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Abstract

In questo articolo è eseguita "manualmente" la verifica di una linea usando i tre circuiti equivalenti validi per linee corte, medie e lunghe, illustrati nel precedente articolo. Le verifiche sono effettuate sia usando il metodo delle potenze che il calcolo simbolico.
Viene successivamente proposto un semplice script Scilab per verificare una qualsiasi linea, aerea o in cavo, fornendo i dati della potenza in arrivo, la lunghezza della linea e le sue costanti fondamentali. E' uno script che traduce in pratica il procedimento analitico descritto nell'articolo già citato.
Ricordo che Scilab è un software di matematica open source simile a Matlab, scaricabile da qui e che in questo articolo c'è una specie di introduzione.

Testo

Una linea aerea trifase lunga $d= 140 \, \text{km}$ trasmette all'arrivo una potenza apparente $N=150 \, \text{MVA}$ alla tensione $U_a=210 \, \text{kV}$ , con un fattore di potenza $f . p . = 0,85 R$ .
Le costanti di linea sono $l=2{,}33 \, \text{mH/km} \, , \, c=11 \, \text{nF/km} \, , \, r=0{,}12 \, \Omega /\text{km}$ .
Si trascura la conduttanza.

Calcolare ad tensione e corrente alla partenza usando i tre possibili modelli di linea corta media e lunga visti nel precedente articolo per confrontarne i risultati e per le due frequenze $f=50 \, \text{Hz}$ e $f=60 \, \text{Hz}$

Soluzione

Corrente, potenza attiva e reattiva in arrivo valgono, rispettivamente $I_a=\frac {N}{\sqrt{3} U_a}=\frac{150 \times 10^6}{\sqrt{3} \times 210 \times 10^3}=412 \, \text{A}$
$P_a=N \cos \varphi=150 \times 10^6 \times 0{,}85=128 \, \text{MW}$
$Q_a=N \sin \varphi=150 \times 10^6 \times \sqrt{1-0{,}85^2}=79 \, \text{Mvar}$
f=50 Hz
$x_{50}=2 \pi 50 \times 2{,}33 \times 10^{-3}=0{,}732 \, \Omega / \text{km}$
$y_{50}=2 \pi 50 \times 11 \times 10^{-9}=3{,}46 \times 10^{-6} \, \text{S/km}$
f=60 Hz
$x_{60}=1{,}2x_{50}=0{,}878 \, \Omega / \text{km}$
$y_{60}=1{,}2y_{50}=4{,}15 \times 10^{-6} \, \text{S/km}$
Resistenza, reattanza ed ammettenza totali valgono

$R=rd=0{,}12 \times 140=16{,}8 \, \Omega$
f=50 Hz
$X_{50}=xd=0{,}732 \times 140 \times 10^3=102 \, \Omega$
$Y_{50}=3{,}46 \times 10^{-6}\times 140=4{,}84 \times 10^{-4} \, \text{S/km}$
f=60 Hz
$X_{60}=102 \times 1{,}2 =122 \, \Omega$
$Y_{60}=1,2 \times 4{,}84=5{,}8 \times 10^{-4} \, \text{S/km}$ La potenza apparente in arrivo è

${\dot N_a} = {P_a} + {\rm{j}}{Q_a} = 128 + {\rm{j}}79 \, {\rm{ MVA}}$

Prima ipotesi: Linea corta

Si considerano solo la reattanza longitudinale totale e la resistenza.
Il modello circuitale è allora

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

ed i parametri di trasmissione valgono

$\dot A=1 \quad ; \quad \dot C=0 \quad ; \quad \dot B= \dot Z \quad ; \dot D=1$

Metodo delle potenze

f=50 Hz

$P_p=P_a+3RI_a^2=128 +3 \times 16,8 \times 0{,}412^2=137 \, \text{MW}$

$Q_{p_{50}}=Q_a+3X_{50}I_a^2=79+3 \times 102 \times 0{,}412^2=131 \, \text{Mvar}$

$N_{p_{50}}=\sqrt{P_p^2+Q_{p_{50}}^2}=\sqrt{137^2+131^2}=190 \, \text{MVA}$

$U_{p_{50}}=\frac{N_{p_{50}}}{\sqrt{3} I_p}=\frac{190}{\sqrt{3} \times 0{,}412}=266 \, \text{kV}$

f=60 Hz

$Q_{p_{60}}=141 \, \text{Mvar}$
$N_{p_{60}}=197 \, \text{MVA}$
$U_{p_{60}}=276 \, \text{kV}$

