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Risonanza serie

Introduzione

Il fenomeno della risonanza può manifestarsi solo in circuiti che presentano proprietà induttive-capacitive. In un circuito esclusivamente ohmico-induttivo o ohmico-capacitivo il fenomeno della risonanza non può avere luogo.

Con le dovute eccezioni, nelle applicazioni di potenza il fenomeno della risonanza è da evitare, poiché porta alla genesi di tensioni interne di gran lunga maggiori di quelle imposte, se il fattore di merito è maggiore di uno. Tale condizione di funzionamento è pericolosa sia per l'incolumità delle persone che per l'integrità e il corretto funzionamento delle apparecchiature alimentate.

In altre situazioni, invece, il fenomeno della risonanza è il principio fisico su cui è basato il funzionamento stesso dell'apparecchiatura. Si pensi ai convertitori risonanti che permettono di eseguire le commutazioni con tensione e/o corrente nulla, all'amplificazione dei livelli di tensioni in alcune applicazioni di segnali e ai metodi a ponte in alternata nei quali il punto di equilibrio si realizza ricercando la condizione di risonanza.

Impedenza del circuito al variare della pulsazione

Il bipolo RLC di figura 1 è costituito dalla serie di un resistore di resistenza R, di un condensatore di capacità C e di un induttore di induttanza L, alimentato dalla tensione u(t)=U_{M}\sin \left( \omega t\right).

Fig.1 Bipolo RLC

Fig.1 Bipolo RLC

Il circuito si trova in regime sinusoidale.


L'impedenza del bipolo di figura 1 risulta:


\dot{Z}=R+j\left(\omega L -\dfrac{1}{\omega C} \right) .


L'ampiezza della tensione di alimentazione è mantenuta costante, la pulsazione, invece, viene variata al fine di studiare il comportamento in frequenza del bipolo stesso.

Il modulo dell'impedenza, ritenendo costanti i parametri del bipolo, è funzione della pulsazione ω della tensione di alimentazione:


Z\left( \omega \right)=\sqrt{R^{2}+\left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^{2} } ,


il cui andamento è rappresentato in figura 2

Figura 2 Modulo impedenza

Figura 2 Modulo impedenza

Un ragionamento analogo è valido per l'argomento dell'impedenza:


\varphi\left( \omega \right) =\arctan \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}}{R}

Figura 3 Argomento dell

Figura 3 Argomento dell'impedenza

Esiste un valore della pulsazione ω , ω0, per la quale le due reattanze, induttiva e capacitiva, si uguagliano:


\omega_{0}L-\dfrac{1}{\omega_{0} C}=0.


Quando la pulsazione della tensione di alimentazione è pari ad ω0, il modulo dell'impedenza assume il valore minimo


Z\left( \omega_{0}\right)=R


In corrispondenza del valore minimo, la natura dell'impedenza è puramente resistiva e il suo argomento è nullo:


 \varphi \left( \omega_{0}\right)=0.


Questa particolare condizione di funzionamento prende il nome di risonanza serie e si dice che il generatore è in risonanza col circuito. Dalla condizione di uguaglianza delle due reattanze si ricava l'espressione della pulsazione ω0, chiamata pulsazione di risonanza:


\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}.


Dallo studio della funzione Z\left( \omega \right) scaturiscono le seguenti considerazioni:


  • per valori di pulsazioni inferiori alla pulsazione di risonanza prevale il comportamento capacitivo del circuito, quindi il bipolo RLC si comporterà come un circuito RC.

Inoltre:


\lim_{\omega \to0}Z\left( \omega \right)=\infty


\lim_{\omega \to0}\varphi \left( \omega \right)=- \dfrac{\pi}{2}


  • per valori di pulsazioni superiori alla pulsazione di risonanza prevale il comportamento induttivo del circuito, quindi il bipolo RLC si comporterà come un circuito RL.

Inoltre:


\lim_{\omega \to\infty }Z\left( \omega \right)=\infty


\lim_{\omega \to\infty}\varphi \left( \omega \right)=\dfrac{\pi}{2}


Funzionamento in risonanza

Il valore massimo della corrente al variare della pulsazione è data dalla relazione:


I_{M}=\dfrac{U_{M}}{\sqrt{R^{2}+\left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^{2} }}


il cui andamento è riportato in figura 4

Figura 4 Ampiezza massima della corrente

Figura 4 Ampiezza massima della corrente

Alla pulsazione di risonanza, l'ampiezza della corrente assume il suo valore massimo


I_{M}=\dfrac{U_{M}}{R}


e la corrente sarà in fase con la tensione di alimentazione dato il comportamento puramente ohmico del bipolo RLC.

Il diagramma fasoriale in condizione di risonanza è riportato in figura 5 (il diagramma è qualitativo)

Figura 5 Diagramma fasoriale

Figura 5 Diagramma fasoriale

I fasori delle tensioni dell'induttanza e della capacità sono uguali in modulo e in opposizione di fase, pertanto la tensione sul resistore coincide con la tensione di alimentazione. Il bipolo serie assorbe solo potenza attiva.

La tensione sull'induttore alla risonanza vale:


U_{L}=j \dfrac{U}{R} \omega_{0}L


dalla quale si ricava


Q_{0}=\dfrac{U_{L}}{U}=\dfrac{\omega_{0}L}{R}


Il parametro adimensionale Q0 prende il nome di fattore di merito (o fattore di qualità) del circuito. Se il riferimento è la tensione sul condensatore otteniamo l'espressione


Q_{0}=\dfrac{U_{C}}{U}=\dfrac{1}{\omega_{0}RC}


e, ancora, sostituendo la relazione della pulsazione di risonanza in una delle due relazioni precedenti otteniamo:


Q_{0}=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}


Le precedenti espressioni sono equivalenti.

In particolare, il fattore di merito esprime il rapporto tra i valori efficaci delle tensioni dell'elemento reattivo e di alimentazione, alla pulsazione di risonanza (e non in qualsiasi condizione di funzionamento).

Il fattore di merito rappresenta un importante indice della selettività del bipolo: quanto maggiore è Q0, tanto più marcate sono le variazioni in modulo ed argomento della impedenza nell'intorno della pulsazione di risonanza (circuito selettivo: banda passante più stretta). Se i valori di R,L e C danno luogo a Q0 > 1 si assiste ad una amplificazione del valore massimo della tensione. Infatti, in regime di risonanza con Q0 > 1 la tensione ai capi di ogni singolo elemento reattivo è maggiore della tensione ai capi della serie. Il fattore di merito pertanto influisce decisamente sulle tensioni e correnti. Per chiarire questa dipendenza, studiamo il modulo del rapporto tra fasore corrente e corrente IM (il rapporto è una funzione complessa), funzione della pulsazione ω scelto Q0 come parametro:


M\left ( \omega  \right )=\frac{1}{\sqrt{1+Q_{0}^{2}\left ( \frac{\omega }{\omega _{0}}-\frac{\omega _{0}}{\omega } \right )^{2}}}


Rappresentando graficamente la funzione si evince che al crescere del parametro Q0, la curva sottende un'area sempre più stretta nell'intorno della pulsazione di risonanza.

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