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Linee di trasmissione con LTspice IV

Indice

Generalità

Nell’accezione più generale, una linea di trasmissione è un sistema di due o più conduttori metallici separati da mezzi dielettrici in grado di trasferire energia da un generatore a un carico.


Esistono diverse configurazioni di linee di trasmissione, utilizzate a frequenze diverse e per applicazioni molto differenti. A seconda della applicazione, la lunghezza delle linee di trasmissione può variare da pochi centimetri (circuiti stampati) a parecchie migliaia di chilometri (collegamenti intercontinentali)


Le configurazioni a due conduttori più tipiche sono:


  • Linea a due fili paralleli;
  • Linea con filo disposto sopra un piano di massa;
  • Cavo coassiale.


Se i fili non sono coperti da uno strato dielettrico (conduttori nudi) il sistema è omogeneo rispetto alla permettività, in quanto i campi che si sviluppano tra i due conduttori sono localizzati interamente in aria. Se i conduttori sono ricoperti da uno strato di dielettrico (conduttori in cavo) il sistema è non omogeneo rispetto alla permettività: i campi si sviluppano in parte in aria con εr=1 e in parte nello strato dielettrico εr≠1.

Studiare un sistema omogeneo a due conduttori è abbastanza semplice, soprattutto in assenza di perdite. La situazione si complica, e può non trovare una soluzione analitica esatta, nel caso di sistema non omogeneo rispetto alla permettività. In questa situazione, infatti, il calcolo della capacità per unità di lunghezza della linea di trasmissione è abbastanza complesso; spesso è necessario usare un metodo numerico per calcolarla.

Altri esempi di linee di trasmissione si trovano nei circuiti stampati:


  • Pista su una faccia della piastra e piano di massa nell’altra (microstriscia);
  • Piste posizionate sulla stessa faccia della piastra;
  • Piste posizionate su facce opposte della piastra.


Queste linee di trasmissione formano un sistema non omogeneo rispetto alla permettività, poiché le linee di campo si sviluppano in parte in aria e in parte nello strato dielettrico della piastra.

Il campo elettromagnetico prodotto da una generica sorgente si propaga da un punto all’altro dello spazio sotto forma di onde con velocità di propagazione u, che nel vuoto vale circa 3\times 10^{8}\frac{m}{s}.

La velocità di propagazione si può calcolare in funzione della permettività e della permeabilità:


u=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu }}


Lo spazio percorso dall’onda a cui corrisponde una variazione di fase di 360° prende il nome di lunghezza d’onda. La lunghezza d’onda si ottiene dalla seguente relazione:


\lambda =\frac{v}{f}=u\; T


Dove f rappresenta la frequenza dell’onda (T è il corrispondente periodo). L’unità di misura è il metro. Per valutare l’efficienza del fenomeno di accoppiamento tra un’onda elettromagnetica caratterizzata dalla lunghezza d’onda λ e una struttura elettrica con dimensioni geometriche L, è necessario calcolare il rapporto


k=\frac{L}{\lambda }


Tale rapporto definisce la lunghezza elettrica della struttura ed è un numero puro. Considerando l’espressione esplicita della lunghezza d’onda, si evince che la lunghezza elettrica della struttura è dipendente dalla lunghezza geometrica della struttura stessa, dalla frequenza e dalla velocità di propagazione dell’onda elettromagnetica nel mezzo in cui la struttura è immersa.


Se k<<1, la struttura è elettricamente piccola. Per convenzione, una struttura è elettricamente piccola se la lunghezza geometrica rispetta la condizione L>λ/10.


La lunghezza elettrica di una struttura è un concetto molto importante. Infatti, se la struttura è elettricamente piccola, lo studio e l’analisi del problema può essere affrontato con un modello a parametri concentrati; è possibili applicare le leggi di Kirchhoff per le tensioni e per le correnti. In caso contrario è necessario ricorrere alle equazioni di Maxwell , considerando un modello a parametri distribuiti. In quest’ultimo caso, le tensioni e le correnti lungo la struttura dipendono, oltre che dal tempo, dalle coordinate spaziali, usualmente la variabile z nel caso di sistema unidimensionale (linea di trasmissione unidimensionale).

Equazioni delle linee di trasmissione

Si consideri un tratto infinitesimo della linea di trasmissione a due conduttori, mostrato in figura 1, caratterizzato dalla resistenza per unità di lunghezza r, dalla induttanza per unità di lunghezza l, dalla capacità per unità di lunghezza c e dalla conduttanza per unità di lunghezza g.

figura 1


Dallo studio del circuito equivalente di una linea di trasmissione (di lunghezza infinitesimale) si ottiene il seguente sistema accoppiato di equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine


\frac{\partial v\left ( z,t \right )}{\partial z}=-ri\left ( z,t \right )-l\frac{\partial i\left ( z,t \right )}{\partial t}


\frac{\partial i\left ( z,t \right )}{\partial z}=-gv\left ( z,t \right )-c\frac{\partial v\left ( z,t \right )}{\partial t}


che prende il nome di equazioni della linea di trasmissione (o dei telegrafisti). I parametri per unità di lunghezza hanno un ruolo fondamentale nello studio di una linea di trasmissione. Infatti, la forma del sistema di equazioni rimane invariata qualsiasi sia la linea di trasmissione a due conduttori. I parametri r, l, g e c contegono tutte le informazioni proprie di una particolare linea di trasmissione.