Calcolo simbolico con i parametri

$\dot E_p=\dot E_a + \dot Z \dot I_a$
$\dot I_p= \dot I_a$

$\begin{array}{l} {{\dot E}_a} = \frac{{210}}{{\sqrt 3 }}\angle 0 = 121\angle 0 \, \text{kV}\\ {{\dot I}_a} = {I_a}\angle - \arccos 0{,}85 = 412\angle - 31{,}8 \, \text{A}\\ \end{array}$

f=50 Hz

$\begin{array}{l} {{\dot E}_{{p_{50}}}} = 121\angle 0 + \left( {16{,}8 + \text{j}102} \right) \times 0{,}412\angle - 31{,}8 =\\ \\ = 121 + 104\angle 80{,}7 \times 0{,}412\angle - 31{,}8 = \\ \\ = 121 + 42{,}8\angle 48{,}9 = 121 + 28{,}1 + \text{j}32{,}3 = 153\angle 12{,}2{\rm{kV}}\\ \\ {U_{{p_{50}}}} = \sqrt 3 \times 153 = 265 \, {\rm{kV}} \end{array}$

f=60 Hz

$\begin{array}{l}{{\dot E}_{{p_{60}}}} = 158\angle 14{,}3 \, {\rm{kV}}\\ {U_{{p_{60}}}} = \sqrt 3 \times 158 = 274 \, {\rm{kV}}\\ N_{p_{60}}=\sqrt 3 \times 274 \times 0{,}412=196 \, \text{MVA} \end{array}$

Corrente a vuoto

La corrente in partenza con arrivo aperto è nulla $\dot I_{pv}=\dot C \dot E_a=0$

Seconda ipotesi: linea di media lunghezza

Il circuito equivalente è

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$f=50 \, \text{Hz}$

I parametri di trasmissione sono $\begin{array}{l} \dot A_{50} = \left( {\frac{{\dot Z_{50}\dot Y_{50}}}{2} + 1} \right) = \left[ {\frac{{\left( {16{,}8 + {\rm{j}}102} \right){\rm{j}}4{,}84 \times {{10}^{ - 4}}}}{2} + 1} \right] = 0{,}975 + {\rm{j}}0{,}00406\\ \\ \dot B_{50} = \dot Z_{50} = 16{,}8 + {\rm{j}}102 \, \Omega\\ \\ \dot C_{50} = \dot Y_{50}\left( {\frac{{\dot Z_{50}\dot Y_{50}}}{4} + 1} \right) = {\rm{j}}4{,}84 \times {10^{ - 4}} \times \left[ {\frac{{\left( {16{,}8 + {\rm{j}}102} \right){\rm{j}}4{,}84 \times {{10}^{ - 4}}}}{4} + 1} \right] = \\ \\ = {\rm{j}}4{,}84 \times {10^{ - 4}} \times \left( {{\rm{j}}0{,}00203 + 0{,}987} \right) = \left( { - 0{,}0098 + \text{j}4{,}78} \right) \times {10^{ - 4}} \, \text{S} \end{array}$

quindi

$\begin{array}{l} {{\dot E}_{{p_{50}}}} = {{\dot A}_{50}}{{\dot E}_a} + {{\dot B}_{50}}{{\dot I}_a} = \left( {0{,}975 + {\rm{j}}0{,}00406} \right) \times 121 + \left( {16{,}8 + {\rm{j}}102} \right)0{,}412\angle - 31{,}8 = \\ \\ = 118 + {\rm{j}}0{,}491 + 42{,}6\angle 48{,}8 = 146 + {\rm{j}}32{,}5 = 150\angle 12{,}5 \, {\rm{V}}\\ \\ {U_{{p_{50}}}} = \sqrt 3 \times 150 = 260 \, {\rm{V}} \end{array}$
$\begin{array}{l} {{\dot I}_{{p_{50}}}} = {{\dot C}_{50}}{{\dot E}_a} + {{\dot A}_{50}}{{\dot I}_a} = \left( { - 0{,}0098 + {\rm{j}}4{,}78} \right) \times {10^{ - 4}} \times 121 \times {10^3} + \left( {0{,}975 + {\rm{j}}0{,}00406} \right) \times 412\angle - 31{,}8 = \\ \\ = - 0{,}119 + {\rm{j}}57{,}8 + 402\angle - 31{,}6 = 342 - {\rm{j}}153 = 375\angle - 24 \, {\rm{A}} \end{array}$

