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Introduzione

Il fenomeno della risonanza può manifestarsi solo in circuiti che presentano proprietà induttive-capacitive. In un circuito esclusivamente ohmico-induttivo o ohmico-capacitivo il fenomeno della risonanza non può avere luogo.

Con le dovute eccezioni, nelle applicazioni di potenza il fenomeno della risonanza è da evitare, poiché porta alla genesi di tensioni interne di gran lunga maggiori di quelle imposte, se il fattore di merito è maggiore di uno. Tale condizione di funzionamento è pericolosa sia per l'incolumità delle persone che per l'integrità e il corretto funzionamento delle apparecchiature alimentate.

In altre situazioni, invece, il fenomeno della risonanza è il principio fisico su cui è basato il funzionamento stesso dell'apparecchiatura. Si pensi ai convertitori risonanti che permettono di eseguire le commutazioni con tensione e/o corrente nulla, all'amplificazione dei livelli di tensioni in alcune applicazioni di segnali e ai metodi a ponte in alternata nei quali il punto di equilibrio si realizza ricercando la condizione di risonanza.

Impedenza del circuito al variare della pulsazione

Il bipolo RLC di figura 1 è costituito dalla serie di un resistore di resistenza R, di un condensatore di capacità C e di un induttore di induttanza L, alimentato dalla tensione $u(t)=U_{M}\sin \left( \omega t\right)$ .

Fig.1 Bipolo RLC

Il circuito si trova in regime sinusoidale.

L'impedenza del bipolo di figura 1 risulta:

$\dot{Z}=R+j\left(\omega L -\dfrac{1}{\omega C} \right)$ .

L'ampiezza della tensione di alimentazione è mantenuta costante, la pulsazione, invece, viene variata al fine di studiare il comportamento in frequenza del bipolo stesso.

Il modulo dell'impedenza, ritenendo costanti i parametri del bipolo, è funzione della pulsazione $ω$ della tensione di alimentazione:

$Z\left( \omega \right)=\sqrt{R^{2}+\left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^{2} }$ ,

il cui andamento è rappresentato in figura 2

Figura 2 Modulo impedenza

Un ragionamento analogo è valido per l'argomento dell'impedenza:

$\varphi\left( \omega \right) =\arctan \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}}{R}$

Figura 3 Argomento dell'impedenza

Esiste un valore della pulsazione $ω$ , $ω 0$ , per la quale le due reattanze, induttiva e capacitiva, si uguagliano:

$\omega_{0}L-\dfrac{1}{\omega_{0} C}=0$ .

Quando la pulsazione della tensione di alimentazione è pari ad $ω 0$ , il modulo dell'impedenza assume il valore minimo

$Z\left( \omega_{0}\right)=R$

In corrispondenza del valore minimo, la natura dell'impedenza è puramente resistiva e il suo argomento è nullo:

$\varphi \left( \omega_{0}\right)=0$ .

Questa particolare condizione di funzionamento prende il nome di risonanza serie e si dice che il generatore è in risonanza col circuito. Dalla condizione di uguaglianza delle due reattanze si ricava l'espressione della pulsazione $ω 0$ , chiamata pulsazione di risonanza:

$\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ .

Dallo studio della funzione $Z\left( \omega \right)$ scaturiscono le seguenti considerazioni:

per valori di pulsazioni inferiori alla pulsazione di risonanza prevale il comportamento capacitivo del circuito, quindi il bipolo RLC si comporterà come un circuito RC.

Inoltre:

$\lim_{\omega \to0}Z\left( \omega \right)=\infty$

$\lim_{\omega \to0}\varphi \left( \omega \right)=- \dfrac{\pi}{2}$

per valori di pulsazioni superiori alla pulsazione di risonanza prevale il comportamento induttivo del circuito, quindi il bipolo RLC si comporterà come un circuito RL.

Inoltre:

$\lim_{\omega \to\infty }Z\left( \omega \right)=\infty$

$\lim_{\omega \to\infty}\varphi \left( \omega \right)=\dfrac{\pi}{2}$

Funzionamento in risonanza

Il valore massimo della corrente al variare della pulsazione è data dalla relazione:

$I_{M}=\dfrac{U_{M}}{\sqrt{R^{2}+\left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^{2} }}$

il cui andamento è riportato in figura 4

Figura 4 Ampiezza massima della corrente

Alla pulsazione di risonanza, l'ampiezza della corrente assume il suo valore massimo

$I_{M}=\dfrac{U_{M}}{R}$

e la corrente sarà in fase con la tensione di alimentazione dato il comportamento puramente ohmico del bipolo RLC.

Il diagramma fasoriale in condizione di risonanza è riportato in figura 5 (il diagramma è qualitativo)

Figura 5 Diagramma fasoriale

I fasori delle tensioni dell'induttanza e della capacità sono uguali in modulo e in opposizione di fase, pertanto la tensione sul resistore coincide con la tensione di alimentazione. Il bipolo serie assorbe solo potenza attiva.

La tensione sull'induttore alla risonanza vale:

$U_{L}=j \dfrac{U}{R} \omega_{0}L$

dalla quale si ricava

$Q_{0}=\dfrac{U_{L}}{U}=\dfrac{\omega_{0}L}{R}$

Il parametro adimensionale $Q 0$ prende il nome di fattore di merito (o fattore di qualità) del circuito. Se il riferimento è la tensione sul condensatore otteniamo l'espressione

$Q_{0}=\dfrac{U_{C}}{U}=\dfrac{1}{\omega_{0}RC}$

e, ancora, sostituendo la relazione della pulsazione di risonanza in una delle due relazioni precedenti otteniamo:

$Q_{0}=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$

Le precedenti espressioni sono equivalenti.

In particolare, il fattore di merito esprime il rapporto tra i valori efficaci delle tensioni dell'elemento reattivo e di alimentazione, alla pulsazione di risonanza (e non in qualsiasi condizione di funzionamento).

Il fattore di merito rappresenta un importante indice della selettività del bipolo: quanto maggiore è $Q 0$ , tanto più marcate sono le variazioni in modulo ed argomento della impedenza nell'intorno della pulsazione di risonanza (circuito selettivo: banda passante più stretta). Se i valori di R,L e C danno luogo a $Q 0 > 1$ si assiste ad una amplificazione del valore massimo della tensione. Infatti, in regime di risonanza con $Q 0 > 1$ la tensione ai capi di ogni singolo elemento reattivo è maggiore della tensione ai capi della serie. Il fattore di merito pertanto influisce decisamente sulle tensioni e correnti. Per chiarire questa dipendenza, studiamo il modulo del rapporto tra fasore corrente e corrente $I M$ (il rapporto è una funzione complessa), funzione della pulsazione $ω$ scelto $Q 0$ come parametro:

$M\left ( \omega \right )=\frac{1}{\sqrt{1+Q_{0}^{2}\left ( \frac{\omega }{\omega _{0}}-\frac{\omega _{0}}{\omega } \right )^{2}}}$

Rappresentando graficamente la funzione si evince che al crescere del parametro $Q 0$ , la curva sottende un'area sempre più stretta nell'intorno della pulsazione di risonanza.

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