Linea di trasmissione ideale

Una linea di trasmissione si dice ideale (linee senza perdite) quando le perdite ohmiche nei conduttori e nel dielettrico nulle. Nel caso di linea senza perdite, ponendo r=g=0, il sistema di equazioni della linea si scrive:


\frac{\partial v\left ( z,t \right )}{\partial z}=-l\frac{\partial i\left ( z,t \right )}{\partial t}


\frac{\partial i\left ( z,t \right )}{\partial z}=-c\frac{\partial v\left ( z,t \right )}{\partial t}


Manipolando il sistema di equazioni della linea ideale è possibile ottenere un sistema di equazioni disaccoppiate del secondo ordine


\frac{\partial^2 v\left ( z,t \right )}{\partial z^2}=lc\frac{\partial^2 v\left ( z,t \right )}{\partial t^2}


\frac{\partial^2 i\left ( z,t \right )}{\partial z^2}=lc\frac{\partial^2 i\left ( z,t \right )}{\partial t^2}


Queste equazioni sono note col nome di equazioni delle onde. Le soluzioni del sistema, infatti, sono delle onde che si propagano con velocità di propagazione \frac{1}{\sqrt{lc}}.


Le soluzioni delle due equazioni non sono indipendenti, poichè la tensione e la corrente lungo la linea di trasmissione sono legate dalle equazioni del primo ordine. Le soluzioni generali delle equazioni disaccoppiate del secondo sono:


v\left ( z,t \right )=V^{+}\left ( z-vt \right )+V^{-}\left ( z+vt \right )


i\left ( z,t \right )=\frac{1}{Z_{C}}V^{+}\left ( z-vt \right )-\frac{1}{Z_{C}}V^{-}\left ( z+vt \right )


Nelle quali ZC è l'impedenza caratteristica della linea. Per linee senza perdite l'impedenza caratteristica vale


Z_{C}=\sqrt{\frac{l}{c}}


La funzione V + rappresenta un'onda progressiva che si sposta in direzione +z, mentre la funzione V rappresenta un'onda regressiva che si sposta in direzione -z. L'espressione esplicita delle funzioni dipende dalle condizioni al contorno del problema.

Esercizio numerico risolto con LTspice IV

Si consideri la linea di trasmissione rappresentata in figura 2, chiusa su una resistenza da 150 Ω. La linea ha una lunghezza L di 450 m, velocità di propagazione u di 250\times 10^{6} \frac{m}{s} e impedenza caratteristica Zc pari a 50 Ω.

Figura 2


All'istante t=0, si collega una batteria ideale di 40 V costanti per i successivi 30μs.

Si determini l'andamento della tensione ai capi del carico.

Svolgimento

L'esercizio può essere risolto graficamente, utilizzando un foglio di carta, una penna e una riga. Il lettore può esercitarsi in tal modo. In questa sede riporterò la soluzione ottenuta utilizzando il software di simulazione LTspice IV.

Il tempo di transito delle onde lungo la linea vale


T=\frac{L}{u}=\frac{450}{250\times 10^{6}}=1,8 \mu s


Il coefficiente di riflessione in corrispondenza del carico vale


\Gamma _{L}=\frac{R-Z_{C}}{R+Z_{C}}=\frac{150-50}{150+50}=\frac{1}{2}


Il coefficiente di riflessione in corrispondenza della sorgente vale


\Gamma _{S}=\frac{R_{S}-Z_{C}}{R_{S}+Z_{C}}=\frac{0-50}{0+50}=-1

Lo schema da implementare in LTspice è mostrato in figura 3

Figura 3

Figura 3

I componenti da inserire sono:

  • voltage;
  • tline;
  • resistor;
  • ground.


I dati sono riportati in figura 3.

All'istante t=0 viene applicato l'impulso di tensione, ma la tensione sul carico sarà nulla fino all'istante t=T. All'istante t=T l'impulso arriva in corrispondenza del carico e, in questo stesso istante, un impulso regressivo di ampiezza pari a 20 V (il coefficiente di riflessione pari a 0,5) viene inviato verso la sorgente di alimentazione.

L’impulso riflesso arriva in corrispondenza della sorgente di alimentazione con un ritardo pari a T e un nuovo impulso, di ampiezza pari a -20 V (coefficiente di riflessione pari a -1), viene inviato verso il carico. Il processo di riflessione continua fino a raggiungere la condizione di regime. E’ chiaro che la tensione sul carico deve convergere al valore di regime (40 V). In figura 4 è mostrata l'evoluzione temporale della tensione ai capi della resistenza (posizione z=L)

Figura 4

Figura 4


La figura 4 permette di compredere meglio il fenomeno della propagazione della tensione lungo la linea e dell'evoluzione temporale della tensione in un data sezione della linea. Esaminiamo il primo fenomeno di riflessione.

Si ricorda che la figura 4 riporta l'andamento della tensione ai capi del carico, v(L,t). Essa è nulla per tutti gli istanti t<T. All'istante t=T il carico vede l'onda diretta pari a 40 V e l'onda riflessa pari a 20 V, pertanto


v\left ( L,T \right )=40+20=60 V

Il risultato coincide con quello ottenuto da LTspice IV.

Questo ragionamento può essere esteso a tutti gli altri istanti di tempo.

Conclusione

Il lettore, se lo ritiene opportuno, può implementare lo schema equivalente riportato in questo articolo e variare i valori della resistenze in modo visualizzare le diverse evoluzioni temporali della tensione ai capi del carico. Infatti, al variare della resistenza di carico, della resistenza interna del generatore e dell'impedenza caratteristica, variano i coefficienti di riflessione in corrispondenza del carico e del generatore, quindi variano le ampiezze delle onde dirette e riflesse che si propagano lungo la linea.

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