Corrente a vuoto

$\dot I_{{pv}_{50}}=\dot C_{50} \dot E_a=\left( { - 0{,}0098 + \text{j}4{,}78} \right) \times 10^{ - 4} \times \frac{210 \times 10^3}{\sqrt{3}}=$
$=-0{,}119+\text{j}57{,}9 =57{,}9 \angle 90{,}1 \, \text{A}$

Metodo delle potenze

$\begin{array}{l} {Q_{{a_{c/2,50}}}} = 3\frac{{{Y_{60}}}}{2}E_a^2 = \frac{{{Y_{60}}U_a^2}}{2} = \frac{{4,83}}{2} \times {10^{ - 4}} \times {210^2} \times {10^6} = 10{,}7 \, {\rm{Mvar}}\\ \\ {N_{{a_{{\rm{sinistra,50}}}}}} = \sqrt {P_a^2 + {{\left( {{Q_a} - {Q_{{a_{c/2,50}}}}} \right)}^2}} = \sqrt {{{128}^2} + {{\left( {79 - 10{,}7} \right)}^2}} = 145 \, {\rm{MVA}}\\ \\ {I_{{L_{50}}}} = \frac{{{N_{{a_{{\rm{sinistra,50}}}}}}}}{{\sqrt 3 {U_a}}} = \frac{{145 \times {{10}^6}}}{{\sqrt 3 \times 210 \times {{10}^3}}} = 399 \, {\rm{A}}\\ \\ {P_{{p_{50}}}} = {P_a} + 3RI_{{L_{50}}}^2 = 128 + 3 \times 16{,}8 \times {0{,}399^2} = 136 \, {\rm{MW}}\\ \\ {Q_{{p_{{\rm{destra,50}}}}}} = {Q_a} - {Q_{{a_{c/2,50}}}} + 3{X_{{L_{50}}}}I_L^2 = 79 - 10{,}7 + 3 \times 102 \times {0{,}399^2}=\\ =117 \, {\rm{Mvar}}\\ {N_{{p_{{\rm{destra,50}}}}}} = \sqrt {P_p^2 + Q_{{p_{{\rm{destra,50}}}}}^2} = \sqrt {{{136}^2} + {{117}^2}} = 179 \, {\rm{MVA}}\\ {U_{{p_{50}}}} = \frac{{{N_{{p_{{\rm{destra,50}}}}}}}}{{\sqrt 3 {I_{{L_{50}}}}}} = \frac{{179}}{{\sqrt 3 \times 0{,}399}} = 259 \, {\rm{kV}}\\ \\ {Q_{{p_{c/2,50}}}} = 3\frac{{{Y_{50}}}}{2}E_{{p_{50}}}^2 = \frac{{{Y_{50}}U_{{p_{50}}}^2}}{2} = \frac{{4{,}83}}{2} \times {10^{ - 4}} \times {259^2} \times {10^6} = 16{,}2 \, {\rm{Mvar}}\\ \\ {Q_{{p_{50}}}} = {Q_{{p_{destra,50}}}} - {Q_{{p_{c/2,50}}}} = 117 - 16{,}2 = 101 \, {\rm{Mvar}}\\ \\ {N_{{p_{50}}}} = \sqrt {P_{{p_{50}}}^2 + Q_{{p_{50}}}^2} = \sqrt {{{136}^2} + {{101}^2}} = 169 \, {\rm{MVA}}\\ \\ {I_{{p_{50}}}} = \frac{{{N_{{p_{50}}}}}}{{\sqrt 3 {U_{{p_{50}}}}}} = \frac{{169 \times {{10}^6}}}{{\sqrt 3 \times 259 \times {{10}^3}}} = 376 \, {\rm{A}} \end{array}$

