Introduzione
Il fenomeno della risonanza può manifestarsi solo in circuiti che presentano proprietà induttive-capacitive. In un circuito esclusivamente ohmico-induttivo o ohmico-capacitivo il fenomeno della risonanza non può avere luogo.
Con le dovute eccezioni, nelle applicazioni di potenza il fenomeno della risonanza è da evitare, poiché porta alla genesi di tensioni interne di gran lunga maggiori di quelle imposte, se il fattore di merito è maggiore di uno. Tale condizione di funzionamento è pericolosa sia per l'incolumità delle persone che per l'integrità e il corretto funzionamento delle apparecchiature alimentate.
In altre situazioni, invece, il fenomeno della risonanza è il principio fisico su cui è basato il funzionamento stesso dell'apparecchiatura. Si pensi ai convertitori risonanti che permettono di eseguire le commutazioni con tensione e/o corrente nulla, all'amplificazione dei livelli di tensioni in alcune applicazioni di segnali e ai metodi a ponte in alternata nei quali il punto di equilibrio si realizza ricercando la condizione di risonanza.
Impedenza del circuito al variare della pulsazione
Il bipolo RLC di figura 1 è costituito dalla serie di un resistore di resistenza R, di un condensatore di capacità C e di un induttore di induttanza L, alimentato dalla tensione .
Il circuito si trova in regime sinusoidale.
L'impedenza del bipolo di figura 1 risulta:
.
L'ampiezza della tensione di alimentazione è mantenuta costante, la pulsazione, invece, viene variata al fine di studiare il comportamento in frequenza del bipolo stesso.
Il modulo dell'impedenza, ritenendo costanti i parametri del bipolo, è funzione della pulsazione ω della tensione di alimentazione:
,
il cui andamento è rappresentato in figura 2
Un ragionamento analogo è valido per l'argomento dell'impedenza:
Esiste un valore della pulsazione ω , ω0, per la quale le due reattanze, induttiva e capacitiva, si uguagliano:
.
Quando la pulsazione della tensione di alimentazione è pari ad ω0, il modulo dell'impedenza assume il valore minimo
In corrispondenza del valore minimo, la natura dell'impedenza è puramente resistiva e il suo argomento è nullo:
.
Questa particolare condizione di funzionamento prende il nome di risonanza serie e si dice che il generatore è in risonanza col circuito.
Dalla condizione di uguaglianza delle due reattanze si ricava l'espressione della pulsazione ω0, chiamata pulsazione di risonanza:
.
Dallo studio della funzione scaturiscono le seguenti considerazioni:
- per valori di pulsazioni inferiori alla pulsazione di risonanza prevale il comportamento capacitivo del circuito, quindi il bipolo RLC si comporterà come un circuito RC.
Inoltre:
- per valori di pulsazioni superiori alla pulsazione di risonanza prevale il comportamento induttivo del circuito, quindi il bipolo RLC si comporterà come un circuito RL.
Inoltre:
Funzionamento in risonanza
Il valore massimo della corrente al variare della pulsazione è data dalla relazione:
il cui andamento è riportato in figura 4
Alla pulsazione di risonanza, l'ampiezza della corrente assume il suo valore massimo
e la corrente sarà in fase con la tensione di alimentazione dato il comportamento puramente ohmico del bipolo RLC.
Il diagramma fasoriale in condizione di risonanza è riportato in figura 5 (il diagramma è qualitativo)
I fasori delle tensioni dell'induttanza e della capacità sono uguali in modulo e in opposizione di fase, pertanto la tensione sul resistore coincide con la tensione di alimentazione. Il bipolo serie assorbe solo potenza attiva.
La tensione sull'induttore alla risonanza vale:
dalla quale si ricava
Il parametro adimensionale Q0 prende il nome di fattore di merito (o fattore di qualità) del circuito.
Se il riferimento è la tensione sul condensatore otteniamo l'espressione
e, ancora, sostituendo la relazione della pulsazione di risonanza in una delle due relazioni precedenti otteniamo:
Le precedenti espressioni sono equivalenti.
In particolare, il fattore di merito esprime il rapporto tra i valori efficaci delle tensioni dell'elemento reattivo e di alimentazione, alla pulsazione di risonanza (e non in qualsiasi condizione di funzionamento).
Il fattore di merito rappresenta un importante indice della selettività del bipolo: quanto maggiore è Q0, tanto più marcate sono le variazioni in modulo ed argomento della impedenza nell'intorno della pulsazione di risonanza (circuito selettivo: banda passante più stretta). Se i valori di R,L e C danno luogo a Q0 > 1 si assiste ad una amplificazione del valore massimo della tensione. Infatti, in regime di risonanza con Q0 > 1 la tensione ai capi di ogni singolo elemento reattivo è maggiore della tensione ai capi della serie. Il fattore di merito pertanto influisce decisamente sulle tensioni e correnti. Per chiarire questa dipendenza, studiamo il modulo del rapporto tra fasore corrente e corrente IM (il rapporto è una funzione complessa), funzione della pulsazione ω scelto Q0 come parametro:
Rappresentando graficamente la funzione si evince che al crescere del parametro Q0, la curva sottende un'area sempre più stretta nell'intorno della pulsazione di risonanza.