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Condensatori e simmetria

Indice

Abstract

Come anticipato nella conclusione dell'articolo "Letture di Elettrostatica n. 3" analizzeremo qui la formula proposta da Bruno Valente per calcolare la tensione tra due armature qualsiasi con carica diversa. Vedremo che esso dipende unicamente dalla struttura geometrica delle armature e vedremo come calcolarlo.

La formula proposta è

U=\frac {Q_1 \cdot (1-K) - K \cdot Q_2}{C} \, [1]

dove U è la tensione tra le armature, C la loro capacità, Q1 e Q2 le cariche su di esse.

Teoria

La linearità dell'equazione di Laplace consente di affermare che i potenziali delle armature sono combinazioni lineari delle cariche su di esse.

Si può perciò scrivere:

\begin{array}{l}
 V_1  = p_{11}  \cdot Q_1  + p_{12}  \cdot Q_2  \\ 
 V_2  = p_{21}  \cdot Q_1  + p_{22}  \cdot Q_2  \\ 
 \end{array}

dove pij sono detti

coefficienti di potenziale

definiti operativamente da

\begin{array}{l}
 p_{11}  = \left| {\frac{{V_1 }}{{Q_1 }}} \right|_{Q_2  = 0}  \\ 
 p_{22}  = \left| {\frac{{V_2 }}{{Q_2 }}} \right|_{Q_1  = 0} \, \, \, [2] \\ 
 p_{12}  = \left| {\frac{{V_1 }}{{Q_2 }}} \right|_{Q_1  = 0}  \\ 
 p_{21}  = \left| {\frac{{V_2 }}{{Q_1 }}} \right|_{Q_2  = 0}  \\ 
 \end{array}


Essi sono indipendenti dalla carica, dipendenti cioè unicamente dalla geometria delle armature, nonché dalla costante dielettrica del mezzo interposto che assumeremo essere l'aria, e soddisfano sempre alla relazione di simmetria

p12 = p21

il che significa che, una carica Q su di un'armatura determina il potenziale V sull'altra, indipendentemente dall'armatura su cui si trova.

La capacità C può essere dedotta da tali coefficienti.

Ponendo infatti Q1 = Q;Q2 = − Q si ha:

\begin{array}{l}
 V_1  = \left( {p_{11}  - p_{12} } \right)Q \\ 
 V_2  = \left( {p_{21}  - p_{22} } \right)Q \\ 
 \end{array}

Quindi

U = V_1  - V_2  = Q \cdot \left( {p_{11}  + p_{22}  - 2 \cdot p_{12} } \right)\, [3]

da cui

C = \frac{Q}{U} = \frac{1}{{p_{11}  + p_{22}  - 2 \cdot p_{12} }}\, [4]

Dal confronto della [1] con la [3]

eguagliando i coefficienti di Q1

p_{11}  - p_{21}  = \frac{{1 - K}}{C} \to K = 1 - C \cdot \left( {p_{11}  - p_{21} } \right)

K = 1 - \frac{{p_{11}  - p_{21} }}{{p_{11}  + p_{22}  - 2 \cdot p_{12} }} = \frac{{p_{11}+p_{22}  - 2 \cdot p_{12}-p_{11}  + p_{21} }}{{p_{11}  + p_{22}  - 2 \cdot p_{12} }}


K= \frac{{p_{22}  - p_{12} }}{{p_{11}  + p_{22}  - 2 \cdot p_{12} }}\, [5]

oppure, eguagliando i coefficienti di Q2

p_{22}  - p_{12}  =  - \frac{K}{C} \to K = C \cdot \left( {p_{22}  - p_{12} } \right) = \frac{{p_{22}  - p_{12} }}{{p_{11}  + p_{22}  - 2 \cdot p_{12} }}

In definitiva il K della formula è una funzione dei coefficienti di potenziale, quindi dipende unicamente dalla geometria delle armature.


Osservazione: la struttura è perfettamente simmetrica quando

p11 = p22

per cui si ha

K = 0.5

In tal caso la stessa carica provoca sempre lo stesso potenziale sull'armatura in cui si trova, con l'altra scarica, indipendentemente dall'armatura.

Il problema è allora calcolare i coefficienti di potenziale


Sperimentalmente sono determinabili con le relazioni [1] che li definiscono. Oppure si possono calcolare, sempre mediante le[1] ricorrendo al calcolo numerico mediante calcolatore.

Teoricamente si calcolano con

p_{ij}  = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 S_j }} \cdot \int_{S_j } {\frac{{f_j }}{{R_{ji} }}}  \cdot dS

dove

Rij è la distanza tra un qualunque punto dell'armatura i e l'area infinitesima dS dell'armatura j di area Sj.

σj è la densità effettiva superficiale dell'areola dS dell'armatura j f_j  = \frac{{\sigma _j }}{{\sigma _{media,j} }}

\sigma _{media,j}  = \frac{{Q_j }}{{S_j }}: è la densita di carica superficiale media sull'armatura j


Calcolo di p11

Calcolo di p11

p_{11}  = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 S_1}} \cdot \int_{S_1 } {\frac{{f_1 }}{{R_{11} }}}  \cdot dS
Calcolo di p12

Calcolo di p12

p_{12}  = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 S_2}} \cdot \int_{S_2 } {\frac{{f_2 }}{{R_{12} }}}  \cdot dS

La dimostrazione

deriva dal fatto che il potenziale in un punto dovuto a più cariche puntiformi è dato dalla somma dei potenziali prodotti in quel punto dalle singole cariche, una conseguenza della linearità dell'equazione di Laplace. Quindi, ad esempio, il potenziale nel punto P dovuto alle tre cariche di figura

tre cariche

tre cariche

è dato da V_P  = \frac{{Q_1 }}{{4\pi \varepsilon _0  \cdot r_{10} }} + \frac{{Q_2 }}{{4\pi \varepsilon _0  \cdot r_{20} }} + \frac{{Q_3 }}{{4\pi \varepsilon _0  \cdot r_{30} }}

avendo posto a 0 il potenziale all'infinito.