f=60 Hz

parametri

$\begin{array}{l} \dot A_{60} = \left( {\frac{{\dot Z_{60}\dot Y_{60}}}{2} + 1} \right) = \left[ {\frac{{\left( {16{,}8 + {\rm{j}}122} \right){\rm{j}}5{,}8 \times {{10}^{ - 4}}}}{2} + 1} \right] = 0{,}964 + {\rm{j}}0{,}00487\\ \\ \dot B_{60} = \dot Z_{60} = 16{,}8 + {\rm{j}}123\\ \\ \dot C_{60} = \dot Y_{60}\left( {\frac{{\dot Z_{60}\dot Y_{60}}}{4} + 1} \right) = {\rm{j}}5{,}8 \times {10^{ - 4}} \times \left[ {\frac{{\left( {16{,}8 + {\rm{j}}122} \right){\rm{j}}5{,}8 \times {{10}^{ - 4}}}}{4} + 1} \right] = \\ \\ = {\rm{j}}5{,}8 \times {10^{ - 4}} \times \left( {{\rm{j}}0{,}00244 + 0{,}982} \right) =\\ \\ = \left( { - 0{,}0142 + \text{j}5{,}7} \right) \times {10^{ - 4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {{\dot E}_{{p_{60}}}} = \left( {0{,}964 + {\rm{j}}0{,}00487} \right) \times 121\angle 0 + \left( {16{,}8 + {\rm{j}}122} \right)\times 0{,}412\angle - 31{,}8 = \\ \\ = 117 + {\rm{j}}0{,}589 + 123\angle 82{,}2 \times 0{,}412\angle - 31{,}8 = \\ \\ =150 + \text{j}39{,}4 = 155\angle 14{,}7 \, \text{V}\\ \\ {U_{{p_{60}}}} = 268 \, \text{V} \end{array}$
$\begin{array}{l} {{\dot I}_{{p_{60}}}} = {{\dot C}_{60}}{{\dot E}_a} + {{\dot A}_{60}}{{\dot I}_a} = \left( { - 0{,}0142 + {\rm{j}}5{,}7} \right) \times {10^{ - 4}} \times 121 \times {10^3} + \\ \\ + \left( {0{,}964 + {\rm{j}}0{,}00487} \right) \times 412\angle - 31{,}8 = \\ \\ = - 0{,}172 + {\rm{j}}69 + 397\angle - 31{,}5 = 338 - {\rm{j}}138 = 365\angle - 22{,}2{\rm{A}} \end{array}$

Corrente a vuoto

$\dot I_{{pv}_{60}}=\dot C_{60} \dot E_a=\left( { - 0{,}0142 + \text{j}5,7} \right) \times 10^{ - 4} \times \frac{210 \times 10^3}{\sqrt{3}}=$
$=-0{,}172+\text{j}69{,}1 =69{,}1 \angle 90{,}1 \, \text{A}$

Metodo delle potenze

$\begin{array}{l} {Q_{{a_{c/2,60}}}} = 3\frac{{{Y_{60}}}}{2}E_a^2 = \frac{{{Y_{60}}U_a^2}}{2} = \frac{{5,8}}{2} \times {10^{ - 4}} \times {210^2} \times {10^6} = 12{,}8 \, {\rm{Mvar}}\\ \\ {N_{{a_{{\rm{sinistra,60}}}}}} = \sqrt {P_a^2 + {{\left( {{Q_a} - {Q_{{a_{c/2,60}}}}} \right)}^2}} = \sqrt {{{128}^2} + {{\left( {79 - 12{,}8} \right)}^2}} = 144 \, {\rm{MVA}}\\ \\ {I_{{L_{60}}}} = \frac{{{N_{{a_{{\rm{sinistra,60}}}}}}}}{{\sqrt 3 {U_a}}} = \frac{{144 \times {{10}^6}}}{{\sqrt 3 \times 210 \times {{10}^3}}} = 396 \, {\rm{A}}\\ \\ {P_{{p_{60}}}} = {P_a} + 3RI_L^2 = 128 + 3 \times 16{,}8 \times {0{,}396^2} = 136 \, {\rm{MW}}\\ \\ {Q_{{p_{{\rm{destra,60}}}}}} = {Q_a} - {Q_{{a_{c/2,60}}}} + 3{X_{{L_{60}}}}I_{{L_{60}}}^2 = \\ =79 - 12{,}8 + 3 \times 122 \times {0{,}396^2} = 124 \, {\rm{Mvar}}\\ \\ {N_{{p_{{\rm{destra,60}}}}}} = \sqrt {P_{p_{60}}^2 + Q_{{p_{{\rm{destra,60}}}}}^2} = \sqrt {{{136}^2} + {{124}^2}} = 184 \, {\rm{MVA}}\\ \\ {U_{{p_{60}}}} = \frac{{{N_{{p_{{\rm{destra,60}}}}}}}}{{\sqrt 3 {I_{{L_{60}}}}}} = \frac{{184}}{{\sqrt 3 \times 0{,}396}} = 268 \,{\rm{kV}}\\ \\ {Q_{{p_{c/2,60}}}} = 3\frac{{{Y_{60}}}}{2}E_p^2 = \frac{{{Y_{60}}U_{{p_{60}}}^2}}{2} = \frac{{5{,}8}}{2} \times {10^{ - 4}} \times {268^2} \times {10^6} = 20{,}8 \, {\rm{Mvar}}\\ \\ {Q_{{p_{60}}}} = {Q_{{p_{{\rm{destra,60}}}}}} - {Q_{{p_{c/2,60}}}} = 124 - 20{,}8 = 103 \, {\rm{Mvar}}\\ \\ {N_{{p_{60}}}} = \sqrt {P_{{p_{60}}}^2 + Q_{{p_{60}}}^2} = \sqrt {{{136}^2} + {{103}^2}} = 171 \, {\rm{MVA}}\\ \\ {I_{{p_{60}}}} = \frac{{{N_{{p_{60}}}}}}{{\sqrt 3 {U_{{p_{60}}}}}} = \frac{{171 \times {{10}^6}}}{{\sqrt 3 \times 268 \times {{10}^3}}} = 368 \, {\rm{A}} \end{array}$

