassiali
Cappello di Napoleone
Conclusione
L'intuizione di Bruno Valente è allora corretta ed il fondamento del suo coefficiente di simmetria K è nell'equazione di Laplace.
Esso risulta ricavabile dai coefficienti di potenziale, però, a differenza di questi, non cambia modificando la scala, quindi ne definisce la forma.
- K = 0,5 indica armature simmetriche; la simmetria, quando l'induzione è completa, fa sì che le superfici equipotenziali che circondano un'armatura abbiano identica forma delle superfici equipotenziali che circondano l'altra.
indica armature dissimmetriche;
: l'armatura su cui sta la carica Q2 influire maggiormente sulla tensione tra le armature e perk = 1, totalmente; in tal caso l'armatura con Q2 è interna all'armatura con Q1.
è Q1 ad influire maggiormente sulla tensione tra le armature; per k = 0 totalmente, e l'armatura con Q1 è interna a quella con Q2