Per n cariche si avrà

V_P  = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{Q_i }}{{r_{i0} }}}

mentre per una distribuzione superficiale σ, funzione dei punti della superficie, assimilando un'areola dS ad una carica pari a \sigma \cdot dS, si avrà

V_P  = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }} \cdot \int_S {\frac{\sigma }{{r_0 }}}  \cdot dS

con r0 pure funzione dei punti della superficie.

Ponendo allora

\begin{array}{l}
 \sigma _{media}  = \frac{Q}{S} \\ 
 f = \frac{\sigma }{{\sigma _{media} }} \\ 
 \end{array}

si può scrivere

\begin{array}{l}
 V_P  = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }} \cdot \int_S {\frac{{f \cdot \sigma _{media} }}{{r_0 }}}  \cdot dS = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }} \cdot \int_S {\frac{{f \cdot \frac{Q}{S}}}{{r_0 }}}  \cdot dS =  \\ 
  = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }} \cdot \frac{Q}{S} \cdot \int_S {\frac{f}{{r_0 }}}  \cdot dS \\ 
 \end{array}

quindi ricavare il coefficiente di potenziale del punto P 
p = \frac{{V_P }}{Q} = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0  \cdot S}} \cdot \int_S {\frac{f}{{r_0 }}}  \cdot dS

che dipende unicamente dalla geometria della superficie, oltre che dalla costante dielettrica.

Il calcolo, in pratica

Come si vede il calcolo teorico è proibitivo analiticamente. Ma, come al solito ormai, ci viene in soccorso il programma di simulazione FEMM con il quale si possono determinare tutti i parametri che si desiderano.

Mostreremo alcuni esempi in cui, definite le armature, sono dapprima caricate con carica uguale ed opposta per determinare nel modo classico la capacità. Successivamente si carica l'una e si lascia scarica l'altra, determinando i coefficienti di potenziale con le definizioni operative per per essi date inizialmente [1]. Quindi con tali coefficienti si ricalcola la capacità con la [4] ed il K con la [5]

Ecco i risultati dei calcoli effettuali con le

Simulazioni

dell'insostituibile FEMM

Alle armature sono imposte cariche arbitrarie di 10 nC. Dapprima una opposta all'altra per determinare il valore della capacità della struttura: \begin{array}{l}
 C = \frac{Q}{U} \\ 
 Q_1 =  - Q_2 = Q \\ 
 U = V_1  - V_2 \\ 
 \end{array}

Quindi alternativamente è imposta la carica positiva di 10 nC ad una armatura mentre l'altra è scarica per determinare i coefficienti di potenziale.

Il calcolo di K è effettuato in due modi con la formula K = \frac{{Q_1  - C \cdot U}}{{Q_1  + Q_2 }}

e l'altro per mezzo dei coefficienti

  • Le condizioni al contorno sono imposte tali da simularne l'assenza (Mixed)
  • Per ogni situazione viene mostrato l'andamento delle superfici equipotenziali.

Le tabelle mostrano

  • il calcolo della capacità C nella prima riga (in farad);
  • le cariche imposte, Q1 e Q2 (in coulomb);
  • il potenziale assunto dalle armature V1 e V2 (in volt);
  • la differenza di potenziale V1V2 (volt);
  • il coefficiente K calcolato
  • i coefficienti di potenziale

Strutture simmetriche

Armature piane

S=200 \times 1000 \,mm

d=200 \,mm

Simm_1

Simm_1


Cilindri paralleli

  • L=1000 \, mm
  • r=25 \, mm
  • D=200 \, mm


Simm_2

Simm_2

Semicilindri con lastra piana

Simm_3

Simm_3

Strutture asimmetriche

Cilindro-lastra piana

  • L= 1000 \, mm
  • H=600 \, mm
  • r=25 \, mm
  • d=200 \, mm
ASimm_1

ASimm_1


tre quarti di 2 cilindri coassiali

  • L= 1000 \, mm
  • r_1= 150 \, mm
  • r_2=100 \, mm
ASimm_2

ASimm_2

Cappello di Napoleone

  • L= 1000 \, mm
  • r_1= 150 \, mm
  • r_2=100 \, mm
  • r_3=50 \, mm


ASimm_3

ASimm_3

Conclusione

L'intuizione di Bruno Valente è allora corretta ed il fondamento del suo coefficiente di simmetria K è nell'equazione di Laplace.

Esso risulta ricavabile dai coefficienti di potenziale, però, a differenza di questi, non cambia modificando la scala, quindi ne definisce la forma.

  • K = 0,5 indica armature simmetriche; la simmetria, quando l'induzione è completa, fa sì che le superfici equipotenziali che circondano un'armatura abbiano identica forma delle superfici equipotenziali che circondano l'altra.
  •  K \ne 0,5 indica armature dissimmetriche;
  • 0,5 < K \le 1: l'armatura su cui sta la carica Q2 influire maggiormente sulla tensione tra le armature e perk = 1, totalmente; in tal caso l'armatura con Q2 è interna all'armatura con Q1.
  • 0 \le K <0,5 è Q1 ad influire maggiormente sulla tensione tra le armature; per k = 0 totalmente, e l'armatura con Q1 è interna a quella con Q2

Riferimenti

  • Elettromagnetismo-Alessandro Bettini

    Elettromagnetismo-Alessandro Bettini

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