Terza ipotesi: linea lunga

Il circuito equivalente da adottare è

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

dove per la frequenza di 50 Hz
${{\dot Z}_{{L_{50}}}} = {{\dot Z}_{50}}\frac{{\sinh {{\dot \theta }_{50}}}}{{{{\dot \theta }_{50}}}}$

${{\dot Z}_{50}} = R + {\rm{j}}{X_{50}} = 16{,}8 + {\rm{j}}102$

$\begin{array}{l} {{\dot \theta }_{50}} = {{\dot k}_{50}}d = d\sqrt {\left( {r + {\rm{j}}{x_{50}}} \right)\left( {g + {\rm{j}}{y_{50}}} \right)} = 140\sqrt {\left( {0{,}12 + {\rm{j}}0{,}732} \right){\rm{j3{,}46}} \times {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 6}}} = \\ \\ = 0{,}140\sqrt { - 2{,}53 + {\rm{j}}0{,}415} = 0,140\sqrt {2{,}56\angle 171} \\ \\ = 0{,}224\angle 85{,}5 = 0{,}0176 + {\rm{j}}0{,}223 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sinh {{\dot \theta }_{50}} = \frac{{{e^{{{\dot \theta }_{50}}}} - {e^{ - {{\dot \theta }_{50}}}}}}{2} = \frac{{{e^{0{,}0176 + {\rm{j}}0{,}223}} - {e^{ - 0{,}0176 - {\rm{j}}0,223}}}}{2} = \frac{{1{,}018\angle 12{,}8 - 0,983\angle - 12{,}8}}{2} = \\ \\ = \frac{{0{,}993 + {\rm{j}}0{,}226 - 0{,}959 + {\rm{j}}0{,}218}}{2} = 0{,}017 + {\rm{j}}0{,}222 = 0{,}223\angle 85,6\\ \\ \frac{{\sinh {{\dot \theta }_{50}}}}{{{{\dot \theta }_{50}}}} = \frac{{0{,}223\angle 85{,}6}}{{0{,}224\angle 85{,}5}} = 0{,}996\angle 0{,}1 \end{array}$

${{\dot Z}_{{L_{50}}}} = {{\dot Z}_{50}}\frac{{\sin {{\dot \theta }_{50}}}}{{{{\dot \theta }_{50}}}} = 103\angle 80{,}6 \times 0{,}996\angle 0{,}1 = 102{,}6\angle 80{,}7 =16{,}6+\text{j}101 \, \Omega$

$\begin{array}{l} \sinh \frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2} = \frac{{{e^{\frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2}}} - {e^{ - \frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2}}}}}{2} = \frac{{{e^{0{,}0088 + {\rm{j}}0{,}112}} - {e^{ - 0{,}0088 - {\rm{j}}0{,}112}}}}{2} = \frac{{1{,}008\angle 6{,}4 - 0{,}991\angle - 6{,}4}}{2} = \\ \\ = \frac{{1{,}0017 + {\rm{j}}0{,}112 - 0{,}985 + {\rm{j}}0{,}110}}{2} = 0{,}00835 + {\rm{j}}0{,}111 = 0{,}111\angle 85{,}7\\ \\ \cosh \frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2} = \frac{{{e^{\frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2}}} + {e^{ - \frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2}}}}}{2} = \frac{{{e^{0{,}0088 + {\rm{j}}0{,}112}} + {e^{ - 0{,}0088 - {\rm{j}}0{,}112}}}}{2} = \frac{{1{,}008\angle 6{,}4 - 0{,}991\angle - 6{,}4}}{2} = \\ \\ = \frac{{1{,}0017 + {\rm{j}}0{,}112 + 0{,}985 - {\rm{j}}0{,}110}}{2} = 0{,}993 + {\rm{j}}0{,}001 = 0{,}993\angle 0,057\\ \\ \tan \frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2} = \frac{{\sinh \frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2}}}{{\cosh \frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2}}} = \frac{{0{,}111\angle 85{,}7}}{{0{,}993\angle 0{,}057}} = 0{,}112\angle 85{,}6\\ \\ \frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2} = \frac{{0{,}224\angle 85{,}5}}{2} = 0{,}112\angle 85{,}5\\ \\ \frac{{\tan \frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2}}}{{\frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2}}} = \frac{{0{,}112\angle 85{,}6}}{{0{,}112\angle 85{,}5}} = 1\angle 0{,}1 \end{array}$
${{\dot Y}_{{T_{50}}}} = \frac{{{{\dot Y}_{50}}}}{2}\frac{{\tanh \frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2}}}{{\frac{{{{\dot \theta }_{50}}}}{2}}} = \frac{{4{,}84\angle 90}}{2} \times 1\angle 0{,}1 = 2{,}42\angle 89{,}9$

I valori di $\dot Z_L$ e di $\dot Y_T$ non sono praticamente diversi da quelli utilizzati nell'ipotesi di linea di lunghezza media; il circuito equivalente a $π$ rimane dunque lo stesso ed i valori delle grandezze in ingresso pure. Lo stesso si ha per la frequenza di 60 Hz.
Inutile quindi svolgere nuovi calcoli.

Confronto dei risultati

Ipotesi	$U_p \, \text{kV}$	$I_p \, \text{A}$	$P_p \, \text{MW}$	$Q_p \, \text{Mvar}$
linea corta (50;60) Hz	$265$ ; $274$	$412$ ; $412$	$137$ ; $137$	$131$ ; $141$
linea media (50;60) Hz	$260$ ; $268$	$375$ ; $365$	$136$ ; $136$	$101$ ; $103$

Come si può constatare c'è una discreta differenza, in particolare per quanto riguarda la corrente e la potenza reattiva in partenza, dell'ordine del 10%. Ciò è dovuto all'impedenza capacitiva della linea che fornisce parte della potenza induttiva richiesta dal carico.
Oltre a questo c'è la notevole consistenza della corrente a vuoto di cui tenere a conto 69 A a 60Hz e 57 A a 50 Hz, di cui il modello per linea corta non tiene conto.

I calcoli sono abbastanza lunghi e faticosi da svolgere manualmente, pur con l'ausilio delle calcolatrici. Da qui la convenienza di saper scegliere il circuito approssimato sufficiente per l'analisi della linea.
L'impostazione di un software universale si baserà ad ogni modo sul metodo valido per linee lunghe che comprende anche i casi approssimati.

Lo script Scilab che segue svolge appunto i calcoli utilizzando il metodo valido per ogni tipo di linea.

Script Scilab

Per eseguire lo script basta copiare il codice ed incollarlo nella finestra Scilab. E' molto semplice e ed ha il solo scopo di velocizzare la verifica di linee di cui si conoscono tutte le caratteristiche.

//valori di default
Un$='380';//tensione nominale
Pa$='600';//MW: potenza attivain arrivo
fp$='0.98';//fattore di potenza in arrivo
Ua$='360';//kV: tensione in arrivo
f$='50';//Hz: frequenza di alimentazione
d$='300';//km, lunghezza della lina
c$='13.1';//capacità unitaria linea nF/km
l$='0.86';//induttanza unitaria mH/km
g$='0';//conduttanza unitaria S/km
r$='0.021';//resistenza unitaria linee
continua=1;//flag di continuazione
linea=[];//vettore parametri linea
Dati$=[Un$;Pa$;fp$;'S';Ua$;f$;d$;l$;
c$;r$;g$]
txt=['Un (kV)';'Pa (MW)'; 'fp';'Carico Induttivo';'Ua (kV)';'f (Hz)'; 'd (km)'; 
'l(mH/km)';'c (nF/km)';'r (ohm/km)';'g (S/km)'];//stringa di dialogo
while continua==1,
        linea=x_mdialog('Caratteristiche della linea',txt,Dati$);
    j=%i*1; //unità immaginaria
    rq3=sqrt(3); //radice quadrata di tre
    Un=evstr(linea(1));//tensione nominale
    Pa=evstr(linea(2));//MW: potenza attivain arrivo
    f=evstr(linea(6)); //Hz: frequenza di alimentazione
    Ua=evstr(linea(5)); //kV: tensione in arrivo
    fp=evstr(linea(3)); //fattore di potenza in arrivo
    carico=linea(4)//natura del carico
    if carico == 'S' then tc=1 
        else tc=-1;
    end
    d=evstr(linea(7));//km, lunghezza della lina
    
    //costanti fondamentali della linea
    
    l=evstr(linea(8));//mH/km
    c=evstr(linea(9));//nF/km
    if c==0 then c=10^(-10)
        end//evita la divisione per zero
    r=evstr(linea(10));//ohm/km
    g=evstr(linea(11));//S/km
    
    N=Pa/fp;
    Ea=Ua/sqrt(3);
    Na=N*fp+j*tc*N*sqrt(1-fp^2);//MW
    Iac=Na/(3*Ea);//kA, corrente complessa coniugata
    Ia=real(Iac)-j*imag(Iac);//corrente complessa in arrivo
    z=r+j*2*%pi*f*l*10^(-3);//ohm/km, 
    y=g+j*2*%pi*f*c*10^(-9);//S/km
    k=sqrt(z*y);//1/km: costante di propagazione
    Z0=sqrt(z/y);//ohm: impedenza caratteristica
    Z0$=string(round(real(Z0)))+'+('+string(round(imag(Z0)))+')j';
    Z0c=real(Z0)-j*imag(Z0);//impedenza caratteristica coniugata
    N0=Un^2/Z0c;
    theta=k*d;// costante di propagazione totale
    Z=z*d;//ohm
    Y=y*d;//S
    //parametri del circuito equivalente a pigreco
    ZL=Z*(sinh(theta)/theta);//ohm
    YT=Y*(tanh(theta/2)/(theta/2));//S
    //matrice di trasmissione
    A=cosh(theta);
    B=Z*sinh(theta)/theta;
    C=Y*sinh(theta)/theta;
    D=A;
    // grandezze in partenza
    Ep=A*Ea+B*Ia;//kV: tensione stellata in partenza
    Ip=C*Ea+D*Ia;//kA: corrente in partenza
    Ipc=real(Ip)-j*imag(Ip);//corrente complessa coniugata in partenz a
    Np=3*Ep*Ipc;//potenza complessa in partenza
    Up=rq3*abs(Ep); //tensione concatenata in partenza
    sfasamento=atand(imag(Ep)/real(Ep));
    DeltaU=(Up-Ua)/Ua; //caduta di tensione percentuale
    DeltaN=Np-Na;//potenza complessa imegnata dalla linea
    DeltaP=real(DeltaN);//real(Na); //potenza percentuale persa
    eta=1/(1+DeltaP/Pa);//rendimento della lineaEp
    Up$=string(round(Up));
    Ua$=string(round(Ua));
    Ip$=string(round(1000*abs(Ip)));
    DU$=string(round(DeltaU*1000)/10);
    Dp$=string(round((DeltaP/Pa)*1000)/10);
    sf$=string(round(sfasamento*10)/10);
    eta$=string(round(eta*1000)/10);
    Pp$=string(round(real(Np)))
    Qp$=string(round(imag(Np)));
    Ia$=string(round(abs(1000*Ia)));
    N0$=string(round(real(N0)))+'+('+string(round(imag(N0)))+'j)';
    Na$=string(Pa)+'+('+string(round(imag(Na)))+'j)';
    Un$=string(Un);
    
    risultati_txt=['Tensione nominale (kV)';
    'impedenza caratteristica (ohm)';
    'Potenza naturale [P0 (MW)+jQ0 (Mvar)]';
    'Potenza in arrivo [Pa (MW)+jQa (Mvar)]';
    'Tensione in arrivo Ua (A)';
    'Corrente in arrivo Ia (kV)';
    'Tensione in partenza Up (kV)';
    'Corrente in partenza Ip (A)';
    'Caduta di tensione %';'Perdita di potenza %';
    'Sfasamento tra tensione in partenza ed in arrivo (deg)';
    'rendimento%';'Potenza attiva in partenza Pa (MW)';
    'Potenza reattiva in partenza Qa (Mvar)';];
    risultati=x_mdialog('Risultati',risultati_txt,[Un$;Z0$;N0$;Na$;Ua$;
    Ia$;Up$;Ip$;DU$;Dp$;sf$;eta$;Pp$;Qp$]);
    Dati$=linea;
    continua=messagebox("Continuare?", "modal", "info", ["Yes" "No"])
   
end

Esercizi svolti

Con lo script sono stati svolti i calcoli di verifica di due linee, una aerea per la quale si analizzano le grandezze al variare della potenza richiesta all'arrivo, ed una in cavo dove si calcolano le grandezze per la stessa potenza in arrivo, variano la sezione del cavo. I risultati sono riportati nelle tabelle.

Linea aerea

Corda Alluminio-Acciaio $( S_{Al}=519 \, \text{mm}^2$ ; $S_{Acc}=66 \, \text{mm}^2 )$

$U_n=380 \, \text{kV}$
$d=300 \, \text{km}$
$r=0,021 \, \Omega/\text{km}$
$l=0,854 \,\text{mH/km}$
$g=0 \, \text{S/km}$
$c=8,7 \, \text{nF/km}$

Nella tabella che segue sono riportati i risultati di alcune condizioni di funzionamento.

Potenza naturale $P 0 + j Q 0 = 566 - j22$

$P_a\, \text{MW}$	$Q_a \, \text{Mvar}$	$U_a \, \text{kV}$	$I_a \, \text{A}$	$U_p \, \text{kV}$	$I_p \, \text{A}$	$\vartheta$	$P_p \, \text{MW}$	$Q_p \, \text{Mvar}$	$Δ U %$	$Δ P %$
$566$	$- 22$	$380$	$861$	$385$	$871$	$19,2$	$580$	$- 20$	$1,3$	$2,5$
$600$	$120$	$360$	$982$	$402$	$918$	$18,2$	$617$	$163$	$11,6$	$2,9$
$750$	$150$	$360$	$1226$	$421$	$1144$	$23,9$	$777$	$306$	$17$	$3,6$
$800$	$160$	$350$	$1345$	$423$	$1255$	$25.3$	$832$	$391$	$20.9$	$4$

Si nota come poco al di sopra della potenza naturale sia notevole la caduta di tensione, per cui anche ammettendo ad esempio in arrivo una tensione inferiore alla nominale, si abbia in partenza una tensione elevata. Per una linea a tensione nominale di 380 kV, la tensione che normativamente non si deve superare è di 420 kV ( CEI 28-3 "Coordinamento degli isolamenti)

Linea in cavo

$U_a= 110 \, \text{kV}$
$P_a = 100\, \text{MW}$
$\cos \varphi_a= 0,9_R$
$d= 50 \, \text{km}$

Supponiamo di usare il cavo seguente in rame (temperatura 90°C)

Riportiamo alcuni risultati relativi a tre ipotesi di sezione

$S \, \text{mm}^2$	$U_a \, \text{kV}$	$I_a \, \text{A}$	$U_p \, \text{kV}$	$I_p \, \text{A}$	$\vartheta$	$P_p \, \text{MW}$	$Q_p \, \text{Mvar}$	$Δ U %$	$Δ P %$
$240$	$110$	$583$	$117$	$538$	$2,6$	$105$	$31$	$6,4$	$4,6$
$400$	$110$	$583$	$115$	$533$	$2,7$	$103$	$27$	$4,7$	$2,9$
$630$	$110$	$583$	$114$	$527$	$2,7$	$102$	$21$	$3,4$	$1,8$

Bibliografia

ELECTRIC MACHINERY and POWER SISTEM FUNDAMENTALS, Stephen J. Chapman, 
Mc Graw Hill, 2002

COMPLEMENTI DI IMPIANTI ELETTRICI- Lorenzo Fellin, 
DIADE, Padova 2005

TRASMISSIONE E DISTRIBUZIONE DELL'ENERGIA ELETTRICA VOL II, 
N. Faletti - P. Chizzolini,
Patron Editore , Bologna 2005

Lezioni di TRASMISSIONE DELL'ENERGIA ELETTRICA -Antonio Paolucci,
CLEUP EDITORE, Padova 1998

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Linee di trasmissione - 3: esercizi, "a mano" e con script Scilab

Indice

Abstract

Testo

Soluzione

Prima ipotesi: Linea corta

Metodo delle potenze

f=50 Hz

f=60 Hz

Calcolo simbolico con i parametri

f=50 Hz

f=60 Hz

Corrente a vuoto

Seconda ipotesi: linea di media lunghezza

$f=50 \, \text{Hz}$

Corrente a vuoto

Metodo delle potenze

f=60 Hz

parametri

Corrente a vuoto

Metodo delle potenze

Terza ipotesi: linea lunga

Confronto dei risultati

Script Scilab

Esercizi svolti

Linea aerea

Linea in cavo

Bibliografia

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